說零點(diǎn)問題

黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王曉紅

題目：已知函數(shù)f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）

A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

高考背景：

此題是2014年新課標(biāo)I理科11題，是一道關(guān)于零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題.在近幾年的高考中，零點(diǎn)問題頻頻出現(xiàn)，不僅出現(xiàn)于客觀題中，考查考生對(duì)零點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與基本技能的掌握，而且滲透于主觀題中，多與導(dǎo)數(shù)有機(jī)融合，考查考生的思辨能力、轉(zhuǎn)化能力.該類型題的特征是：設(shè)問多樣、隱顯分明、注重基礎(chǔ)、適度交匯，其解法要因題擇法，既要重視定義、定理、構(gòu)造等代數(shù)方法，又要強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化思想.事實(shí)上，教材概述零點(diǎn)問題，就給零點(diǎn)賦以“形”與“數(shù)”的雙刃面，這不僅拓展了知識(shí)理解的深度，而且提升了問題解答的寬度.

知識(shí)準(zhǔn)備：

1.函數(shù)零點(diǎn)的定義.

一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在實(shí)數(shù)a處的值等于零，即f（a）＝0，則a叫作這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

2.幾個(gè)等價(jià)關(guān)系.

方程f（x）＝0有實(shí)數(shù)根？函數(shù)y＝f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f（x）有零點(diǎn).

解題方法：

題目：已知函數(shù)f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）

A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

解法一：一個(gè)函數(shù)討論畫圖象.

函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)，即y＝f（x）函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，求函數(shù)的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

①a＝0時(shí)，f（x）＝-3x2+1，易知舍去.

②a＞0時(shí)，f（x）＝0則

x （-∞，0）0（0，2 a） 2 a （2，+∞）f（x） + 0 - 0 +f（x） ↑ ↑a↑

由圖象可知函數(shù)f（x）存在負(fù)數(shù)零點(diǎn)，此時(shí)不滿足題意.

③a＜0時(shí)，

x（-∞，2 a）2 a （2，0）0（0，+∞）f（x） - 0 + 0 -f（x） ↑a↑↑

由圖可知函數(shù)f（x）的極大值為f（0）＝1＞0，所以只需f（x）的極小值，所以a＜-2.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-2）.

解法二：轉(zhuǎn)化為方程的根，然后參量變量分離.

函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f（x）的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，求函數(shù)的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為方程f（x）＝0的根.轉(zhuǎn)化為ax3-3x2+1＝0有唯一根，且此根為，設(shè)奇函數(shù)）

x（0，1） 1（1，+∞）y' + 0 -y ↑ ↑

x→0時(shí)，y→-∞.

x→+∞時(shí)，y→0.

由圖可知，a＜-2.

解法三：轉(zhuǎn)化為方程的根，然后化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，求函數(shù)的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為y＝f（x）函數(shù)的圖象與軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，或?qū)⒎匠蘤（x）＝0整理成f1（x）＝f2（x）的形式，然后在同一直角坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)y＝f1（x），y＝f2（x）的圖象，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

y＝ax-3與相切時(shí)，斜率為±2，由題意可知a＜-2.

歸納說明：化為兩個(gè)函數(shù)時(shí)，選擇曲線對(duì)曲線不易控制，選擇直線對(duì)曲線相對(duì)容易.

比對(duì)三種方法，分析哪個(gè)方法更適合本題.

變式訓(xùn)練：

變式（1）已知函數(shù)f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 .

變式（2）已知函數(shù)f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 .

變式（3）已知函數(shù)f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 .

首先用上述的第一種方法解決三個(gè)變式

變式（1）

變式（2）

變式（3）

用上述另外兩種方法解決三個(gè)變式，分析哪方法更恰當(dāng).

變式（4）已知函數(shù)f（x）＝ax3-3x2+1，若x＞0，f（x）＞0恒成立，則a的取值范圍是 .

首先用上面的第一種方法解決，

①a＝0舍去，

②a＞0且

③a＜0舍去，

∴a＞2.

用另外兩種方法解決，分析哪個(gè)方法更恰當(dāng).

變式（5）（高考題）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

當(dāng)x＝0時(shí)，a∈R，成立.

當(dāng)0＜x≤1時(shí)，a

在0＜x＜1時(shí)，y'＞0，故y在[0，1]上遞增.

∴ymax＝-6，∴a≥-6.

當(dāng)-2≤x＜0時(shí)同理可知，

x（-2，-1）-1（-1，0）y' - 0 +y↑↑ -2

∴a≤-2.

綜上所述，-6≤a≤-2.

對(duì)于本題，若是從“求函數(shù)f（x）＝ax3-x2+4x+3（-2≤x≤1）的最小值”角度求解將很麻煩，例題本身求導(dǎo)之后可以因式分解，用最值法容易解決，所以解題需要合理的方法.

轉(zhuǎn)化為（x-1）ex＜a（x-2），設(shè)y＝（x-1）ex，y＝a（x-2），y＝xex,

x（-∞，0）0（0，+∞）y' - 0 +y-1 ↑↑

歸納說明：將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)更為恰當(dāng)，隱直線的挖掘，進(jìn)而化為直對(duì)曲..

歸納總結(jié)：

解決函數(shù)零點(diǎn)問題主要依賴數(shù)形結(jié)合，可以直接用一個(gè)函數(shù)討論畫圖象，也可以參變量分離，又可以化為兩曲線（兩函數(shù)）討論畫圖象，無(wú)論選擇哪種辦法都依賴于圖象，正所謂“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”.我們可以從體會(huì)更深刻的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.