借助“巧解”實現(xiàn)課堂效率最大化

崔克瓊

[摘 ?要] 高中數(shù)學學習的目的并非簡單地應(yīng)對高考，其主要目標是培養(yǎng)學生良好的學習習慣和思維習慣，為此，在教學中要摒棄簡單機械的套用，要重視學習能力的提升. 在解題教學中，除了培養(yǎng)學生的“雙基”外，要重視解題技巧的探究，引導學生多角度觀察，根據(jù)不同的題型實施不同的解決方案，巧妙地應(yīng)用概念、題設(shè)、數(shù)形結(jié)合等多種解題策略“巧解”問題，進而實現(xiàn)課堂效果的最大化.

[關(guān)鍵詞] 學習習慣;思維習慣;巧解

談到數(shù)學學習就不得不談解題教學，其是數(shù)學教學的重要組成部分，是“用數(shù)學”的重要表現(xiàn)形式. 在素質(zhì)教育的影響下，現(xiàn)行高考更側(cè)重于考查學生“用數(shù)學”的能力，即應(yīng)用數(shù)學基本知識和基本思想解決現(xiàn)實問題的能力，因此，培養(yǎng)學生的“雙基”是解決問題的前提和保障. 然而，在培養(yǎng)“雙基”的基礎(chǔ)上不能忽視解題效率的提升，眾所周知，高考數(shù)學題量大、題目新，若解題時不重視方法和技巧，將不利于學生縝密和靈活性思維的培養(yǎng)，那么學生在面對靈活多變的高考題目時勢必會出現(xiàn)畏難情緒，進而影響學生“用數(shù)學”的積極性. 為此，在日常教學中，除了重視基礎(chǔ)知識和基本方法的積累，也要關(guān)注解題技巧，引導學生學會“巧用”數(shù)學，使解題過程由繁變簡，進而提升解題的成功率. 筆者選取了幾道典型性的案例進行剖析，展示“巧解”在鍛煉學生思維能力，提升學生解題能力的妙用，以期激發(fā)學生探究“巧解”的熱情.

[?]巧用概念，化繁為簡

數(shù)學概念是數(shù)學學習的基石，是數(shù)學知識的交匯點，是數(shù)學知識體系的重要組成部分，全面地、準確地掌握概念有利于“雙基”的提升. 但在現(xiàn)實教學中，學生對概念的把握僅限于熟背，缺乏對概念內(nèi)涵和外延的挖掘，以至于對概念的理解缺乏深刻性和靈活性，進而學生在面對應(yīng)用概念直接求解的問題時顯得束手無策，從而影響了解題效率.

例1：已知拋物線x2=2px（p>0）上存在A，B兩個動點，且滿足AB=l（l≥2p），試求線段AB的中點M到x軸的最小垂直距離時M的縱坐標.

分析：本題在求解時大多數(shù)學生都是構(gòu)造線段中點M到x軸的最小垂直距離的方程f（x，y）=0，再求y的值，雖然這樣求解思路簡單，但其運算過程煩瑣，運算量大，若要順利求解不僅要有較強的運算能力而且需要消耗更多的時間，這樣勢必會影響解題的準確率和解題效率. 為了規(guī)避煩瑣的運算，在解題時可以嘗試回歸概念，調(diào)動最原始的認知重新審視題目，也許有意外的收獲. 本題根據(jù)拋物線的相關(guān)概念可以構(gòu)造出如圖1所示的圖形，在梯形ACDB中，ME=，即y+=. 由拋物線的定義可知，AC=AF，BD=BF，則AC+BD=AF+BF. 在△AFB中，AF+BF≥AB，則y+≥=，即y≥-，當AB經(jīng)過焦點F時，y的最小值為-（l≥2p）.

點評：本題求解中靈活應(yīng)用概念構(gòu)造出了圖1，通過應(yīng)用拋物線的定義得到AC=AF，BD=BF，從而將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，轉(zhuǎn)化后直接應(yīng)用三角形三邊知識得出了答案. 從上面的解題過程可以看出，應(yīng)用概念求解并不需要復雜的計算，同時思路更加清晰，步驟更加簡潔，解題更加高效. 可見，在解題時巧用概念可以有效簡化解題過程，有利于解題效率的提升，因此，在日常學習中一定要注意深化對概念的理解，進而解題時可以靈活應(yīng)用，從而化繁為簡，提升解題效率.

[?]巧用題設(shè)，優(yōu)化解題策略

學生在解題時常急于求成，看到熟悉的題目就直接生搬硬套原有的解題思路，不重視觀察題設(shè)信息，這樣稀里糊涂盲目套用往往容易造成思路中斷，不僅未能成功解決問題，而且浪費了寶貴的時間，因此，在解題前應(yīng)先仔細觀察題設(shè)信息，注意題設(shè)隱含信息的挖掘和提取，從而獲得解題的捷徑.

例2：已知方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0的兩根相等，試證明，，是等差數(shù)列.

分析：本題在求解時很多學生僅關(guān)注“兩根相等”這一信息，解題時直接利用方程“Δ=0”，即（bc-ab）2-4（ac-bc）（ab-ac）=0，顯然若要化簡要經(jīng)歷開方、配方等復雜的過程，而且在計算前并不能預判此方法是否能獲得解題信息，解題處于“走一步算一步”的狀態(tài)，缺乏對整體解題思路的把控，進而難以保障解題的準確率. 此題在動手前應(yīng)先觀察，看看除了“Δ=0”這一信息外是否還隱藏著其他已知條件. 經(jīng)過觀察方程的系數(shù)知曉“（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0”，由此可知方程的兩個相等的根為“1”，分析至此，完整的解題思路就形成了，求解也就水到渠成了.

根據(jù)韋達定理可知：=2，即2ac=ab+bc，=+，所以，，是等差數(shù)列.

點評：本題解題時通過觀察獲得了“（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0”這一重要信息，成功地找到了解決問題的突破口，有效規(guī)避了常規(guī)解題思路所帶來的復雜運算過程，使解題效率大大提升. 要知道，高考重點考查學生的運算能力，但運算絕非簡單機械的套用，其更主要的是考查學生是否能夠根據(jù)題設(shè)條件尋求最合理、最簡潔的運算途徑，進而實現(xiàn)“巧算”. 為此，在教學中教師要避免解題機械化、模式化，要引導學生仔細觀察題設(shè)的外部結(jié)構(gòu)，尋找個性化解題方案，進而優(yōu)化解題策略，提升學生的解題能力.

[?]巧用數(shù)形結(jié)合，捕捉問題切入點

數(shù)形結(jié)合是一個老生常談卻不得不談的問題，因為借助“數(shù)”的嚴謹，“形”的直觀往往可以收獲許多意外的驚喜. 有時在解題時若單一從“數(shù)”或單一從“形”的角度出發(fā)，絞盡腦汁也難以求解，而將二者相結(jié)合不僅容易找到解題的突破口，而且可以避免煩瑣冗長的計算，進而提高解題效率.

例3：已知方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的兩個實根為x，x，滿足0

分析：根據(jù)題設(shè)信息學生很容易從代數(shù)的角度出發(fā)，調(diào)用解一元二次方程的經(jīng)驗，根據(jù)韋達定理和根的取值范圍進行求解，顯然，應(yīng)用該方案不僅求解困難，而且思路容易混亂，很難求解，若將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助函數(shù)圖像的直觀性更容易找到解題的切入點，方便求解.

令f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2，根據(jù)方程的兩個實根為x，x，滿足0

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2）>0，即k2-k-2>0，

k2-2k-8<0，

k2-3k>0.

由k2-k-2>0得k<-1或k>2;由k2-2k-8<0得-20得k<0或k>3. 將結(jié)果用數(shù)軸表示（如圖3），則k的取值范圍為（-2，-1）或（3，4）.

點評：本題求解時將方程、函數(shù)、不等式等問題相串聯(lián)，先將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，根據(jù)方程根“0

[?]巧妙轉(zhuǎn)化，規(guī)避分類討論

分類討論其實質(zhì)就是根據(jù)題設(shè)條件將含有不確定因素的大問題拆分成若干小問題來解決，其可使解題思路更加清晰，但應(yīng)用分類討論其解題過程往往會較為煩瑣，這也是分類討論無法回避的一個問題，同時，有時因分類不清可能也會增加錯解的風險，因此，在解題時，有時將問題巧妙轉(zhuǎn)化往往可以有效規(guī)避分類風險.

例4：已知集合A={x

ax2+3x+2=0，x∈R}，若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.

分析：A中元素有三種情況：0個、1個、2個，但要滿足“至多一個元素”，則需要分兩類進行討論，即0個和1個，顯然若求出A中有兩個元素的情況，再應(yīng)用補集則可以規(guī)避分類，進而減少運算過程. 對于a而言，不論a取任何實數(shù)，集合A都有意義，所以全集=R.

假設(shè)A中有兩個元素，即ax2+3x+2=0有兩個不同的實根，則a≠0，Δ=9-8a>0，解得a<，且a≠0. 求出A后，根據(jù)補集的思路可得a的取值范圍為{0}∪

，+∞

.

評注：本題求解過程中利用“補集”有效地規(guī)避了分類討論. 有時解題時若順勢分析可能會有多種情況，不妨逆向而上，往往可以優(yōu)化解題策略. 雖然分類討論有明顯的優(yōu)勢，但有時巧妙地規(guī)避，也會有意外驚喜.

當然，數(shù)學中的“巧解”不拘泥于這幾類，其分散于教學的每個角落，為此，教師要注意各個環(huán)節(jié)進行滲透，讓學生在掌握“雙基”的基礎(chǔ)上可以跳一跳，根據(jù)不同的知識點、不同的題設(shè)結(jié)構(gòu)、不同的題型采取不同的解決策略，進而實現(xiàn)化繁為簡、簡化流程，最終提升解題效率的目的.