導(dǎo)數(shù)中的“摸著石頭過河”
——以2020山東新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題為例

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123) 林秋林

一、問題的提出

例1 (2020·新全國Ⅰ山東)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

試題的難點(diǎn)在第(2)問，這是一道“已知含參不等式恒成立進(jìn)而求參數(shù)范圍”的類型題，是函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題中的熱點(diǎn)問題，其通法是分離參數(shù)法或分類討論法．但該題的參數(shù)無法分離，而利用分類討論法，其如何分類也是個難點(diǎn)．雖然還可以利用同構(gòu)思想來做等價變形，但難度也較大，不容易想到．故而不少學(xué)生在做簡單嘗試之后就會憑經(jīng)驗(yàn)果斷放棄，因此筆者想借此機(jī)會談?wù)劻硗庖环N方法，即所謂“摸著石頭過河”，同時不惴膚淺，付諸筆端，愿各位老師指正.

二、如何“摸著石頭過河”？

生活中常說的“摸著石頭過河”指的是若想過一條不熟悉的河，在沒有前人給出經(jīng)驗(yàn)、沒有船也沒有橋等情況下，要分清這條河哪個地方水深，哪個地方水淺，最好的方法就是以身試水摸索著河里的石頭，一步步摸清情況從而安全過河．這個“過河”的思路在數(shù)學(xué)解題中也是適用的，就是解題不要盲無目的，要先想辦法“摸到河里的石頭”，也即必要性探路，然后再“循著石頭去過河”，就能做到事半功倍．

大家都知道，導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個重要考點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的綜合問題幾乎每年都成為高考以及各省市模擬考中的壓軸題．對于這些壓軸題，大部分學(xué)生解決起來都較為困難．但對于其中某些恒成立問題，若能恰當(dāng)應(yīng)用“摸石頭”的思路，想辦法探探必要性，盡量對其中的參數(shù)范圍進(jìn)行限制，則解決起來會相對容易得多．下面筆者舉幾個例子來談?wù)劸唧w操作．

例2 已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b，g(x)=alnx.

(2)若對任意x∈[1,e]，都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例3 已知f(x)=ex-ax2-2x+b(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a,b∈R)．

(1)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)a>0時，f′(x)的最小值小于0；

(2)若a<0，f(x)>0恒成立，求符合條件的最小整數(shù)b．

解析：(1)略；(2)依題意，由f(x)>0恒成立，可知f(0)=1+b>0，從而b>-1．下證b=0符合題意．

評注：本題的標(biāo)準(zhǔn)解答是通過虛設(shè)f′(x)的零點(diǎn)，求出f(x)的最小值，最后再求出b的取值范圍．難度較大，學(xué)生掌握起來較為困難．但借助f(0)這塊“石頭”去限制b的取值范圍后，就能較為輕松解決該題，讓人眼前一亮.

三、問題的解決

下面利用“摸著石頭過河”來解決例1．

綜上所述，a的取值范圍為[1,+∞)．

圖1

評注：本題中的“石頭”較多，有f(1)，g(1)，h′(1)等等．其實(shí)要摸到這幾塊“石頭”，只需要注意到第(1)小問中的點(diǎn)(1,f(1))，這可以看作是一個變相的提醒．實(shí)際上也是因?yàn)楹瘮?shù)y=ex-1與y=lnx+1的圖象恰好相切于P(1,1)這個點(diǎn)，而y=x是它們的公切線．如圖1所示，可以看到有ex-1≥x≥lnx+1．

四、結(jié)束語

俗話說，“摸著石頭過河——步步穩(wěn)妥” ．在這類導(dǎo)數(shù)壓軸題中，教師可以通過指導(dǎo)學(xué)生尋找“河中的石頭”，讓學(xué)生“摸著石頭過河”．這個思路不僅可以為學(xué)生探明“河”的深淺、找到“過河”的方向，使學(xué)生能更加安全順利地“過河”，還能在這過程中讓學(xué)生從中享受到“過河”的樂趣，從而提高學(xué)生的解題興趣，可以說其不失為一種好的選擇．