異面直線所成角問(wèn)題的解法探究

盛錦星

[摘? 要] 異面直線所成角問(wèn)題的難度中等，求角方法較為多樣，可直接通過(guò)平移變換將異面直線轉(zhuǎn)換到同一平面，也可依托空間向量法來(lái)求解. 文章深入探究異面直線所成角問(wèn)題的解法，并反思總結(jié)，提出幾點(diǎn)建議.

[關(guān)鍵詞] 異面直線;角度;平移法;空間向量

異面直線所成角問(wèn)題是立體幾何常見(jiàn)問(wèn)題類型，解題核心是構(gòu)建異面直線所成的平面角，常用的方法也較為豐富，下面深入探究.

[?] 引例探究

例題：在正方體ABCD-ABCD中，已知點(diǎn)E是CC的中點(diǎn)，則異面直線AE和CD所成角的正切值為_(kāi)_______.

分析：充分利用正方體的特性，可得CD∥AB，通過(guò)平行或平移將異面直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面直線AB與AE之間的問(wèn)題. 要求兩者所成角的正切值，將其放置在△ABE中進(jìn)行.

詳解：在正方體ABCD-ABCD中，可知CD∥AB，所以異面直線所成的角為∠EAB，如圖1所示. 可設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2a，點(diǎn)E是CC的中點(diǎn)，則CE=a，進(jìn)一步可求得BE=a. 在Rt△EAB中，有tan∠EAB===，即異面直線AE和CD所成角的正切值為.

[?] 方法總結(jié)

上述是一道異面直線考題，主要考查異面直線所成角的相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的空間想象和運(yùn)算能力要求較高. 上述采用了求異面直線問(wèn)題常用的平移法，掌握方法的解題策略十分重要. 平移法求異面直線所成角的基本思想是平移轉(zhuǎn)換，核心內(nèi)容是直線平移或探尋平行直線，以及依托三角形構(gòu)造夾角，一般分三步進(jìn)行，過(guò)程總結(jié)如下.

第一步，對(duì)異面直線進(jìn)行平移或平行轉(zhuǎn)換，有兩種策略：一是固定一條直線，平移另一條;二是將兩條直線同時(shí)平移到某一特殊位置，構(gòu)成同一平面.

第二步，構(gòu)建異面直線所成角，或者證明圖形中某一夾角為所求角.

第三步，依托所求角構(gòu)造三角形，通過(guò)解三角形完成求解.

另外，對(duì)于異面直線所成角問(wèn)題，需要關(guān)注角度的取值范圍，即取值范圍為

0，

，故完成角度求解后，還需對(duì)其驗(yàn)證.

[?] 強(qiáng)化拓展

實(shí)際上可將平移法細(xì)分為三種，分別為中位線平移、直接平移、補(bǔ)形平移，上述引例的平移過(guò)程可視為直接平移，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步探究其他兩種平移.

1. 平移破異面——中位線平移

中位線平移，即把握?qǐng)D形的中位線，利用中位線的平行特性完成平移，解題時(shí)需要關(guān)注圖形中的中點(diǎn)，依托中點(diǎn)構(gòu)造中位線.

例1 已知點(diǎn)A和B在以PC為直徑的球O的表面上，并且AB⊥BC，AB=2，BC=4. 若球O的表面積為24π，則異面直線PB和AC所成角的余弦值為_(kāi)_______.

分析：本題目較為特殊，依托球考查異面直線所成角、球體的相關(guān)計(jì)算. 可作出圖，取線段的中點(diǎn)，利用中位線性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)異面直線平移. 將異面直線放置在三角形中，利用余弦定理得到所求角的余弦值.

詳解：設(shè)球O的半徑為R，球的表面積為24π，則半徑R=.

根據(jù)題意構(gòu)圖，分別取PA，AB，BC的中點(diǎn)M，N，E，連接MN，ME，NE，AE，如圖2所示.

分析可知，PC=2R=2，PA⊥平面ABC. 因?yàn)锳B⊥BC，由勾股定理可得AC==2，PA=2，PB=2. 因?yàn)辄c(diǎn)M和N分別為PA和AB的中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可知MN∥PB，并且MN=PB=. 同理可得NE∥AC，且NE=AC=. 進(jìn)一步可推得AE=2，ME=3.

因?yàn)镸N∥PB，NE∥AC，所以異面直線PB和AC所成角為∠MNE或其補(bǔ)角. △MNE中，已知MN=，ME=3，NE=，由余弦定理可得cos∠MNE==-，所以異面直線PB和AC所成角的余弦值為.

2. 平移破異面——補(bǔ)形平移

補(bǔ)形平移法的核心是“補(bǔ)形”，即通過(guò)補(bǔ)充圖形來(lái)實(shí)現(xiàn)平移轉(zhuǎn)換，其中“補(bǔ)形”的目標(biāo)是為了后續(xù)的平移相交，“補(bǔ)形”時(shí)要注意依托圖形固有特征，順勢(shì)生成.

例2 如圖3所示，在正方體ABCD-ABCD中，已知點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為DD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CN所成角的大小為_(kāi)_______.

分析：本題目同樣依托正方體構(gòu)建異面直線，在原有正方體內(nèi)難以直接構(gòu)建平行直接完成平移，可在正方體的右側(cè)“補(bǔ)”一個(gè)正方體，再進(jìn)行平移相交轉(zhuǎn)換，后續(xù)通過(guò)解三角形來(lái)求角度.

詳解：如圖4所示，在正方體的右側(cè)“補(bǔ)”一個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方體. 取CE的中點(diǎn)為P，由于點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，連接CP，則有CP∥BM，則∠NCP或其補(bǔ)角為異面直線BM與CN所成的平面角.

再連接NP，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，可求得CN=CP=a. 由勾股定理可得NP=a. 由于△NCP的三邊滿足關(guān)系CN2+CP2=NP2，所以∠NCP=90°，即異面直線BM與CN所成角的大小為90°.

[?] 解法另探

上述深入探究了求異面直線所成角問(wèn)題的平移法，從建模角度來(lái)看，還可采用空間向量法來(lái)求解. 下面解讀方法原理，并結(jié)合實(shí)例探究.

空間向量法，即依托所求圖形構(gòu)建空間坐標(biāo)系，分別求出異面直線的向量坐標(biāo)，然后利用向量之間的角度關(guān)系來(lái)求解，基本原理如下：設(shè)直線l，m方向的向量分別為a和b，則兩直線所成角θ的余弦值為cosθ=.

例3 如圖5所示，已知四邊形BCCB為正方形，且AB=BC=2，平面BCCB⊥平面ABC，∠ABC=120°，則異面直線BC與AC所成角的余弦值為_(kāi)_______.

解析：本題直接構(gòu)建了兩個(gè)相交平面，求異面直線所成角的大小，可以使用空間向量法.

可以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為y軸，BB為z軸，在平面ABC中，作x軸⊥y軸，建立圖6所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意知∠ABC=120°，AB=BC=2，所以點(diǎn)A（，-1，0），點(diǎn)B（0，0，0），點(diǎn)C（0，2，0），C（0，2，2）. 所以向量=（-，3，0），=（0，2，2），則異面直線BC與AC所成角的余弦值cos〈，〉==.

評(píng)析：上述在求異面直線所成角的余弦值時(shí)采用了空間向量法，該方法通常分三步進(jìn)行：第一步是建坐標(biāo)系，求關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo);第二步，求所涉異面直線的向量坐標(biāo);第三步，利用定理求夾角的余弦值. 從解題過(guò)程來(lái)看，空間向量法的程序性更強(qiáng)，思維難度較低，只需根據(jù)方法流程求解即可.

[?] 總結(jié)思考

上述充分探究了求異面直線所成角的兩種解法，平移法是基于平移變換所構(gòu)建，空間向量法更側(cè)重幾何體系的構(gòu)建，程序性更強(qiáng)，兩種解法各具特色，實(shí)際解題時(shí)可根據(jù)問(wèn)題情景靈活選取.

異面直線所成角的解法探究教學(xué)中，建議關(guān)注以下幾點(diǎn)：

關(guān)注解法本質(zhì)，理解方法原理. 開(kāi)展解法探究，要立足方法本質(zhì)，讓學(xué)生充分掌握方法原理，如平移法的知識(shí)本質(zhì)就是平行線的性質(zhì)，通過(guò)平移來(lái)實(shí)現(xiàn)線段代換.

關(guān)注方法的構(gòu)建思路，應(yīng)重點(diǎn)教學(xué)方法的使用過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生合理使用，嚴(yán)謹(jǐn)論證，如空間向量法分三步進(jìn)行解題構(gòu)建，每一步環(huán)環(huán)相扣.

倡導(dǎo)方法拓展，提升學(xué)生思維的靈活性. 上述僅列舉了該類問(wèn)題的兩種常用方法，但不局限于此. 教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維，合理拓展解法，可利用“一題多解”進(jìn)行解法探究，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.

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