例析特值法在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

浙江省海寧市丁橋中學(xué) (314400) 許 佳 陳振鋒

英國數(shù)學(xué)家懷特海認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是不斷地拋棄較特殊的概念，尋求較一般的概念；拋棄特殊的方法，尋求一般的方法．”確實，從認(rèn)識論的角度而言，數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是尋找“多”中之“一”，以最為普遍和一般的方式來解決一系列特殊問題．然而，我們在解決實際問題時，常?？梢苑雌涞蓝兄赐ㄟ^考察問題的特殊情況，來獲得一般性的結(jié)論，這種方法我們稱之為特值法．

1.特值法的邏輯依據(jù)

特值法并不是某種變相的“猜測”，它有著嚴(yán)格的邏輯依據(jù)，這個邏輯依據(jù)我們可以用形式邏輯的三段論來表述：如果一個普遍性問題的解是唯一的(大前提)，那么，一旦得出其中的某一特殊解(小前提)，則這一特殊解也必然是一般解(結(jié)論)．用數(shù)學(xué)語言表述為：對一個只有唯一解的普遍性問題Q，表示為Q{a1,a2,…,an}．如果Q(ak)=m,且ak∈{a1,a2,…,an}，則Q{a1,a2,…,an}=m．

由此可見，特值法最為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽?yīng)用是在選擇題，因為數(shù)學(xué)單項選擇題的唯一解，這正好符合特值法的邏輯大前提．另外，從嚴(yán)格意義上來說，填空題未必完全符合這一邏輯大前提，但由于數(shù)學(xué)填空題本身出題的特殊性，我們依然有可能幫助學(xué)生學(xué)會如何判斷出這一問題是否適合使用特值法，并以最高效的方式解決難題．

二、特值法中的數(shù)學(xué)思維

我們必須承認(rèn)，特值法確實存在忽視解題過程的問題，有礙于提高學(xué)生演繹推理的思維能力．但是，數(shù)學(xué)思維并不僅僅是演繹，它實際上還包括歸納思維、創(chuàng)造力思維、極限思維等等，而特值法對于提升這些思維能力極有幫助．

例1 如圖1，已知△ABC∽△DEF，相似比為

圖1 圖2 圖3

分析：本題為解我校中考模擬卷的一道選擇題．通過審題我們會發(fā)現(xiàn)，本題中的兩個三角形雖然形狀和大小已經(jīng)確定，但它們的位置關(guān)系卻存在著相對的任意性，即只需符合EF∥BC即可. 由此可見，這顯然是一個具有唯一解的普遍性問題，我們可以通過調(diào)整兩個三角形的位置來尋求特殊解．

評注：本題中，許多學(xué)生因看到△DEF在△ABC的左側(cè)，便沒有想到可以把△DEF放到△ABC的下方，并且還可以將D點取在BC的中點位置．另外，在教學(xué)過程中，筆者驚奇地發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生竟然找到了一種更為特殊的圖形結(jié)構(gòu)，并且其解題過程遠(yuǎn)比圖2簡單，如圖3．此時的EF和BC不再是平行，而是重合．可見，有些學(xué)生已經(jīng)開始具備良好的極限思維，因為從極限的角度來說，我們確實可以把重合理解為一種特殊的平行，故而這種解法依然成立．

例2 如圖4，點O為直線AB外一定點，點P線段AB上一動點，在直線OP右側(cè)作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，當(dāng)點P從點A運動到點B時，點Q運動的路徑長是.

圖4 圖5 圖6

評注：此題的教學(xué)過程中，筆者依然看到不少學(xué)生展現(xiàn)出良好的極限思維．可選擇將O點與A點重合如圖6，快捷的方式求出答案．

三、特值法解題的一般步驟

有些教師認(rèn)為，特值法走了太多的捷徑，如果在平時的練習(xí)中過多使用特值法，學(xué)生的演繹推理能力便得不到很好的培養(yǎng). 對于這一點，筆者是極為認(rèn)同的．但是，需要強調(diào)的是，要正確有效地使用特值法，對學(xué)生來說，并非易事．因為特值法中蘊含的是歸納思維、創(chuàng)造性思維以及極限思維等優(yōu)良品質(zhì)．筆者按照特值法的邏輯依據(jù)試著總結(jié)出運用特值法的一般方法．

(1)判斷

首先需要判斷題目是否符合普遍性，同時還需要判斷是否是唯一解．這種能力的培養(yǎng)必須通過大量的經(jīng)驗積累才可以獲得，唯有如此，才能建立用特值法解題的意識．

(2)尋找特殊情況

此步驟需要學(xué)生找出符合題意的特殊情況．這一點在實際教學(xué)過程中是比較困難的．

例3 如圖7，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如圖所示，點G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為.

圖7

圖8

分析：在本題中，正方形ABCD和正方形PKPF的大小存在著任意性，因此，可通過特殊值求解．如圖8，令正方形ABCD的邊長等于8，正方形PKPF的邊長等于4，則△DEK的面積等于16．

圖9

評注：在此題中，有學(xué)生還可能會運用特值法構(gòu)造出圖9，在這種情況下△DEK的面積等于8．這些學(xué)生顯然沒有注意到“點G在線段DK上”也是一個極為重要的條件．尋找特殊情況，必須符合題目的所有條件，一旦忽略了一些看似不重要的條件，就有可能導(dǎo)致錯誤．這一點，恰恰是在特值法教學(xué)中特別需要強調(diào)的．