一道捷克和斯洛伐克數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題的兩種解法

陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) (710061) 張錦川

問題若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=12，x2+y2+z2=54，試求xy的最大值和最小值.

評析：本解法利用三角換元，將所求目標(biāo)轉(zhuǎn)化成z的函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合三角恒等變形，求出z的取值范圍，最后求關(guān)于z的函數(shù)的值域.

此時(shí)結(jié)合(※)得xy=27cos2θsin2φ=

評析：本解法以三角換元為方法，減少變元為方向，將問題轉(zhuǎn)化為單變元的函數(shù)問題.在此要特別注意體會本題中sinθ的取值范圍及如何用sinθ來表達(dá)xy.

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