提升小學(xué)生運(yùn)算能力的實(shí)踐探索

陳晶

[摘? 要] 我國(guó)學(xué)生的計(jì)算能力一直都被全世界認(rèn)可，但教師過(guò)多地把關(guān)注的焦點(diǎn)放在計(jì)算是否正確與方法和技巧是否熟練上，也被人們所詬病。我們要追求的是具有核心素養(yǎng)（理解算理、含有數(shù)學(xué)思想）的運(yùn)算能力。因此，提升學(xué)生的運(yùn)算能力，必須發(fā)展學(xué)生的思維能力。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)算能力;數(shù)學(xué)基本思想

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域占小學(xué)數(shù)學(xué)課程的比例較高。長(zhǎng)期以來(lái)，“計(jì)算又對(duì)又快”是評(píng)價(jià)學(xué)生運(yùn)算能力的重要指標(biāo)。因此目前不少運(yùn)算教學(xué)還停留在“基本技能”層面，一味地追求效率、正確率。特別是在部分教師的觀(guān)念中，認(rèn)為計(jì)算教學(xué)最簡(jiǎn)單，學(xué)生做著做著就會(huì)了，算著算著就對(duì)了;教師不必大費(fèi)周折，簡(jiǎn)單演示一遍計(jì)算過(guò)程，然后學(xué)生鸚鵡學(xué)舌地練習(xí)，學(xué)生就能熟練掌握計(jì)算方法。然而反復(fù)、機(jī)械的訓(xùn)練容易產(chǎn)生負(fù)面影響。例如，“25×4÷25×4=1”是小學(xué)生普遍存在的運(yùn)算錯(cuò)誤。因?yàn)閷W(xué)生過(guò)度接受訓(xùn)練，一看到25和4就產(chǎn)生了條件反射，腦海馬上浮現(xiàn)了100。接受式學(xué)習(xí)、機(jī)械式練習(xí)的課堂模式，無(wú)法培養(yǎng)出創(chuàng)新型人才。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的核心詞中，運(yùn)算能力是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。運(yùn)算能力不是簡(jiǎn)單的加、減、乘、除的計(jì)算，而是觀(guān)察能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力等綜合能力。例如，計(jì)算0.7×72+5.6，有個(gè)別學(xué)生是這樣計(jì)算的：0.7×8×9+5.6=5.6×9+5.6=5.6×10=56。若不具備很好的運(yùn)算能力，則無(wú)法敏銳地觀(guān)察和靈活地解決。因此，運(yùn)算教學(xué)要從簡(jiǎn)單的計(jì)算技能練習(xí)轉(zhuǎn)向?qū)W生運(yùn)算能力的提升和學(xué)生思維品質(zhì)的提高。

一、借助幾何直觀(guān)理解算理，提升運(yùn)算能力

華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微?！苯柚鷰缀沃庇^(guān)讓學(xué)生對(duì)運(yùn)算本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解不再停留在感性認(rèn)識(shí)階段，而是創(chuàng)新思維和高階思維的結(jié)果，更是理性認(rèn)識(shí)的升華。

在以往計(jì)算教學(xué)過(guò)程中，教師的教學(xué)重心往往落在學(xué)生會(huì)算上（算得又對(duì)又快），即更關(guān)注學(xué)生對(duì)算法的掌握（這是程序性思維），而忽略了學(xué)生對(duì)算理的理解。以人教版三年級(jí)上冊(cè)第四單元“萬(wàn)以?xún)?nèi)的加法”為例，部分教師特別重視學(xué)生對(duì)算法的總結(jié)，讓學(xué)生回顧“271+31”是怎樣計(jì)算的，即使學(xué)生總結(jié)算法時(shí)指著算式“271+31”說(shuō)“末位對(duì)齊”，老師還是不厭其煩地糾正：“不是末位對(duì)齊，是相同數(shù)位對(duì)齊?！痹诮虒W(xué)時(shí)，我們是否可以不要過(guò)多地在意學(xué)生算法概括的標(biāo)準(zhǔn)化，而是應(yīng)該探究算法背后的算理呢？此時(shí)與其咬文嚼字地表述算法，不如直達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)地追問(wèn)：“為什么要對(duì)齊？”教師可以出示各級(jí)計(jì)數(shù)單位的立方體模型（如圖1所示），學(xué)生直觀(guān)地觀(guān)察一層對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)單位“百”，一行對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)單位“十”。如果是首位對(duì)齊，那么就是2層立方體模型加上3行立方體模型得到“5”，這個(gè)“5”既不表示5層，也不表示5行。以此類(lèi)推，7行立方體模型加上1個(gè)立方體模型，結(jié)果“8”既不表示8行，也不表示8個(gè)。如果是相同計(jì)數(shù)單位對(duì)齊再相加，那么3行加7行得到10行，10行滿(mǎn)一層應(yīng)該向前進(jìn)一位;1個(gè)加1個(gè)得到2個(gè)。它們表示的都是相同計(jì)數(shù)單位的累加。通過(guò)幾何直觀(guān)可以把復(fù)雜、枯燥的算法文字變得簡(jiǎn)明、形象，有助于學(xué)生深刻地理解算理。從起步的會(huì)算和知道，走向深層意義和內(nèi)在本質(zhì)的理解。史寧中教授曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)教育的根本是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀(guān)?！币蕾?lài)幾何直觀(guān)可以讓學(xué)生“看”出運(yùn)算中蘊(yùn)藏的算理，并正確地進(jìn)行運(yùn)算。

分?jǐn)?shù)是公認(rèn)的小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算借助幾何直觀(guān)能讓學(xué)生更好地理解蘊(yùn)藏在算法背后的算理。筆者在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法”時(shí)，有學(xué)生提出：“為什么分?jǐn)?shù)乘法要分母相乘作分?jǐn)?shù)分母，分子相乘作分?jǐn)?shù)分子？”還有學(xué)生通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方形圖（如圖2所示）解釋×的算法，其他學(xué)生觀(guān)察圖形后得到啟發(fā)：“分?jǐn)?shù)乘法因?yàn)槭欠至擞址?，一共分?×2=10（份），所以是分母乘分母;因?yàn)槭侨×擞秩?，一共取?×1=4（份），所以是分子乘分子?！睂W(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助直觀(guān)圖形解釋分?jǐn)?shù)乘法的算理，提高了課堂教學(xué)效率，提升了運(yùn)算能力。

二、設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性問(wèn)題，提升運(yùn)算能力

史寧中教授提出：“為了培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，為了發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)一個(gè)開(kāi)放的、有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題?！痹谶\(yùn)算教學(xué)中，設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)性和多元化的問(wèn)題容易激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓枯燥的計(jì)算變成有意義的探究，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力。例如，教學(xué)“整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)”，筆者在課堂“鞏固練習(xí)”設(shè)計(jì)了這樣一道開(kāi)放性的挑戰(zhàn)題：“請(qǐng)補(bǔ)充算式5.3×0.25_________，并計(jì)算，使算式可以簡(jiǎn)便計(jì)算?！痹摰李}是乘法運(yùn)算定律的逆向變式，改變了傳統(tǒng)單一的解答，答案是不確定的、多元的。該道題不能簡(jiǎn)單地應(yīng)用某個(gè)乘法運(yùn)算定律解決，真正做到讓學(xué)生一題多練，體現(xiàn)解決問(wèn)題策略的多樣化。學(xué)生深刻理解乘法運(yùn)算定律后，能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能，尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。課堂上先讓學(xué)生觀(guān)察算式中數(shù)的特點(diǎn)，然后讓學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流后創(chuàng)造出多種解題方法。方法一，乘法結(jié)合律：5.3×（0.25×4）;方法二，乘法分配律：①5.3×0.25+0.25×4.7;②5.3×0.25-0.25×1.3;③5.3×0.25+5.3×0.75。學(xué)生能分析算式中數(shù)的特點(diǎn)，從整體考慮各個(gè)運(yùn)算定律之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程告別了“記憶、理解、應(yīng)用”的低階認(rèn)知思維的過(guò)程，達(dá)到了《布魯姆教育目標(biāo)分類(lèi)法》中的“分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造”的高階認(rèn)知思維的過(guò)程。課堂上的挑戰(zhàn)性、開(kāi)放性問(wèn)題，能夠打開(kāi)學(xué)生的思維空間，發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解更加透徹，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

三、滲透數(shù)學(xué)思想，提升運(yùn)算能力

史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個(gè)核心要素，即‘抽象、推理、模型’?！比嗣窠逃霭嫔缧W(xué)數(shù)學(xué)編輯社王永春主任認(rèn)為：“抽象、推理、模型中最重要的是邏輯推理，這是數(shù)學(xué)本質(zhì)里最核心的部分。”數(shù)學(xué)運(yùn)算的算理與算法的本質(zhì)都是邏輯推理。

教師在運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)滲透歸納推理，例如，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法”是在口算乘法、多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法的基礎(chǔ)上，先通過(guò)學(xué)習(xí)12×20、14×12、48×37等幾個(gè)有限例子再探索計(jì)算的方法，接著讓學(xué)生小組交流，然后總結(jié)出算法。學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程得到運(yùn)算法則，其實(shí)就運(yùn)用了歸納推理。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（如分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、積的變化規(guī)律），通常是先出示一些例子，然后觀(guān)察、猜測(cè)、驗(yàn)證（舉更多的例子），這其中也運(yùn)用到了歸納推理。筆者在教學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，嘗試讓學(xué)生先觀(guān)察“13+31=44，29+92=121，54+45=99”這組算式，然后小組交流、討論：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”全班開(kāi)始匯報(bào)發(fā)現(xiàn)的算式規(guī)律：“加數(shù)都是兩位數(shù)，兩個(gè)加數(shù)個(gè)位與十位交換位置，加數(shù)的數(shù)字不變?！边€有學(xué)生補(bǔ)充道：“它們的和都是11的倍數(shù)?！贝藭r(shí)引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想并歸納結(jié)論：“將一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)與十位數(shù)交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原數(shù)相加，和是11的倍數(shù)?！敝笞寣W(xué)生自己嘗試舉幾個(gè)不同的例子，驗(yàn)證結(jié)論是否正確：56+65=121（11的11倍），23+32=55（11的5倍）……同樣在發(fā)現(xiàn)算式規(guī)律的教學(xué)中，也滲透了歸納推理。在學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)運(yùn)算定律后，教學(xué)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算定律時(shí)，通過(guò)與整數(shù)的運(yùn)算定律類(lèi)比得到整數(shù)運(yùn)算定律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)中同樣適用。學(xué)生通過(guò)大膽猜想、舉例、觀(guān)察、驗(yàn)證，最后得到結(jié)論。此時(shí)在運(yùn)算教學(xué)中就滲透了類(lèi)比推理的數(shù)學(xué)思想，提高了學(xué)生的運(yùn)算能力。張景中院士曾說(shuō)：“計(jì)算是具體的推理，推理是抽象的計(jì)算?！蓖评硎侵匾乃枷牒头椒?，是數(shù)學(xué)基本的思維方式。無(wú)論是找規(guī)律、理解算理、總結(jié)法則等，都運(yùn)用著推理的基本思想，從而促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的提升。

運(yùn)算不單是一種技能，而且是一種基本的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)意識(shí)。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過(guò)數(shù)的運(yùn)算能促進(jìn)、加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，發(fā)展數(shù)感，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

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