平面中“探”特性 折疊中“究”關(guān)聯(lián)

[摘? 要] 與折疊相結(jié)合的空間幾何問(wèn)題具有鮮明的特點(diǎn)，平面與空間的轉(zhuǎn)換過(guò)程，促成了平面幾何特性與空間位置關(guān)系的融合. 問(wèn)題解析應(yīng)分步進(jìn)行，把握其中的不變與變量，利用關(guān)鍵點(diǎn)串聯(lián)條件. 文章結(jié)合具體問(wèn)題加以探究，總結(jié)解題策略，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

[關(guān)鍵詞] 空間幾何;折疊;關(guān)鍵點(diǎn);變量;平面幾何

立體幾何中的折疊是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問(wèn)題，問(wèn)題包含兩方面內(nèi)容：一是平面圖形的折疊，涉及空間中的線面關(guān)系、空間角或距離的求法等;二是幾何體表面展開(kāi)，涉及幾何體的表面積、幾何體上的最短距離等. 問(wèn)題突破需要關(guān)注折疊過(guò)程，把握?qǐng)D形特性，下面深入探究解法策略.

[?] 問(wèn)題呈現(xiàn)，分析解讀

問(wèn)題：如圖1所示，在平面四邊形ABCD中，已知AB=AD，BC=CD=，并且BC⊥CD. 現(xiàn)以BD為折痕將△ABD和△CBD向上折疊，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)F的位置（點(diǎn)E和F不重合），試回答下列問(wèn)題.

（1）證明：EF⊥BD;

（2）如果平面EBD⊥平面FBD，點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的正投影G恰好為△ABD的重心，而直線EF與平面FBD所成角為60°，試求二面角A-BE-D的余弦值.

分析：本題目為空間幾何中的折疊問(wèn)題，題干信息共分兩部分：一是平面圖形的性質(zhì);二是圖形折疊的過(guò)程. 解題時(shí)需要把握?qǐng)D形性質(zhì)，以及折疊的過(guò)程，然后結(jié)合空間幾何知識(shí)定理來(lái)破解.

平面圖形解讀：根據(jù)條件可知，平面四邊形ABCD的對(duì)角線BD將其分割為兩個(gè)特殊的三角形，即△BCD為等腰直角三角形，可確定斜邊BD為2;△ABD為普通的等腰三角形.

折疊過(guò)程解讀：對(duì)平面四邊形ABCD進(jìn)行了折疊，共用折痕BD，形成了新的四面體，但在折疊前后具有圖形對(duì)應(yīng)關(guān)系，即△BDC→△BDF，△ABD→△EBD，故圖形的特性不變.

[?] 過(guò)程突破，問(wèn)題點(diǎn)評(píng)

基于上述問(wèn)題解讀，結(jié)合問(wèn)題來(lái)探索思路構(gòu)建，具體如下.

（1）該問(wèn)要證明EF⊥BD，將EF放置在某一平面內(nèi)，證明BD與該平面垂直即可.

取BD的中點(diǎn)為O，連接EO和FO，如圖2所示. 由題意可知△EBD和△FBD均為等腰三角形，并且EB=ED，F(xiàn)B=FD，則EO⊥BD，F(xiàn)O⊥BD. 又因?yàn)镕O與EO的交點(diǎn)為O，所以可證BD⊥平面OEF，而EF是平面OEF內(nèi)的一條直線，所以EF⊥BD.

（2）該問(wèn)設(shè)定了三個(gè)條件：

①平面垂直——平面EBD⊥平面FBD;

②點(diǎn)在平面的投影——點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的正投影G恰好為△ABD的重心;

③直線與平面所成角——直線EF與平面FBD所成角為60°.

探索二面角的余弦值，問(wèn)題較為復(fù)雜，不易直接構(gòu)建二面角的平面角，可采用空間向量法，利用所涉平面的法向量的角度關(guān)系來(lái)突破. 但構(gòu)建之前，需要合理處理題干的三大條件，挖掘隱含信息. 故可分兩階段突破：第一階段，處理題干條件;第二階段，構(gòu)建空間向量破解，具體如下.

階段1——處理題干三大條件

條件①：已知EO⊥BD，平面EBD⊥平面FBD，而EO?平面EBD，可推知EO⊥平面FBD.

條件②：因?yàn)镕B=FD=，F(xiàn)B⊥FD，且點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，可得FO=1，EO=，從而有BE=ED=BD=2，即△EBD為等邊三角形，則△ABD也為等邊三角形，從而可得EG=.

條件③：由于直線EF與平面FBD所成角為60°，而∠EFO為兩者的平面角，故∠EFO=60°.

階段2——構(gòu)建空間向量破解

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方形，方向?yàn)閥軸正方形，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已得條件可得如下關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)：A（0，，0），B（-1，0，0），D（1，0，0），E

0，，

. 則由點(diǎn)坐標(biāo)可得如下關(guān)鍵向量：=（-1，-，0），=（2，0，0），=

1，，

.

設(shè)n1為平面ABE的法向量，根據(jù)向量之積為0，可推得平面ABE的法向量n1=（-，，1）;設(shè)n2為平面BED的法向量，同樣可得n2=（0，2，-1），則cos〈n1，n2〉==，所以二面角A-BE-D的余弦值為.

[?] 策略總結(jié)，應(yīng)用探究

上述對(duì)一道空間幾何折疊問(wèn)題進(jìn)行了深入探索，題干所述折疊過(guò)程是該類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)所在，促進(jìn)了平面特性與空間位置的融合，綜合考查了學(xué)生的讀圖能力和動(dòng)態(tài)建模能力. 與折疊相結(jié)合的空間幾何問(wèn)題中含有一定的幾何特性，問(wèn)題解析可采用對(duì)應(yīng)的策略，下面具體總結(jié)，并舉例探究.

1. 折疊問(wèn)題的特性

原則1：充分提取問(wèn)題中的不變量和不變關(guān)系;

原則2：通常折疊前后位于折線同一側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變.

2. 折疊的破題策略

基于上述特性可采用兩大解題策略：

策略一，根據(jù)折疊前后的變量、不變量以及平面圖形來(lái)繪制直觀的空間圖，對(duì)比分析平面圖及空間圖來(lái)提取其中的線面關(guān)系. 對(duì)于不變的關(guān)系，應(yīng)在平面圖形中處理;而變化的關(guān)系則應(yīng)放置在空間圖形中.

策略二，把握翻折前后的關(guān)鍵點(diǎn)的位置，尤其是翻折過(guò)程變化的點(diǎn)，這些關(guān)鍵點(diǎn)會(huì)帶動(dòng)幾何要素的變化. 分析確定關(guān)鍵點(diǎn)的具體位置，以此為參照則可以確定關(guān)聯(lián)點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而完成相關(guān)問(wèn)題的證明和求解.

3. 應(yīng)用探究

例題：在圖3所示的梯形BFEC中，已知BF∥CE，CE=3，BF=2，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于1的正方形. 現(xiàn)沿著AD將四邊形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，可得圖4所示的幾何體，回答下列問(wèn)題.

（1）試證明平面AEC⊥平面BDE;

（2）如果點(diǎn)H位于線段BD上，且EH與平面BEF所成二面角的正弦值為，試求DH的線段長(zhǎng).

<D：＼DW＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬）＼2021年＼2021年中等教育下旬12期＼12-梁毅3.tif>[A][B][C][D][E][F][D][A][B][C][E][F][圖3][圖4]

分析：利用上述總結(jié)的策略來(lái)分析問(wèn)題，折疊前圖3中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，而梯形AFED中DE∥AF，且AF=1.

圖4中，以AD為折痕折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，相關(guān)聯(lián)的，使得平面ABF和平面DCE均垂直于平面ABCD. 同時(shí)折痕AD兩側(cè)的圖形特性不變，梯形AFED和正方形ABCD的性質(zhì)不變.

而點(diǎn)E和F是折疊運(yùn)動(dòng)中的關(guān)鍵點(diǎn)，其促成了平面ABF和平面DCE的形成，根據(jù)線段邊長(zhǎng)可知△ABF為等腰直角三角形，而△DCE為普通的直角三角形.

詳解：（1）由于ED?平面ADEF，AC?平面ABCD，而平面EDAF⊥平面ABCD，所以ED⊥AC. 又知四邊形ABCD為正方形，故AC⊥BD. 綜合可知AC⊥平面BDE，結(jié)合AC?平面ACE，可證平面AEC⊥平面BDE.

（2）該問(wèn)設(shè)定了二面角正切值，求點(diǎn)H的位置，所涉線段EH與平面BEF的二面角不易直接構(gòu)建，可采用空間向量法. 結(jié)合線段長(zhǎng)可知AF=1，DE=2，可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知條件可得如下關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)：點(diǎn)E（0，0，2），F(xiàn)（1，0，1），B（1，1，0）. 設(shè)平面BEF的法向量為n，由向量之積為0，可推得n=（1，1，1）. 設(shè)點(diǎn)H（a，a，0），則=（a，a，-2）. 線段EH與平面BEF所成二面角的正弦值為，則

cos〈，n〉

=

=，可解得a=或a=（舍去），所以點(diǎn)H

，，0

，可推知線段DH=.

[?] 解后反思，學(xué)習(xí)建議

1. 解讀平面信息，挖掘隱含特性

與折疊相關(guān)的空間幾何問(wèn)題，其題干信息往往分為兩部分：第一部分是關(guān)于平面幾何的性質(zhì)條件，第二部分是折疊過(guò)程的描述. 問(wèn)題解析首先需要深入解讀平面幾何的信息條件，并以折痕為界分析兩側(cè)的幾何特性，這些特性在折疊變化中是保持不變的，是后續(xù)破題的關(guān)鍵. 如上述原問(wèn)題關(guān)于折痕，兩側(cè)的圖形均為特殊等腰三角形，而例題中則形成了正方形和梯形. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題中的平面特性，并以特性為基礎(chǔ)進(jìn)行深入思考，挖掘隱含信息.

2. 關(guān)注關(guān)鍵動(dòng)點(diǎn)，提取關(guān)聯(lián)條件

折疊過(guò)程必然存在點(diǎn)動(dòng)，折疊后這些點(diǎn)的位置是空間圖形構(gòu)建的關(guān)鍵，這些關(guān)鍵點(diǎn)的變化會(huì)帶動(dòng)其他點(diǎn)、線、面的位置變化，其中的幾何關(guān)聯(lián)是后續(xù)推導(dǎo)的基礎(chǔ). 實(shí)際分析時(shí)要注意提取折疊中的關(guān)鍵點(diǎn)，確定其準(zhǔn)確坐標(biāo)，然后以點(diǎn)連線、由線成面，探索空間幾何中的線、面關(guān)系. 如上述例題中點(diǎn)E和F是折疊運(yùn)動(dòng)中的關(guān)鍵點(diǎn)，所形成的新平面垂直于底面，同時(shí)以點(diǎn)為基礎(chǔ)形成了等腰直角三角形. 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生提取折疊運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)行幾何條件串聯(lián).

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