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    關(guān)于導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”問題的解讀與探究

    2021-03-19 22:33:48段惠瑩
    關(guān)鍵詞:單調(diào)性范圍不等式

    段惠瑩

    [摘? 要] 導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”問題十分常見,探究學(xué)習(xí)需要掌握“隱零點(diǎn)”的含義與確定方法,以及問題突破的方法策略. 文章剖析導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”,歸納解法,并結(jié)合實(shí)例加以探究,提出相應(yīng)的建議.

    [關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);隱零點(diǎn);單調(diào)性;最值;不等式;范圍

    [?] 問題綜述

    導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的重要工具,利用導(dǎo)數(shù)可以求解函數(shù)綜合題,而導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題最終都要?dú)w結(jié)于函數(shù)單調(diào)性的判斷,函數(shù)單調(diào)性與其零點(diǎn)密切相關(guān),故導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是解題的核心. 實(shí)際問題中導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有兩種類型,從零點(diǎn)是否可精準(zhǔn)求解分為“顯零點(diǎn)”和“隱零點(diǎn)”. 其中“隱零點(diǎn)”指的是能夠判斷其存在,但不能或難以確定其極值. 相對于一般零點(diǎn)問題,導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題在解決時(shí)有一定的差異,下面具體探究其解題策略.

    [?] 實(shí)例分析

    問題:已知函數(shù)f(x)=x2-x-xlnx,試證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)x,使得e-2<f(x)<.

    分析:由函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識可知,可導(dǎo)函數(shù)f(x)存在極值的必要條件是f′(x)存在零點(diǎn)x,原函數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=2x-2-lnx,故需要判斷其是否有零點(diǎn). 解題的關(guān)鍵是證明x是唯一的極大值點(diǎn),后續(xù)需化簡表達(dá)式f(x).

    解析:已知原函數(shù)f(x)=x2-x-xlnx,對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=2x-2-lnx,觀察可知f′(1)=0. 令g(x)=2x-2-lnx,則g′(x)=,令g′(x)=0,則x=. 分析可知在

    0,

    上,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;在

    ,+∞

    上,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;所以當(dāng)x=時(shí),g(x)取得最小值. 由于g

    =-1+ln2<0,g(1)=0,g(e-2)>0,所以g(x)在

    0,

    上只有一個(gè)零點(diǎn)x,在

    ,+∞

    上只有一個(gè)零點(diǎn)1.

    g(x)的正負(fù)性就是f′(x)的正負(fù)性,可判斷f(x)的極值情形.

    分析可知x=x是函數(shù)f(x)唯一的極大值點(diǎn),并且2x-2-lnx=0,x∈

    0,

    . f(x)=-

    x-

    +,所以f(x)<成立;又因?yàn)閒(e-1)=e-2,而e-1∈

    0,

    ,f(x)為極大值,故f(x)>e-2.

    綜上可知,e-2<f(x)<.

    評析:上述求證x是函數(shù)的極大值點(diǎn),使得e-2<f(x)<,而原函數(shù)的零點(diǎn)的不易求出故需要通過分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)取值范圍,進(jìn)而證明不等式. 總體來看,其經(jīng)歷了求導(dǎo)函數(shù)、判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性、確定原函數(shù)的最值表達(dá)式等過程.

    [?] 策略總結(jié)

    導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題的解析過程同樣需要靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,其特殊之處在于需要關(guān)注其中的隱性零點(diǎn),實(shí)際解析時(shí)把握特征、準(zhǔn)確界定零點(diǎn)取值范圍即可,可采用如下策略逐步突破.

    第一步,由零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在,并構(gòu)建零點(diǎn)方程f′(x)=0,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定零點(diǎn)的取值范圍;

    第二步,將零點(diǎn)作為分界點(diǎn),推導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)性,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,得出關(guān)于函數(shù)f(x)的最值表達(dá)式;

    第三步,靈活變形零點(diǎn)方程,將其整體代入最值表達(dá)式中進(jìn)行化簡證明.

    同時(shí)對于導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題,需要重點(diǎn)關(guān)注其中的三個(gè)過程,包括零點(diǎn)確定性過程、最值表達(dá)式的變形過程及整體代入過程,具體內(nèi)容如下.

    (1)隱性零點(diǎn)確認(rèn),確認(rèn)隱性零點(diǎn)可直接利用零點(diǎn)存在性定理,也可由函數(shù)的圖像特征,以及題設(shè)條件來推導(dǎo). 而隱性零點(diǎn)的范圍界定,主要由所求問題來決定,解析盡可能縮小其取值范圍.

    (2)表達(dá)式的變形過程中,盡可能將復(fù)雜的表達(dá)式變形為常見的整式或分式,特別注意替換其中的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)式,為后續(xù)的探究做鋪墊.

    (3)整體代入過程基于的是數(shù)學(xué)的設(shè)而不求思想,對于其中的超越式,盡可能化為常見的代數(shù)式.

    [?] 方法實(shí)踐

    上述充分總結(jié)了導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題的解題策略,并強(qiáng)調(diào)了解析過程需要重點(diǎn)關(guān)注的三點(diǎn),該策略適用于多類問題中,下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行實(shí)踐探究.

    類型一:不等式證明中的“隱零點(diǎn)”

    例1 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R),

    (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性及極值;

    (2)如果函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x和x,試證明-<2.

    解析:(1)已知f(x)=lnx-ax,則其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=-a. 分析可知當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0恒成立,則原函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值;當(dāng)a>0時(shí),f′(x)>0,0<x<,則原函數(shù)f(x)在

    0,

    上單調(diào)遞增,在

    ,+∞

    上單調(diào)遞減. 所以函數(shù)f(x)的極大值為f

    =-lna-1.

    (2)可設(shè)0<x<x,則有l(wèi)n

    x

    -ax=0,

    ln

    x

    -ax=0,可得lnx-lnx=a(x-x),即=,所以--2=,可設(shè)t=>1,則ln>0,2---2ln=2-t--2lnt. 設(shè)g(t)=2-t--2lnt,則g′(t)=<0,即函數(shù)g(t)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(t)<g(1)=0,從而有<0,即-<2.

    評析:上述第(2)問是關(guān)于導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的不等式證明問題,其中的x和x可視為是隱零點(diǎn),設(shè)定兩者的相互關(guān)系,構(gòu)建代數(shù)式條件是解析的關(guān)鍵,后續(xù)采用整體代入的方式來簡化問題式,并借助導(dǎo)數(shù)研究其取值范圍,整個(gè)思路充分貫徹設(shè)而不求思想,簡化了解題過程.

    類型二:函數(shù)范圍問題中的“隱零點(diǎn)”

    例2 已知函數(shù)f(x)=(logx)2+4logx+m,x∈

    ,4,m為常數(shù).

    (1)設(shè)函數(shù)f(x)存在大于1的零點(diǎn),試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

    (2)設(shè)函數(shù)f(x)存在兩個(gè)互異的零點(diǎn)α和β,試求m的取值范圍,并求出α·β的值.

    解析:(1)可令logx=t,x∈

    ,4,則g(t)=t2+4t+m (t∈[-3,2]). 該問設(shè)定f(x)存在大于1的零點(diǎn),故方程t2+4t+m=0在t∈(0,2]上存在實(shí)數(shù)根. 由t2+4t+m=0可得m=-t2-4t(t∈(0,2]),所以m∈[-12,0),即m的取值范圍為[-12,0).

    (2)該問設(shè)定α和β是函數(shù)f(x)兩個(gè)互異的零點(diǎn),則函數(shù)g(t)=t2+4t+m在[-3,2]上有兩個(gè)互異的零點(diǎn)t,t,且t=logα,t=logβ,所以Δ=16-4m>0,

    g(-3)≥0,

    g(2)≥0,可解得3≤m<4,所以m的取值范圍為[3,4). 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得t+t= -4,即logα+logβ=-4,所以log(α·β)= -4,可解得α·β=.

    評析:上述是關(guān)于參數(shù)取值范圍問題,其中第(2)問設(shè)定了函數(shù)的兩個(gè)互異零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)定義域可將其范圍縮小,并構(gòu)建相關(guān)的方程組,求出m的取值范圍.

    [?] 反思教學(xué)

    導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的重要工具,同樣可用于隱零點(diǎn)問題中,上述所總結(jié)的三步策略及注意事項(xiàng)可用于多類型問題求解,是證明不等式、突破函數(shù)最值與范圍問題的強(qiáng)有力的手段,下面開展教學(xué)反思,提出幾點(diǎn)建議.

    1. 理解隱零點(diǎn)定義,總結(jié)確定方法

    “隱零點(diǎn)”本質(zhì)上還是零點(diǎn),是基于精準(zhǔn)求解而設(shè)定的零點(diǎn)劃分,學(xué)習(xí)時(shí)需要關(guān)注其本質(zhì),把握“難以精確定位”和“準(zhǔn)確求極值”對“隱零點(diǎn)”的定義,故“隱零點(diǎn)”的存在性是一定的. 另外需要關(guān)注“隱零點(diǎn)”的確定方法,上述總結(jié)了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)圖像、題設(shè)條件三種,理解方法原理,掌握方法技巧極為關(guān)鍵. 故教學(xué)中需要注重對“隱零點(diǎn)”兩大內(nèi)容的剖析,一是“隱零點(diǎn)”的定義設(shè)定,二是“隱零點(diǎn)”的確定方法,教學(xué)中可對比“顯零點(diǎn)”,結(jié)合實(shí)例具體探究.

    2. 歸納三步策略,強(qiáng)化解析思維

    上述所歸納的“三步法”是求解導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”的重要方法,構(gòu)建了“零點(diǎn)判斷→單調(diào)性分析→代入轉(zhuǎn)化”的解析思路. 三步過程之間緊密相關(guān),具有嚴(yán)密的邏輯順序,嚴(yán)格按照該方法求解可實(shí)現(xiàn)問題的高效作答. 而在實(shí)際教學(xué)中,除了需要指導(dǎo)學(xué)生掌握“三步法”的構(gòu)建思路外,還要注重解題引導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生的解析思維. 讓學(xué)生親歷探究過程,通過設(shè)問引導(dǎo)來完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,從根本上提升學(xué)生的能力.

    3. 掌握轉(zhuǎn)換方法,積累變形經(jīng)驗(yàn)

    變形轉(zhuǎn)換是求解導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”問題的重要環(huán)節(jié),將直接確定問題走向,該環(huán)節(jié)需要使用一定的方法技巧. 常見的轉(zhuǎn)換方法有分離參數(shù)、變更主元、整體代換、分離函數(shù)等,對于涉及參數(shù)的不等式問題,可采用分離參數(shù)來簡化,然后基于代數(shù)式構(gòu)造函數(shù)來研究性質(zhì),同時(shí)配合整體代換實(shí)現(xiàn)函數(shù)的簡潔化,而變更主元常用于導(dǎo)函數(shù)無法求出零點(diǎn)的情形. 教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生掌握上述轉(zhuǎn)換技巧的內(nèi)涵,然后結(jié)合實(shí)例具體講解,幫助學(xué)生積累簡化經(jīng)驗(yàn),提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

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