體現(xiàn)數(shù)學本質的概念教學設計
——以“函數(shù)的概念和圖象”為例

金 鵬 高建平 (江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學 215011)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確提出:“基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學的本質．”什么是數(shù)學本質？數(shù)學本質就是數(shù)學內容本身所具有的根本屬性，是數(shù)學內容區(qū)別于其他學科內容的基本特質．傅贏芳、喻平在文[1]中指出：“對數(shù)學本質的理解是學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的必要條件，數(shù)學教學要關注知識的源起、發(fā)展、價值和意義以及學科的內在本質和規(guī)律，引導學生從學科的視角理解世界和分析問題，培養(yǎng)學科意識和思維習慣．”數(shù)學教學應該注重數(shù)學本質的呈現(xiàn)，這是數(shù)學教學的立足之本．基于此，筆者以“函數(shù)的概念和圖象”為例談談如何在數(shù)學概念教學中體現(xiàn)數(shù)學本質，呈己之見，與同行探討．

1 對教材內容深透理解

英國哲學家羅素曾說：“凡是你教的東西，要教得透徹．”這就意味著教師必須要深鉆教材，理清知識發(fā)生的本質，把握教材中最主要、最本質的東西．“函數(shù)的概念和圖象”是教材必修1第2章“函數(shù)的概念”中的 第1節(jié)內容，學生在初中已初步學習了函數(shù)知識，掌握了一些簡單函數(shù)的表示法、性質、圖象．本節(jié)內容是對函數(shù)概念的再認識，是對函數(shù)概念的深化與提高．為了幫助學生在原有認知基礎上突破認知瓶頸(由變量說向對應說的轉變)，整個設計從實際背景和定義兩個方面幫助學生理解函數(shù)概念的本質，而如何理解從集合的角度抽象出函數(shù)概念的本質正是本節(jié)的重難點所在．基于此，本節(jié)立足于學生所認識到的客觀現(xiàn)實中的生活實例，從具體問題入手，引導學生通過實驗、觀察、歸納、抽象、概括等活動，數(shù)學地提出、分析和解決問題．

為了使學生了解函數(shù)概念產(chǎn)生的背景，豐富函數(shù)的感性認識，執(zhí)教者力圖通過本節(jié)課的教學，讓學生通過“經(jīng)歷”和“體驗”達到“了解”“理解”的水平．具體如表1.

表1

2 教學設計要著重突出數(shù)學本質

張奠宙教授指出：數(shù)學教學的目標之一，是要把數(shù)學知識的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)，這是所有教師的責任．實際上，數(shù)學知識的學術形態(tài)通常表現(xiàn)出“冰冷的美麗”，而數(shù)學知識的教育形態(tài)正是一種“火熱的思考”．數(shù)學教師的任務在于把數(shù)學形式化的邏輯鏈條，真實地還原為當初數(shù)學家發(fā)明(發(fā)現(xiàn))時進行數(shù)學思維的過程．為了使學生了解函數(shù)的本質，本文真實地呈現(xiàn)其發(fā)展的歷程．下面摘取三個片段．

·教學片段1

問題1初中曾經(jīng)學過哪些函數(shù)？

生：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)．

問題2初中的函數(shù)是怎樣定義的？

生：一個量y隨另外一個量x變化．

師：他描述得準確嗎？還能不能更準確一些呢？

生：在一變化過程中有兩個變量x與y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么稱y是x的函數(shù)．

問題3為什么要建立函數(shù)的概念？函數(shù)的概念是如何建立的？

(教室內一片沉寂)

師：函數(shù)概念是數(shù)學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學家從多種角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動了整個數(shù)學的發(fā)展．下面就讓我們翻開歷史，一起來看一看“函數(shù)”的來龍去脈吧．

(通過PPT介紹函數(shù)概念的發(fā)展與形成的第一階段：函數(shù)的變量說)

17世紀伽俐略在《兩門新科學》一書中，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關系．1718年約翰·貝努利對函數(shù)概念進行了明確定義，他把變量x和常量按任何方式構成的量叫做“x的函數(shù)”．歐拉在《無窮分析引論》(1748)中給出的函數(shù)定義是：“一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式．”

17和18世紀的數(shù)學家對函數(shù)問題的認識有著共同的思考：函數(shù)就是解析式．

問題4y=1(x∈R)是函數(shù)嗎？是不是所有的函數(shù)關系都能用解析式表示？沒有解析式的能算作函數(shù)嗎？

學生眾說紛紜．

設計意圖基于學生的最近發(fā)展區(qū)，從學生初中學習的知識入手，但其對函數(shù)這個概念仍然是模糊的，特別是為什么要建立函數(shù)的概念？函數(shù)的概念是如何建立的？概念的形成經(jīng)歷了哪些過程？等等．基于此，通過閱讀材料，讓學生沿著數(shù)學家探索函數(shù)概念所走過的路，了解概念的來龍去脈，經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程．從數(shù)學自身的發(fā)展來看，變量與函數(shù)概念的引入，標志著數(shù)學由常量數(shù)學向變量數(shù)學邁進．初中函數(shù)概念是用“變量說”來定義的，這種定義方式有易于學生接受的一面，也有其不足的一面[2]．例如，當我們遇到問題4，y是一個常數(shù)，并沒有體現(xiàn)出一個量隨另外一個量變化，學生就會疑惑這到底是不是函數(shù)，由此需要對函數(shù)進行更深一步的研究．

·教學片段2

在現(xiàn)實生活中，我們可能會遇到下列問題：

1.估計人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據(jù)．從人口統(tǒng)計年鑒中可以查得我國1949—1999年人口數(shù)據(jù)資料如表2所示，你能根據(jù)該表說出我國人口的變化情況嗎？

表2

2.一個物體從靜止開始下落，下落的距離y(單位：m)與下落時間x(單位：s)之間近似地滿足關系式y(tǒng)=4.9x2．若一物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？

3.圖1為某市一天24小時內的氣溫變化圖．

圖1

(1)上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

(2)在什么時刻，氣溫為0℃？

(3)在什么時段內，氣溫在0℃以上？

評注對于上述問題，從學生的實際情況來看，也只能是從表面上去回答，問題2、3還可以根據(jù)解析式和圖象去尋求解答，而對于問題1學生最多也只能發(fā)現(xiàn)隨著年份的增加，人口越來越多．對于接下來如何研究函數(shù)、怎樣抽象出函數(shù)的概念仍然沒有清晰的路線與方法．教師可以引導學生進一步提出一系列有層次的問題，并借助函數(shù)的發(fā)展史，借鑒數(shù)學家的研究路線等開始概念學習．

問題1當情境1中年份確定時，相應年份的人口數(shù)是否確定？那么你能根據(jù)表格寫出1949—1999年年份與我國人口數(shù)的關系式嗎？

問題2當情境3中的時間確定時，相應的溫度是否確定？你能寫出溫度隨時間變化的關系式嗎？

問題3上述問題有變量嗎？有幾個變量？分別是什么？

問題4上述例子中變量間的關系有什么共同特點？

(待學生充分思考、討論、交流、闡述后，教師帶領學生通過PPT再次了解函數(shù)概念的發(fā)展與形成的第二階段：變量的對應說)

歐拉發(fā)現(xiàn)函數(shù)表示的是變量的一種依賴關系，并于1755年在《微分學原理》序言中給出定義：“如果某個量依賴于另一個量，當后面這個量變化時，前面這個量也隨之變化，則前面這個量稱為后面這個量的函數(shù)．”但也有學者發(fā)現(xiàn)并不是所有變量之間都具有依賴性，如果在解析式中找不到x，y的對應關系,那么還能算作函數(shù)嗎？1823年柯西從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時指出函數(shù)不一定要有解析表達式．1837年狄利克雷認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)．”

·教學片段3

(帶領學生通過PPT了解函數(shù)概念的發(fā)展與形成的第三階段：集合的對應說)

狄利克雷的函數(shù)定義出色地避免了以往各種函數(shù)定義中所有的關于依賴關系的描述，更加簡明、精確，并呈現(xiàn)完全清晰的方式．至此，我們可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義，也就是同學們初中學習的函數(shù)定義．但是我們進入高中學習了集合，那能不能用集合語言來描述這三個情境中的共同特征？

學生再次深思，教師根據(jù)學生的討論適時地提出以下幾個問題：

問題1能否用集合語言來描述這兩個變量呢？

問題2怎樣用集合語言來描述這種對應關系？這種對應關系存在什么規(guī)律呢？

問題3結合剛才所概括的函數(shù)本質，能否給出函數(shù)的概念？

問題4y=1(x∈R)是函數(shù)嗎？

生：是函數(shù)，此時A=R，B={1}，對于集合A中每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素1和它對應．

師：說得很好．在康托創(chuàng)立集合論之后，維布倫(Veblen)第一次用“集合”與“對應”的概念為近代函數(shù)定義，通過集合的概念把函數(shù)的三要素具體化，打破了“變量是數(shù)”的限制[3]．

設計意圖在函數(shù)概念的引入中，通過具體實例使學生體會對應關系．這里考慮到學生的認知基礎，從已經(jīng)掌握的具體函數(shù)出發(fā)，結合生活經(jīng)歷引發(fā)學生思考，逐步構建函數(shù)的一般概念．

3 教學中如何體現(xiàn)數(shù)學本質

3.1 尋根究源，從數(shù)學文化中感悟知識的本質

課標倡導讓學生發(fā)現(xiàn)、探索、學習新的知識，但與此同時，介紹有關的背景文化(如上述介紹函數(shù)概念的發(fā)展歷史)，讓學生欣賞數(shù)學家的探索經(jīng)歷，從這些過程中感受數(shù)學家們的執(zhí)著、反復與嚴謹，這將會帶給學生情感、態(tài)度和價值觀上的變化．另外，數(shù)學文化中蘊含的數(shù)學理性精神的追求，正是對數(shù)學本質孜孜不倦追求的體現(xiàn)，如本案例中函數(shù)概念從變量說向對應說的探索過程就是數(shù)學家不斷追求數(shù)學本質的漫長過程，學生在這樣的過程中將感悟到數(shù)學知識是不斷嚴謹化的思維成果，也更可能觸及函數(shù)概念的本質．

3.2 基于實際，從具體情境中抽象出數(shù)學本質

數(shù)學的高度抽象性是數(shù)學的本質特征，正是這樣的特征使得多數(shù)學生不易理解數(shù)學，產(chǎn)生學習的畏懼感．在概念教學中，增加“使學生感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系”，使他們有更多的機會從身邊熟悉的實例中學習數(shù)學概念和理解數(shù)學知識，感受到數(shù)學的價值．更重要的是，學生通過對實例的研究，經(jīng)歷觀察、歸納、概括等重要的數(shù)學抽象過程，通過實例的具象共性看到知識的深刻本質，具體化、生活化的案例降低了數(shù)學的抽象程度，降低了數(shù)學教學的起點和難度，增強了學生學習數(shù)學的信心和樂趣．

3.3 強調生成，在理性探究中理解數(shù)學本質

新課標強調知識的生成，只有經(jīng)歷整個知識的探究(學習)過程才能理解數(shù)學的本質，才能將概念的過程形態(tài)轉變?yōu)閷ο笮螒B(tài)穩(wěn)定在頭腦中．本節(jié)課經(jīng)歷了以下過程：

(1)用問題引出與初中函數(shù)概念“變量說”的認知沖突，引發(fā)學生思考．為了形成新概念，選擇所考察的經(jīng)驗材料要能夠幫助學生概括概念的內涵．

(2)三個具體實例(表、關系式、圖象)實際是函數(shù)概念的三個不同的表征形式，既與初中學習的函數(shù)表示方法相聯(lián)系，又打破了初中學習的局限，學生在這一過程中很好地完成了函數(shù)概念的遷移．

(3)通過實例抽象數(shù)學概念，為了降低難度，引導學生用集合語言來闡述它們的共同特點，讓學生了解函數(shù)是數(shù)集之間的一種特殊的對應關系，并引導學生體會初、高中函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)其本質一樣，不同的是初中突出變化，高中突出對應．

(4)經(jīng)歷“一次次地提出概念、一次次地推翻概念”的探究過程，讓學生對函數(shù)概念的發(fā)展、內涵與外延認識得更加深刻．讓學生自主建構概念發(fā)生的線路圖，幫助學生了解概念的來龍去脈，經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，完善其數(shù)學認知結構，促進對核心概念的整體理解．

總之，一節(jié)真正好的數(shù)學課，應該跳出題海，回歸本源，讓學生真真切切地在設計的數(shù)學活動中感受數(shù)學的本質，理解數(shù)學的本質[4]．