立足數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)內(nèi)涵 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力
——以“潮汐問題”為例

劉靜平 朱 瀟 (湖北省黃石市第七中學(xué) 435000)

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (2017 年版)》[1]明確指出數(shù)學(xué)建模是中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一．然而，目前從教師的教到學(xué)生的學(xué)，都對數(shù)學(xué)建模的重視度不夠．因此,如何提升高中生的數(shù)學(xué)建模能力依然是教師不容忽視的重要課題．

2019年筆者參加了“黃石好課堂”優(yōu)質(zhì)課比賽，以人教A版《數(shù)學(xué)》(必修4)[2]“三角函數(shù)模型簡單應(yīng)用”為載體設(shè)計了一節(jié)課，得到評委一致好評，被認(rèn)為本節(jié)課立足教材，高于教材，真正做到了“用教材教”，而不是“教教材”，為數(shù)學(xué)建模課提供了一個范式，因此榮獲一等獎．

本文立足于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵，結(jié)合筆者參加賽課的課例，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)活動過程中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，以期同行批評指正．

2 立足內(nèi)涵，實例分析

數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題．其本質(zhì)概括起來，即用數(shù)學(xué)眼光分析實際問題，用數(shù)學(xué)語言描述實際問題，用數(shù)學(xué)模型解決實際問題．下面結(jié)合“潮汐問題”，分析如何踐行其內(nèi)涵．

例海水受日月引力的影響，發(fā)生定時的漲落現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與港口水深關(guān)系表：

時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/m57.552.557.552.55

(1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，給出整點時水深的近似值(精確到0.001)．

(2)一艘貨船的吃水深度(船底與水面距離)為4 m，安全條例規(guī)定至少要有1.5 m的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？

(3)若某船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3 m的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛?cè)胼^深水域？

2.1 用數(shù)學(xué)眼光分析實際問題

由于實際應(yīng)用問題的數(shù)據(jù)原始、變量多、背景晦澀難懂等特點，學(xué)生對這類問題抱有恐懼感．教師在預(yù)設(shè)時應(yīng)該在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)引導(dǎo)并重新設(shè)計問題，幫助學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化，層層遞進(jìn)，搭好“腳手架”．

問題1在《必修1》我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型，大家回想一下函數(shù)模型應(yīng)用的基本步驟與方法是怎樣的？(預(yù)設(shè)：學(xué)生很難完整回憶起基本步驟，通過以下追問，喚醒學(xué)生記憶)

追問1 通過分析數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)有什么特征？(周期性)

追問2 我們學(xué)習(xí)的哪種函數(shù)模型可用來解決“周期性”的問題？(三角函數(shù)模型)

問題2結(jié)合以上老師提出的問題，你能完整總結(jié)出建立模型的流程嗎？

說明用數(shù)學(xué)眼光分析問題，即用數(shù)學(xué)視野和數(shù)學(xué)思維看待實際問題，將實際問題進(jìn)行第一次抽象．例如，將時間變量抽象成x，港口水深抽象成y，水深隨時間的變化情況即為y隨時間x的變化情況；將問題中有規(guī)律的變化特征抽象成數(shù)學(xué)性質(zhì)——周期性；然后進(jìn)一步將文字語言抽象成圖象語言，將圖象語言抽象成符號語言．在層層遞進(jìn)、小步子“爬梯”的過程中，將現(xiàn)實情境簡化、分化、結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題．

2.2 用數(shù)學(xué)語言描述實際問題

圖1

分析用數(shù)學(xué)語言描述實際問題，即用一種簡潔、抽象的語言系統(tǒng)，理性地把握事物的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律．這對培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、抽象概括能力是大有裨益的．在這一個環(huán)節(jié)中，由于學(xué)生對實際問題的畏難心理，導(dǎo)致其成就動機不強，再加上學(xué)生大腦中認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及實際問題的表征方式等因素的影響，他們很難構(gòu)建出函數(shù)模型．需要教師對問題的表征方式加以修改，創(chuàng)設(shè)吸引注意力的情境，比如關(guān)于潮汐現(xiàn)象的報道等；同時創(chuàng)設(shè)可供學(xué)生積極討論的平臺和氛圍，在不斷“選擇—修改—驗證”的過程中準(zhǔn)確構(gòu)建出函數(shù)模型．

2.3 用數(shù)學(xué)模型解決實際問題

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活．對書本知識系統(tǒng)、深刻、熟練的掌握正是解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的知識基礎(chǔ)和思路起點．因此，課堂教學(xué)要多以生活實際提出問題、分析問題．建構(gòu)函數(shù)模型是為了解決實際問題，根據(jù)函數(shù)變量間的依賴性達(dá)到預(yù)測現(xiàn)實事物狀態(tài)的目的．但由于文字?jǐn)⑹龅膯栴}中陌生領(lǐng)域名詞較多，變量間的關(guān)系不明朗，這是學(xué)生不能用模型解決問題的難點，教師仍然需要將問題(2)(3)進(jìn)行重新剖析和引導(dǎo)，甚至用圖象幫助學(xué)生直觀理解．

圖2

問題3貨船船底與水面距離稱之為吃水深度．為保證安全，規(guī)定船底與海洋底距離的距離至少要有1.5 m，這個距離稱為安全間隙．假設(shè)一艘貨船的吃水深度為4 m，那么貨船至少需要的水深(安全水深)為多少米？(5.5 m)

追問 在問題3的條件下，該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？(y≥5.5時可進(jìn)港)

圖3

問題4若某船吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3 m的速度減少，假設(shè)在時刻x(x≥2)時，貨船在保證安全的前提下，安全水深為y1，你能建立y1與x的關(guān)系式嗎？ (y1=4-0.3(x-2)+1.5=-0.3x+6.1)

追問 該船什么時候必須停止卸貨，駛向海中？(y≥y1時可以卸貨)

圖4

討論1有人認(rèn)為既然P是兩圖象交點，所以在x=xP時，安全水深和港口水深相等，在這時停止卸貨就可以了．如果你是船長，你會卡在這個時刻停止卸貨嗎？

討論2這節(jié)課我們以一個實際例子為載體，完整地經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)建模的過程．但這道題的數(shù)據(jù)“太好了”，實際問題中很難遇到這樣的數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)律性不是特別明顯時，我們該如何選擇模型呢？又該如何修正呢？

說明 由于實際問題表征方式以及數(shù)據(jù)都比較復(fù)雜，往往需要借助信息技術(shù)化抽象為形象，用計算機輔助計算．此外，用數(shù)學(xué)建模思想解決實際問題時還需要其他素養(yǎng)和知識儲備，教師要善于引導(dǎo)．比如，問題3和問題4的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生想到用數(shù)形結(jié)合的思想解決方程的解以及函數(shù)圖象交點問題是關(guān)鍵．再者，實際問題往往具有其特殊性以及會受到無關(guān)變量的影響，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)類似討論環(huán)節(jié)中的問題，讓學(xué)生暢所欲言，使其碰撞出智慧的火花，這也有利于培養(yǎng)學(xué)生理性、全面思考問題的能力．通過上述的建模分析,學(xué)生可以將模型分析的結(jié)果與實際情形進(jìn)行比對,以此來驗證模型的合理性和準(zhǔn)確性,從而得到上述的三角函數(shù)模型，進(jìn)而可以將有關(guān)的數(shù)值直接代入進(jìn)去求得答案．這樣可以極大地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決效率,并促使學(xué)生感知數(shù)學(xué)模型的應(yīng)有價值,從而讓學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模意識．

3 思考

3.1 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)扎根“課堂”而不是“課標(biāo)”

“課標(biāo)”強調(diào)數(shù)學(xué)建模能力的重要性．但實施“課標(biāo)”以來，落實情況并不理想．很多內(nèi)容在課堂上直接刪掉不講，或者僅僅只是在公開課等表演性質(zhì)強的場合才看得到．這種“高評價、低應(yīng)用”的狀態(tài)如果不改，新一輪數(shù)學(xué)課程改革可能仍然是“穿新鞋走老路”．如何讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展不是以“冷冰冰”的文字藏在“課標(biāo)”里，而是以“活生生”的案例呈現(xiàn)在課堂內(nèi)，這是我們應(yīng)該思考的問題．

3.2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)渴望“靈活”而不是“呆板”

發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的路徑不能只停留在應(yīng)用題這一層面．應(yīng)用題的價值不足以支撐數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵，應(yīng)用題價值更多體現(xiàn)在師生共同參與，建立函數(shù)模型，運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題．這一過程主要培養(yǎng)學(xué)生將“實際問題數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)問題算法化”的思維，體會建模的過程．而數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)應(yīng)該還包括數(shù)據(jù)分析處理，模型合理性的驗證、修正，結(jié)果評價反饋，以及在過程中對洞察力、創(chuàng)新力等綜合能力的培養(yǎng)．因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力時，可以讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、分析、處理、評價、反饋等過程．比如在概率與統(tǒng)計這一章，可以讓學(xué)生走出課堂去收集原始資料，然后以小組為單位分享建模成果，這也是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的有效路徑．

3.3 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)涵蓋“綜合”而不是“單一”

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)長期未能落實也存在很多客觀原因．比如，其在高考中考查力度和考查方式上存在限制，在高考指揮棒的作用下，學(xué)校很難在該內(nèi)容上花太多精力．但除了這個原因，筆者認(rèn)為更深層次的原因在于數(shù)學(xué)建模的對象來源于實際問題，而實際問題比較復(fù)雜，變量間關(guān)系難以覺察，很多跨領(lǐng)域的問題超出了數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識范疇，很多問題的呈現(xiàn)需要信息技術(shù)支持以輔助直觀理解．伴隨信息時代以及大數(shù)據(jù)時代的到來，教師的教學(xué)能力、教學(xué)手段亟待更新．因此，教師需要不斷地學(xué)習(xí)，培養(yǎng)自己綜合能力，而不是僅依靠數(shù)學(xué)學(xué)科單一的專業(yè)知識．

綜上所述，針對高中數(shù)學(xué)建模思維與能力的培養(yǎng)，教師需要通過具體的數(shù)學(xué)實踐全面分析數(shù)學(xué)模型問題．與此同時，教師在系統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性處于低迷的狀態(tài)，束縛高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的提升．因此，教師在具體的教學(xué)過程中可以通過改進(jìn)教學(xué)策略，讓學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)學(xué)建模，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識．教師還需要開展有效的數(shù)學(xué)實踐，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維及能力，然后結(jié)合學(xué)生具體的學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生高效的數(shù)學(xué)建模思維與能力．