數(shù)學(xué)分析中有限向無限的轉(zhuǎn)化

文_楊洋

數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)對鍛煉青少年的數(shù)學(xué)思維很有幫助，但對青少年學(xué)生而言也有一定的難度，青少年通常會遇到無限集不一定具有最大值和最小值，而有限集必須具有最大值和最小值，從而出現(xiàn)無窮大的問題。為此，本文將主要介紹幾種重要的無限、有限方法，分析數(shù)學(xué)分析中將無限問題轉(zhuǎn)換為有限問題的方法：一種方法是將閉合間隙分成相等的部分解決，另一種方法是使用有限覆蓋定理用無窮大替換無窮大，從而輕松解決問題。

從數(shù)字的角度來看，最大的有限總趨近于最小的無限，那么，最大的無限是否存在？如果存在，是否總趨近于最小的超越無限？超越無限，實指一種緣式無限，比最大無限更加難以衡量。該假說可以引出幾個概念，即有限、無限、最小無限、最大無限、緣式最大無限以及一般的緣式無限。以下，筆者就從數(shù)學(xué)的角度，證明最大無限是存在的，而超越最大無限一般都是最大無限之間或本身的緣式疊加，即緣式最大無限。

無限是有限的基礎(chǔ)

擲硬幣的概率是青少年比較熟悉的事。投擲一枚硬幣得到正反面的概率都是1/2，但我們將硬幣拋10 次，有4 次正面，6 次反面，投擲硬幣得到正面的概率是2/5，反面的概率是3/5—為什么都不是1/2 呢？實際上，我們常說的1/2 的概率是經(jīng)過無數(shù)次實驗后得出的近似值，都是以無限為基礎(chǔ)的結(jié)果。如果沒有無限的基礎(chǔ)，我們得到的概率就不再客觀。

無限是由有限構(gòu)成的

有限的運算建立在無限的基礎(chǔ)上，雖然你看不到它的存在，但你不能無視它的存在，因為它一直在我們身邊。下面筆者將說一個出自杰出數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特之口的故事。

無限旅館有無限個房間，住著無限位旅客。一天晚上，一個人想在無限旅館住宿。店主對他說：“對不起，我們沒有空房間，但是也許我們可以為你找個房間?！比缓?，店主不情愿地喚醒了他所有的租戶，讓1 號房間的租戶搬到了2 號房間，2 號房間的租戶搬到了3 號房間，3 號房間的租戶搬到了4 號房間，繼續(xù)下去，直到各租戶都搬進了下一個房間。這時，令人驚訝的是，竟然空出來了1 個房間。

從這個故事中，我們可以看到，無限由有限構(gòu)成，每個房間都有限制，每個房間只能住一個游客，但即使有無限位旅客，也可以入住這個無限旅館。世界上很多東西都是無限的，但組成它的部分是有限的。我們都知道數(shù)學(xué)中自然數(shù)是無限的，但是構(gòu)成自然數(shù)的各數(shù)量是有限的。例如，1,2,3,4,5,6,7,8,9,0這些數(shù)字都是構(gòu)成自然數(shù)的成分，這也證明了無限由有限構(gòu)成。

利用有限覆蓋定律實現(xiàn)無限轉(zhuǎn)有限

數(shù)學(xué)研究的目的是量化。換言之，一個量會跟著另一個量而形成一個空化，而另一個量的變化可以是有限的或無限的。對無限對象的研究通常不知道如何開始，并且似乎沒有經(jīng)驗，因此對無限的研究變成了對有限的研究，這種思想已成為解決無限問題的重要方法。另外，在積累了解決無限問題的經(jīng)驗之后，可以通過將有限問題轉(zhuǎn)換為無限問題，從而解決有限問題。該方法是有限和無限思想的體現(xiàn)。

在具體碰到問題時，運用有限與無限的數(shù)學(xué)思想可以快速地求解。有限覆蓋定理可表述為，從閉區(qū)間[a,b]的任一無限開覆蓋H中可取出[a,b]的有限個開覆蓋。在有限覆蓋定理中，將被覆蓋的閉區(qū)間[a,b]改為開區(qū)間(a,b)，定理不一定成立。例如，開區(qū)間集H 覆蓋開區(qū)間(0,1)，但是H中任意有限個開區(qū)間不能包含間隙(0,1)。通常使用有限覆蓋定理實現(xiàn)該目的，以將每個點的局部屬性在一個封閉區(qū)間內(nèi)擴展到整個封閉區(qū)間。使用有限覆蓋定理證明問題通常是基于問題的要求，構(gòu)造具有特定性質(zhì)P的一組開放區(qū)間H，以包括閉合區(qū)間[a,b]并使用有限覆蓋定理，從H中取出有限個開區(qū)間H(i＝1,2,…,n)也覆蓋[a,b]，這樣將無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題，使得每個開區(qū)間H(i＝1,2,…,n)局部屬性轉(zhuǎn)換為整個閉合間隔[a,b]的屬性。這種將無窮大轉(zhuǎn)換為有限并將局部性質(zhì)擴展為整體的方法是有限覆蓋定理的階梯應(yīng)用思路，反映了從“部分”擴展為“全部”的性質(zhì)。

本文介紹的等分方法和使用有限范圍定理將無限問題轉(zhuǎn)換為有限問題的兩種方法主要用于封閉區(qū)間或有限封閉區(qū)域。如果不是閉合區(qū)間，則只要能解決問題，也可以在閉合區(qū)間中使用這兩種方法，用有限度替換無窮大。至于超越最大無限，不能用簡單的代數(shù)式衡量，可能只有在依托載體的情況下才會被實現(xiàn)，即兩個若干無限量的事物發(fā)生一種名為“緣式疊加”的反應(yīng)，如果它們都不是最大無限，那么結(jié)果不一定會到達超越無限的境地。對于緣式最大無限，可以明了的是，它的值一定不是無限，絕對在前，相對在后，因為這已經(jīng)完全抹去了時間的概念。

簡而言之，青少年在提前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中，可以通過掌握變化的趨勢或臨界狀態(tài)或變量的邊界快速而準確地回答有限和無限的問題，但是要想做到熟練就必須具有較強的感知能力和扎實的基本技能?？梢哉f，有限的無限思維測試已應(yīng)用在高考中，如廣泛的思維、良好的相關(guān)性等。此類思維方式的應(yīng)用為青少年帶來了數(shù)學(xué)思維發(fā)展和數(shù)學(xué)技能的提高。為了提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體理解，必須巧妙地將這種數(shù)學(xué)思維滲透到教學(xué)中。