讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)研究過程
——“基本不等式”的教學(xué)實(shí)錄與反思

龔亮亮 卓 斌 (南京師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中 210007)

探索是任何一門科學(xué)的生命線．“一個(gè)好的教師讓人發(fā)現(xiàn)真理，而一個(gè)壞的教師奉送真理”．在數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式的教學(xué)中，我們要讓學(xué)生經(jīng)歷“問題—實(shí)驗(yàn)—猜想—證明”這樣真實(shí)的研究過程，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的能力．本文以“基本不等式”一課為例，談一談讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程與思考．

1 課堂教學(xué)實(shí)錄

1.1 創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，提出數(shù)學(xué)問題

師：同學(xué)們，屏幕上展示的是什么？

生眾：天平．

師：我們都知道天平是用來稱量物體質(zhì)量的，老師現(xiàn)在遇到一個(gè)棘手的問題．

(屏幕展示)現(xiàn)有一架天平造得不準(zhǔn)確，天平的兩臂長略有不同(其他因素不計(jì))．將物體放到左右兩個(gè)盤子中各稱一次，放在左盤稱得質(zhì)量為a，放在右盤稱得質(zhì)量為b．那么該如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？

師：你是怎么思考的？

生1：物體放在左、右兩盤稱了兩次，兩臂長略有不等，所以兩次稱得的質(zhì)量應(yīng)該一次比物體質(zhì)量略大，一次比物體質(zhì)量略小．

師：因此你取了兩次的平均值．同學(xué)們，你們認(rèn)可嗎？還可以從其他角度合理地表示物體的質(zhì)量嗎？

師：請(qǐng)問l1,l2是怎么來的？

生2：設(shè)天平的左臂長為l1，右臂長為l2．

師：認(rèn)真審題，你列的方程組對(duì)嗎？

師：如何求解呢？

師：將兩式相除的目的是什么？

生3：因?yàn)閘1,l2是求解中引進(jìn)的輔助量，必須消去．

點(diǎn)評(píng)教師通過問題：天平稱量物體兩次質(zhì)量不等，怎樣合理表示物體的質(zhì)量？引發(fā)學(xué)生積極思考，一是依靠生活常識(shí)，用“算術(shù)平均數(shù)”表示，二是借助學(xué)習(xí)的物理知識(shí)進(jìn)行嚴(yán)格運(yùn)算，從而得到兩個(gè)不同的結(jié)果．進(jìn)而追問：“依靠生活常識(shí)給出的估計(jì)值和準(zhǔn)確值相比，是大了還是小了呢？”創(chuàng)設(shè)的情境真實(shí)而有意義，問題的提出合理而自然．難能可貴的是對(duì)生2的兩處錯(cuò)誤，教師處置較為高明：一是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，不放過細(xì)節(jié)；二是引導(dǎo)學(xué)生明白解題過程中引進(jìn)的輔助量必須消去，做到設(shè)而不求．

1.2 設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，作出數(shù)學(xué)猜想

師：可能相等嗎？

生4：當(dāng)a=b時(shí)，相等．

表1

師：因此，你的猜想是什么呢？

師：數(shù)學(xué)講究嚴(yán)謹(jǐn)而理性，僅靠有限的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)得到的結(jié)論不能作為數(shù)學(xué)命題．接下來應(yīng)該怎么辦呢？

1.3 嘗試數(shù)學(xué)證明，得出數(shù)學(xué)命題

生眾：證明．

師：請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下給出證明．

(停頓20秒，巡視一下有哪些不同的證明思路)．

實(shí)物投影展示第一位學(xué)生的證法:

師：請(qǐng)說說數(shù)學(xué)依據(jù)，怎么想到證明思路的？

生5：先平方，然后作差．

師：什么時(shí)候取等號(hào)呢？

生6：當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．

師：解釋一下，什么叫“當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)？”

生6：是的．

師：因此，我們應(yīng)該說“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)”．

師：兩邊不平方，直接作差，行嗎？

師：這種證明方法稱為作差比較法．

師：請(qǐng)這位同學(xué)說說你是怎么想的？

生8：必須增加條件a>0,b>0．

師：非常好！這種證明方法叫做綜合法．請(qǐng)同學(xué)們思考，綜合法與分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？

生9：綜合法就是將分析法的順序倒過來．分析法是從要證的式子入手，一步一步尋找使得它成立的充分條件．綜合法就是把分析法的最后一步作為條件，一步一步推到我們要證的結(jié)論．

師：好的，分析法就是執(zhí)果索因，綜合法是由因?qū)Ч?/p>

點(diǎn)評(píng)基于學(xué)生真實(shí)的證明思路，教師悉心呵護(hù)學(xué)生“原生態(tài)”的思維過程，并引導(dǎo)學(xué)生修正完善，總結(jié)提煉，最終自然地給出了四種不同的證明方法——平方作差法、作差比較法、分析法和綜合法．師生之間火熱的對(duì)話既是數(shù)學(xué)思維的碰撞，也是數(shù)學(xué)思想的流淌，猶如一幅美麗的畫卷，讓人賞心悅目．

1.4 精致數(shù)學(xué)命題，析出研究經(jīng)驗(yàn)

師：我們從數(shù)的角度進(jìn)行了證明，能否從形的角度來認(rèn)識(shí)這個(gè)不等式呢？(停頓30秒)比如我們現(xiàn)在有兩條線段，長度分別為a和b，你能夠構(gòu)造出不等式兩側(cè)的量嗎？

圖1

師：理由呢？

師：那么這個(gè)不等式的幾何意義用文字語言如何敘述呢？

生13：半弦不大于半徑．

生14：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它的算術(shù)平均數(shù)．

師：a，b一定要是正數(shù)嗎？

生15：a，b都為零，或者a，b中有一個(gè)為零，不等式也成立．

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的基本不等式(板書課題)．

同學(xué)們，這個(gè)不等式之所以稱為基本不等式，是因?yàn)樗兄鞔_的數(shù)學(xué)意義，而且應(yīng)用非常廣泛．不等式中的a，b只能表示數(shù)字嗎？表示代數(shù)式行不行？

生16：可以是代數(shù)式，但是必須大于或等于零．

師：你能不能舉個(gè)例子？

師：很好！基本不等式還有很多變式，我們下節(jié)課會(huì)繼續(xù)研究．總結(jié)一下本節(jié)課，你有什么收獲？

生17：我們學(xué)習(xí)了基本不等式及基本不等式的四種證明方法，并從數(shù)和形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)了基本不等式．

師：非常好！調(diào)整一下順序，就是“一二四四，”即：一個(gè)不等式、兩個(gè)認(rèn)識(shí)角度、四種證明方法和數(shù)學(xué)研究的四個(gè)步驟．

師：布置兩道課后思考題：1)基本不等式能否推廣到n(n>1,n∈N*)個(gè)非負(fù)數(shù)的情形？2)趙爽弦圖和2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)能否用今天學(xué)習(xí)的基本不等式給出解釋？

2 教學(xué)后的反思

如何讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)真實(shí)的數(shù)學(xué)研究過程一直是我們探索的課題，“基本不等式”這節(jié)課的教學(xué)是一個(gè)很好的嘗試．

2.1 設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}串，讓研究有載體

2.2 基于學(xué)情的修正完善，讓研究有根基

2.3 逐步實(shí)現(xiàn)命題精致化，讓研究有生長

2.4 運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，讓研究有抓手