一道零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的解法探究

廣東省惠州市第一中學(xué) (516007) 黃偉才

題目函數(shù)f(x)=axex+lnx+x(a∈R).

(1)若a≥0，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

本題是廣東省珠海市2018屆高三3月質(zhì)量檢測(cè)理科的壓軸題，表述簡(jiǎn)潔，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，是一道入口寬，通法多的好題，全面考察了學(xué)生的導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用知識(shí)，還有函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等重要思想.這道題恰恰也是2017年全國(guó)I卷21題的改編題目，改后解法更豐富，且能更好考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用知識(shí)的掌握，所以筆者認(rèn)為此題契合了全國(guó)卷命題風(fēng)格，是一道以能力為立意的好題.本文談?wù)勎覍?duì)這道題的一些思考，希望對(duì)讀者有所啟發(fā).

一、解法探究

(1)若a≥0，易知f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

(2)∵f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，由(1)可知a<0，令g(x)=axex+1(x>0)，則g′(x)=a(1+x)ex<0，∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.∵g(0)=1>0，

以上含參取點(diǎn)問題，應(yīng)用分析法，執(zhí)果索因，思路自然，所用思想方法易于理解，更能有效培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力及邏輯推理核心素養(yǎng).

賞析2：當(dāng)含參分類討論較復(fù)雜時(shí)，可以用分離變量來去避免討論，但要學(xué)生熟練掌握函數(shù)極限的判斷，甚至還要用到洛必達(dá)法則，這個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教師特別喜愛的定理，可是由于高中階段洛必達(dá)法則沒有引入，所以高考中究竟如何才能拿滿分還值得商榷.

圖1

解法3：(局部分離參數(shù))f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)m(x)=

賞析3：合理分離構(gòu)造函數(shù)，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，不過這類問題最好轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和非線性函數(shù)的交點(diǎn)問題，結(jié)合單調(diào)性和求切線可以順利解決，這里需說明所分離的函數(shù)圖像凹凸性才更加嚴(yán)謹(jǐn).若要證明f(x)沒有零點(diǎn)，則還可以合理分離lnx和ex，構(gòu)造非線性函數(shù)，利用函數(shù)凹凸反轉(zhuǎn)證明沒有交點(diǎn)，解題思想如2014年課標(biāo)Ⅰ卷理科21題第2問.

賞析4：這道題目入口之寬的精妙之處在于此，居然還可以用對(duì)數(shù)恒等式，等價(jià)轉(zhuǎn)化為復(fù)合方程解的個(gè)數(shù)問題.筆者姑且大膽猜測(cè)命題者編題是先由f(t)=aet+t零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再令t=x+lnx，把原本簡(jiǎn)單的問題通過對(duì)數(shù)恒等式包裝隱藏起來，進(jìn)而得到函數(shù)f(x)=axex+lnx+x零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，變成一道難度極大的壓軸題.

二、教學(xué)啟示

從上述4種解法可以發(fā)現(xiàn)，本質(zhì)上要用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)圖像的形態(tài)，過程會(huì)涉及到分類討論，零點(diǎn)定理，隱零點(diǎn)問題，函數(shù)不等式比較大小，數(shù)形結(jié)合及合理分離構(gòu)造函數(shù)等思想方法.當(dāng)然本題還給筆者留下了如下啟示：

1.回歸教材 正本清源

2.引導(dǎo)學(xué)生從一題多解過渡到多題一解