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    從過程析解幾 切視角探多解

    2021-03-19 22:33:48洪海波
    關(guān)鍵詞:解析幾何三角形面積

    洪海波

    [摘? 要] 解析幾何問題可從不同視角來突破,尤其是對(duì)于與幾何結(jié)合緊密的問題,可充分挖掘問題中的幾何屬性,結(jié)合函數(shù)曲線綜合構(gòu)建. 文章以一道拋物線綜合題為例,探索問題解法,剖析問題條件,開展多解探究,并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

    [關(guān)鍵詞] 解析幾何;多解;三角形;面積;模型

    [?] 問題突破

    問題:平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓F的解析式為(x-1)2+y2=1,點(diǎn)P是圓外的一點(diǎn),并在y軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P到圓F上點(diǎn)的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離,記點(diǎn)P的軌跡為E,回答下列問題.

    (1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

    (2)設(shè)過點(diǎn)F的直線與E相交于點(diǎn)A和B,以AB為直徑的☉D與平行于y軸的直線相切,且切點(diǎn)為M,連接DM,設(shè)與E的交點(diǎn)為N,試證明△AMB的面積是△AMN面積的4倍.

    解析:(1)點(diǎn)P是圓F外y軸右側(cè)上的動(dòng)點(diǎn),由條件可知點(diǎn)P到☉F上點(diǎn)的最小距離為

    PF

    -1,可據(jù)此進(jìn)行思路構(gòu)建,過程如下.

    設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意可知x>0,且點(diǎn)F(1,0). 點(diǎn)P在☉F外,點(diǎn)P到☉F上點(diǎn)的最小距離為

    PF

    -1,則有

    PF

    -1=x,即-1=x,化簡(jiǎn)可得E的方程為y2=4x(x>0).

    (2)該問以AB為直徑構(gòu)建了☉D,且平行于y軸的直線與其相切于點(diǎn)M,并以此形成了兩個(gè)三角形,證明△AMB和△AMN之間的面積關(guān)系可分兩步進(jìn)行:第一步,設(shè)點(diǎn)求直線AB的方程,與拋物線聯(lián)立提取參數(shù)之間的關(guān)系;第二步,構(gòu)建三角形面積模型,將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式,通過代數(shù)式來證明面積關(guān)系,具體如下.

    設(shè)過點(diǎn)F的直線與E的交點(diǎn)為A(x,y)和B(x,y),再設(shè)點(diǎn)N(x,y),點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),則D

    ,

    . 根據(jù)題意可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1) (k≠0),與拋物線的方程聯(lián)立,有y=k(x-1),

    y2=4x,整理可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,則Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,由韋達(dá)定理提取根與系數(shù)的關(guān)系,有x+x=,則y+y=,可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為

    ,

    . 根據(jù)拋物線的定義可知AB=x+x+2=. 可設(shè)點(diǎn)M(x,y),根據(jù)題意可得y=,所以MD=-x. MD為☉D的半徑,則MD=,則-x=+2,從而可解得x=-1,則點(diǎn)M

    -1,

    . 因?yàn)辄c(diǎn)N

    x,

    在拋物線上,所以x=,可將點(diǎn)N坐標(biāo)簡(jiǎn)化為

    . 利用面積割補(bǔ)法構(gòu)建△AMB的模型,則S=S+S,兩小三角形可視為同底三角形,底為MD,結(jié)合點(diǎn)A和B的坐標(biāo),有S=MD

    y

    -y,代入線段MD的長(zhǎng),可得S=

    y

    -y. 而對(duì)于△AMN,可視為是以MN為底,點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三角形,則S=MN

    y

    -y,化簡(jiǎn)可得MN×

    y

    -y=·

    y

    -y,綜合可知S=4S,即△AMB的面積是△AMN面積的4倍.

    [?] 解后剖析

    上述是一道關(guān)于拋物線的解析幾何綜合題,兩問分別求點(diǎn)的軌跡,證明兩三角形的面積關(guān)系,涉及了距離最小、圓與直線相切、幾何面積關(guān)系等內(nèi)容. 兩問特征及考查內(nèi)容具有一定的代表性,可視為是眾多小問題的組合,解析時(shí)可采用逐問突破的策略,下面深入探究.

    1. 點(diǎn)軌跡的分析

    第(1)問探究點(diǎn)P的軌跡方程,核心條件是“點(diǎn)P到圓F上點(diǎn)的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離”,屬于距離最值問題,其中涉及了動(dòng)點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離關(guān)系. 該問題突破的基礎(chǔ)是“兩點(diǎn)之間,距離最短”的衍生定理,需要充分利用圓的特殊性,把握直徑這一定量,提取圓上相對(duì)于動(dòng)點(diǎn)的“近點(diǎn)”和“遠(yuǎn)點(diǎn)”. 點(diǎn)軌跡的求法較多,常用的有定義法、直譯法、代入法、參數(shù)法等,本問題中完成距離關(guān)系提取后,采用距離直譯的方式更為簡(jiǎn)捷.

    2. 面積關(guān)系的論證

    第(2)問論證所構(gòu)兩三角形的面積關(guān)系,問題信息較為豐富,同時(shí)具有一定的邏輯順序,因此解析時(shí)需把握?qǐng)D像構(gòu)建的過程,可將題目信息提煉如下:

    ①過點(diǎn)F的直線與拋物線E交于點(diǎn)A和B;

    ②以AB為直徑構(gòu)圓,圓心為D;

    ③平行于y軸的直線與☉D相切于點(diǎn)M.

    核心信息為三條,但其中隱含了大量的性質(zhì)條件,信息①中可將AB視為焦點(diǎn)弦;由信息②可得點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn);信息③隱含了核心條件,分析可知點(diǎn)M位于☉D上,DA=DM=BD,直線與☉D相切,則MD⊥直線,而直線平行于y軸,故直線MD平行于x軸,即點(diǎn)M和D位于同一水平線上,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,即

    y=

    y.

    3. 原解法的構(gòu)建分析

    問題解析需要充分利用提煉的問題條件,以上述第(2)問為例,△AMB為一般三角形,但平行于x軸的線段MD作為分割線,可將原三角形分割為同底異頂點(diǎn)的兩個(gè)小三角形:△AMD和△BMD,故有S=S+S. 實(shí)際上是依托曲線構(gòu)建的“鉛垂”模型,利用同底和兩頂點(diǎn)之間的距離即可完成面積模型轉(zhuǎn)化,也是該問題突破的關(guān)鍵. 該方法常用于與曲線相關(guān)的面積問題,如面積關(guān)系問題、面積最值問題等. 突破過程分為兩步:一是模型構(gòu)建,二是模型轉(zhuǎn)化,最終目的是將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于線段長(zhǎng)、點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)的代數(shù)式.

    [?] 多解探究

    解析幾何問題的突破思路及解法較為多樣. 對(duì)于本問題,除了上述解法外,所涉兩問還可以從其他視角來構(gòu)建思路. 第(1)問中,還可以利用拋物線的定義來轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng). 而第(2)問中,可把握點(diǎn)N的位置特點(diǎn),避開模型轉(zhuǎn)化,直接利用線段長(zhǎng)論證兩三角形的面積關(guān)系. 下面開展多解探究,多樣構(gòu)建思路.

    1. 軌跡方程的另解

    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意可得x>0,點(diǎn)P在☉F外,則點(diǎn)P到☉F上的最小距離為PF-1,分析可知點(diǎn)P到F(1,0)的距離PF等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離,所以點(diǎn)P位于以點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn),x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上,則E的方程可表示為y2=4x(x>0).

    2. 關(guān)系論證的多解

    設(shè)過點(diǎn)F直線與拋物線E的交點(diǎn)A(x,y),B(x,y),設(shè)直線方程為x=ty+1(t≠0),與拋物線方程聯(lián)立,有x=ty+1,

    y2=4x,整理可得y2-4ty-4=0,Δ=16t2+16>0,由韋達(dá)定理可得y+y=4t,則x+x=4t2+2. 點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),則D(2t2+1,2t),由拋物線的定義可得AB=(x+1)+(x+1)=4t2+4,設(shè)與☉D相切于點(diǎn)M的直線為l:x=m. 因?yàn)镈M與拋物線相交于點(diǎn)N,則m<0,且DM⊥l,故DM=AB,所以2t2+1-m=(4t2+4),可解得m=-1.

    設(shè)點(diǎn)N(x,y),則y=2t,同時(shí)位于拋物線y2=4x上,有(2t)2=4x,可解得x=t2. 因?yàn)?t2,故點(diǎn)N是MD的中點(diǎn),則有S=2S. 又知點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),則有S=2S,所以S=4S.

    評(píng)析:上述通過三角形面積代換論證了其中的面積關(guān)系,解法的核心是把握線段的中點(diǎn),主要有兩個(gè):一是點(diǎn)N為MD的中點(diǎn),二是點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),前者需要利用曲線、直線、圓的位置關(guān)系來推導(dǎo),后者直接由☉D的構(gòu)建過程即可得出.

    [?] 教學(xué)建議

    1. 深度解讀信息,關(guān)注構(gòu)建過程

    本文對(duì)一道以拋物線為背景的解析幾何題進(jìn)行了解法探究,問題圖像復(fù)雜、信息量大. 探究教學(xué)中建議關(guān)注兩點(diǎn):一是深度解讀信息,指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行條件提煉轉(zhuǎn)化;二是開展思路突破,指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思路構(gòu)建. 以上述問題為例,對(duì)于核心條件以AB為直徑作圓,要解讀點(diǎn)D在線段AB中的位置;平行于y軸的直線與圓相切,要解讀點(diǎn)D和M的縱坐標(biāo)值相等. 而過程構(gòu)建時(shí)要指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣,充分利用數(shù)形結(jié)合的方法,按照“信息解讀→條件羅列→圖像理解→模型構(gòu)建→問題轉(zhuǎn)化”的思路逐步剖析,讓學(xué)生體驗(yàn)解題過程,感知問題解法.

    2. 合理拓展解法,拓寬解題思路

    解法多樣是解析幾何綜合題的一大特點(diǎn),解題探究時(shí)建議合理拓展解法,引導(dǎo)學(xué)生從不同視角思考問題,探索思路構(gòu)建的方法. 以上述第(2)問的面積關(guān)系問題為例,可從面積模型轉(zhuǎn)化視角入手,結(jié)合面積公式將幾何模型轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的數(shù)式;也可從面積關(guān)系轉(zhuǎn)化入手,把握點(diǎn)坐標(biāo)的位置特點(diǎn),直接分析三角形面積之間的關(guān)系. 實(shí)際教學(xué)時(shí),讓學(xué)生思考問題的解析策略,引導(dǎo)學(xué)生把握問題的函數(shù)與幾何屬性,探討問題的創(chuàng)新解法. 教學(xué)中設(shè)置引導(dǎo)性問題,提煉問題模型,引導(dǎo)學(xué)生探索圖形特征,自主思考,獨(dú)立構(gòu)建,逐步拓寬學(xué)生的解題思路.

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