多項式代數(shù)上的羅巴理想*

谷偉平

(重慶人文科技學院 機電與信息工程學院， 重慶 401524)

1 引言及預備知識

羅巴代數(shù)作為一個帶有羅巴算子的結合代數(shù)，是分析中積分代數(shù)的抽象和推廣，起源于20世紀60年代數(shù)學家Baxter([1])關于概率論的研究，隨后便得到組合學家Rota([2])等人的重視.20世紀80年代，李代數(shù)上的羅巴算子又以經典楊-巴克斯特方程的算子形式由Belavin，Drinfel′d([3])和Semenov-Tyan-Shanskii([4])各自獨立發(fā)現(xiàn).本世紀以來，羅巴代數(shù)的基礎理論得到系統(tǒng)發(fā)展，在量子場論、數(shù)論、operad，Hopf 代數(shù)和組合數(shù)學等學科中有著廣泛應用.與理想在代數(shù)中的地位類似,羅巴理想從根本上決定了一個羅巴代數(shù)的結構與性質.所有羅巴理想都必是通常意義上的理想,但是理想不一定是羅巴理想.因此，刻畫那些恰好能成為羅巴理想的理想自然是一個非常有趣的問題,這對羅巴代數(shù)結構,特別是羅巴算子的把握具有重要意義.

域F上的多項式代數(shù)F[x]是數(shù)學上最經典的研究對象之一.2015年，Zheng,Guo 和Rosenkranz([5] )研究了F[x]上的羅巴算子與積分之間的關系.隨后，Yu([6])給出了F[x]上權為零的單項式羅巴算子的分類.本文將在此基礎上，刻畫F[x]上單項式羅巴算子對應的羅巴理想的結構.因為F[x]是一個主理想整環(huán),其每一個理想都由一個元素生成，所以，刻畫F[x]的羅巴理想，就等價于研究哪些多項式生成的理想是羅巴理想.

下面先給出本文所需要的基本定義與符號.如不特別說明，N表示非負整數(shù)集，F(xiàn)表示一個特征為零的域，F(xiàn)[x]上的多項式f(x)有時也簡記為f，集合

supp(f)={i∈N|xi在f中的系數(shù)不為零}

稱為f的支撐集.其他符號和概念參見文獻[7,8,9].

設R是F上的一個結合代數(shù),λ是F中的一個元素.若R上的一個線性算子P:R→R滿足等式

P(x)P(y)=P(xP(y))+P(P(x)y)+λP(xy) (x,y∈R),

則稱P是R上權為λ的羅巴算子，并稱(R，P)是一個權為λ的羅巴代數(shù).若R的一個理想I滿足P(I)?I,則稱I為羅巴理想.由R的一個非空子集S生成的理想和羅巴理想分別記作〈S〉和〈S〉RB.

設P是多項式代數(shù)F[x]上的羅巴算子.若任意單項式在P下的像仍為單項式，則稱P為單項式羅巴算子.因此，對任意一個單項式羅巴算子P，必有唯一的映射β∶N→F和θ∶N→N，使得P(xn)=β(n)xθ(n).顯然，當β(n)=0時,θ(n)的取值是無關緊要的，所以，為了簡單起見，此時規(guī)定θ(n)=0.

2 權為零的單項式羅巴算子對應的羅巴理想

這一節(jié)，主要對F[x]上權為零的單項式羅巴算子對應的羅巴理想進行分類，證明這類羅巴理想只能由單項式生成. 為了證明主要結論，首先給出一個關于羅巴代數(shù)的一般結論.

引理1設(R，P)是一個權為λ含單位元的交換羅巴代數(shù)，S是R的一個非空子集，則由S生成的羅巴理想〈S〉RB是R中由集合

故由P的線性性可知,P(I)?I,從而I是由SRB生成的羅巴理想,即I=〈SRB〉RB.因為S?SRB?〈S〉RB，所以〈S〉RB=〈SRB〉RB, 從而I=〈S〉RB.

關于F[x]上羅巴理想，有以下結論.

引理2設P是F[x]上的一個權為λ的羅巴算子,則理想〈f〉是一個羅巴理想當且僅當對任意k∈N,都有f|P(xkf).

可被f整除,從而P(g)∈〈f〉,所以〈f〉是一個羅巴理想.

根據文獻[6] 的定理2.9,有如下結論.

命題1設P是F[x]上的一個權為零的羅巴算子,且P(xn)=β(n)xθ(n),n∈N,則P是一個單項式羅巴算子當且僅當存在正整數(shù)d,d個非負整數(shù)c0,c1,…,cd-1以及F中的d個元素b0,b1,…,bd-1使得

(i)bi=0當且僅當ci=0,其中i=0,1,…,d-1;

(ii) 對任意n∈N,有

本節(jié)余下部分總是假設F[x]上權為零的羅巴算子P由命題1給出.記Sβ={i∈N|β(i)≠0},Sθ={i∈N|θ(i)≠0},則由命題1可知, 對于權為零的單項式羅巴算子,總有Sβ=Sθ.

引理3設f(x)是F[x]上的一個多項式,P是F[x]上由命題1定義的一個權為零的非零單項式羅巴算子.若對于滿足條件0≤k≤d-1的整數(shù)k,總有P(xkf)=0,則f=0.

β(m+p)amxθ(m+p)+β(m+p+1)am+1xθ(m+p+1)+…+β(n+p)anxθ(n+p)=0.

(1)

下面我們證明對任意p+1≤j≤n-m+p,都有θ(m+j)>θ(m+p),從而有β(m+p)am=0即am=0,得到矛盾,進而完成證明.事實上,當p+1≤j≤d-1時,由M的最小性和p的最大性可知,θ(m+j)>θ(m+p)成立.當d≤j≤n-m+p時,m+j大于m,m+1,…,m+d-1并且恰好與其中的一個元素模d同余，不妨設m+j與m+μ模d同余，則存在正整數(shù)k使得m+j=m+μ+kd，所以，根據命題1中θ(n)的公式及θ(m+p)的最小性得

θ(m+j)=θ(m+μ)+kd≥θ(m+p)+kd>θ(m+p),

再結合式(1)可知,xθ(m+p)在P(xpf)中的系數(shù)β(m+p)am=0.注意到β(m+p)≠0,所以am=0，與假設矛盾.因此，f=0.

引理4設f(x)是F[x]上的一個非零多項式,P是F[x]上的一個權為零的非零單項式羅巴算子，則〈f〉是一個羅巴理想當且僅當f是一個單項式.

證明若f是一個單項式,則因為F是域,所以可以假設f的首項系數(shù)為1, 不妨令f=xm.對任意非負整數(shù)k有,P(xkf)=P(xm+k)=β(m+k)xθ(m+k).令k+m=qd+r,其中q,r∈N,0≤r≤d-1.由命題1,若β(k+m)=0,則P(xk+m)=0,從而f|P(xkf).若β(k+m)≠0,則θ(k+m)≠0,從而cr=θ(r)≥1,于是θ(k+m)=crd+qd≥r+qd=k+m≥m,因此也有f|P(xkf).從而根據引理2,〈f〉是一個羅巴理想.

反之，假設〈f〉是一個羅巴理想.由于f是一個非零多項式,所以根據引理3,必存在非負整數(shù)k,0≤k≤d-1,使得P(xkf)≠0.根據引理2,f|P(xkf),故當P(xkf)是單項式時,f必是單項式.以下假設P(xkf)不是單項式.由命題1,P(xkf)中系數(shù)不為零的單項式的冪指數(shù)必可被d整除, 所以可設

g(x)=P(xkf)=amximd+am-1xim-1d+…+a1xi1d,

其中aj≠0,j=1,2,…,m,且im>im-1>…>i1≥0.因為P≠0,所以Sβ≠?,從而存在s∈{0,1,…,d-1}使得bs≠0,cs≠0.于是，對任意l∈N,有

進而得到

因為P(xs+dg),P(xs+2dg),…,P(xs+mdg)都是〈f〉中的元素,所以只需證明它們的最大公因式是x的方冪,就可以保證f是一個單項式.為此,取一個包含F(xiàn)的代數(shù)閉域K.

令

并取以α1,α2,…,αm作為行向量組的矩陣A，則

注意到矩陣A的行列式

所以在域K上,h1=h2=…=hm=0必蘊含x=0,這說明h1,h2,…,hm的最大公因式在域K上的根只有零.由于代數(shù)閉域K上任何次數(shù)大于零的多項式都能分解為一次因式的乘積，所以h1,h2,…,hm的最大公因式必是x的方冪，從而證明了P(xs+dg),P(xs+2dg),…,P(xs+mdg)的最大公因式是x的方冪，即f是一個單項式.

定理1設P是F[x]上的一個權為零的非零單項式羅巴算子,f(x)=anxn+an-1xn-1+…+atxt是F[x]上的一個非零多項式,其中n≥t且at≠0,則〈f〉RB=〈xt〉.

證明根據引理4,F[x]的每個羅巴理想都由一個單項式生成, 所以可以假設〈f〉RB=〈xm〉, 其中m∈N.于是xm|f,從而m≤t.下面證明t≤m,從而完成證明.