淺談數(shù)學(xué)建模在探究小學(xué)“工程問題”中的應(yīng)用

何雪琴

【摘? 要】數(shù)學(xué)模型思想指用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴的思想，對于現(xiàn)實(shí)對象，為了達(dá)到特定的目的，根據(jù)內(nèi)在的規(guī)律用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具將現(xiàn)實(shí)對象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中“工程問題”課例具有典型數(shù)學(xué)建模過程，從經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)問題—建立模型—應(yīng)用模型”過程中滲透模型思想，可積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】模型思想;小學(xué)工程問題;數(shù)學(xué)建模

中圖分類號：G623.5? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? 文章編號：0493-2099（2021）35-0153-02

On the Application of Mathematical Modeling in the Exploration of "Engineering Problems" in Primary Schools

（Gugong Primary School，Xiamen City，China） HE Xueqin

【Abstract】Mathematical model thinking refers to the use of mathematical language to describe the thinking that the real world relies on. For real objects， in order to achieve specific goals， use appropriate mathematical tools to transform real objects into mathematical structures according to internal laws. In primary school mathematics， the "engineering problem" lesson has a typical mathematical modeling process. From the experience of "realistic problems-model building-application model"， model ideas can be infiltrated， and experience in mathematical activities can be accumulated and the essence of model ideas can be realized.

【Keywords】Model idea; Primary school engineering problems; Mathematical modeling

說起“工程問題” 也許大家腦海里還會有蓄水池水管注水和放水的困惑，由于外界的爭議，“工程問題”曾退出小學(xué)數(shù)學(xué)的舞臺，2011年頒布新課程標(biāo)準(zhǔn)后，重新修訂教科書，2013年數(shù)學(xué)人教版教科書又新加入“工程問題”。這一退一進(jìn)之間，彰顯“工程問題”的數(shù)學(xué)價(jià)值。它是 “分?jǐn)?shù)除法”這一單元的最后一個例題，是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)相關(guān)知識后對分?jǐn)?shù)認(rèn)識的又一次升華，是體現(xiàn)分?jǐn)?shù)抽象性的最好素材，也是用“假設(shè)法解決問題”最典型的例子，更是滲透模型思想的活動載體。通過課前調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)有很多同學(xué)已經(jīng)會用“1”作總量進(jìn)行列式計(jì)算了（看過書或課外學(xué)過）。然而，學(xué)生會根據(jù)模型列式解答，不代表他們都已真正理解模型。在學(xué)生暴露學(xué)情后，我們將課堂重心轉(zhuǎn)向引導(dǎo)學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題“模型化”的過程，開啟對工程問題的深度探索。

一、“充分閱讀，合理估測”觸摸建模起點(diǎn)

第一次教學(xué)這個例題，教學(xué)探究部分我們設(shè)計(jì)的第一環(huán)節(jié)重點(diǎn)是“閱讀信息，大膽猜想”，旨在深度閱讀為建模做充分的準(zhǔn)備。問題情境：一隊(duì)單獨(dú)修需要12天修完，二隊(duì)單獨(dú)修需要18天，那兩隊(duì)合修，需要多少天呢？面對這個問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考一隊(duì)單獨(dú)修可以12天完成，從而可以判斷出，他們合作修的天數(shù)一定小于12天。當(dāng)然，這只是我們的猜想，數(shù)學(xué)不能光靠猜想，必須還要通過正確的方法來驗(yàn)證。試想把“猜想”升級為“估測”，估測的思維過程是激活原有的知識、經(jīng)驗(yàn)與實(shí)際問題結(jié)合起來，不斷假設(shè)或推翻設(shè)想的高級思維活動?！肮罍y”作為算術(shù)估計(jì)的組成部分之一，是國際基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革重要的內(nèi)容。在第二次教學(xué)時我們把“大膽猜測”改為“合理估測”，嘗試引導(dǎo)學(xué)生在“合理估測”中對“工效”“工作總量”“工作時間”“效率”進(jìn)行理解，為數(shù)學(xué)建模做充分的準(zhǔn)備。學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)和提出問題，是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。到第二次教學(xué)這個環(huán)節(jié)時，我的重心改為“充分閱讀，合理估測”。學(xué)生的合理估測離“數(shù)學(xué)建?！备M(jìn)一步。

還是同樣的情境，如果給你一條數(shù)軸0——6——12 根據(jù)你的估測兩隊(duì)合作完成的天數(shù)大約在數(shù)軸的什么位置？說說你的理由。這又進(jìn)入了引導(dǎo)學(xué)生估算環(huán)節(jié)。

二、“大膽假設(shè)、嘗試解決”夯實(shí)建模基礎(chǔ)

在“充分閱讀，合理估測”的鋪墊下鼓勵學(xué)生自主探究“合作需要幾天完成呢？”自己嘗試解決后學(xué)生匯報(bào)環(huán)節(jié)非常精彩，據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)生的假設(shè)法就有十幾種。假設(shè)法大致分為三類：假設(shè)這條路的總長是12、18的公倍數(shù)的（36米、180米、360米……）占全班人數(shù)60%;假設(shè)這題路為字母（a米、x米）占全班人數(shù)的4%，假設(shè)為這條路的總路程為“1”占全班人數(shù)的25%。歸納推理是特殊情況下作出一般結(jié)論，是一種基于推斷的推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們使用最多的是簡單枚舉推理，從個別或者特殊事物出發(fā)概括出結(jié)論的思維方法，學(xué)生假設(shè)這條路的總長不同，計(jì)算結(jié)果相同，那是不是無論這條路的總長設(shè)成多少，得到的答案都一樣？變換幾個不是12和18的公倍數(shù)的數(shù)試試后學(xué)生又引入字母，讓字母參與運(yùn)算，得到的結(jié)論更加嚴(yán)謹(jǐn)，更有說服力。

三、“交流討論，自主抽象”提取數(shù)學(xué)模型

在學(xué)生匯報(bào)后根據(jù)學(xué)生反饋把典型數(shù)據(jù)通過課件整理成表格的形式，通過解決辦法的觀察，從表格數(shù)據(jù)學(xué)生在“變中找不變”中提取數(shù)學(xué)模型，在表格整理數(shù)據(jù)之后設(shè)計(jì)線段圖幫助學(xué)生抽象解題題結(jié)構(gòu)。在學(xué)生觀察數(shù)據(jù)并分析模型背后的算理的基礎(chǔ)上，教師逐漸引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題模型。數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)形式表達(dá)，我們的任務(wù)是求解模型，在求解模型過程中讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的意義，也就是理解數(shù)學(xué)知識。建模過程是學(xué)生獲得知識技能的過程也是思想方法等經(jīng)驗(yàn)積累的過程，在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過觀察、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動完成模式抽象，把復(fù)雜的實(shí)際問題簡單化，抽象成合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

四、“舉一反三，觸類旁通”應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可利用具體實(shí)例說明，通過實(shí)例來幫助理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，通過典型的問題解決帶動相關(guān)問題的解決，由一個到一類，觸類旁通應(yīng)用所得到的數(shù)學(xué)模型去解決問題。教師可以在習(xí)題中安排運(yùn)輸問題、行程問題、泄洪問題作為抽象數(shù)量關(guān)系的現(xiàn)實(shí)載體，通過解決此類問題、透過各種現(xiàn)實(shí)表象，找出隱藏其后的數(shù)學(xué)模型，將模型解答和現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行對照檢驗(yàn)，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對解答進(jìn)行修訂，得到滿足現(xiàn)實(shí)問題的優(yōu)化解答。數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)表達(dá)方式，并不能解決問題，如果一味地用所獲的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去解決實(shí)際問題，那么生搬硬套的“套路化”的解題會限制了學(xué)生的思維。為了化解“模型化”后“套路化”解題的矛盾，我們設(shè)計(jì)這樣的課后練習(xí)，通過對練習(xí)的辨析進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)模型的意義，活用數(shù)學(xué)模型解決同類問題，加深對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解。例如同類型題目，一條公路，甲隊(duì)3天修了1/5，乙隊(duì)4天修2/3，兩隊(duì)合修幾天修全長的3/4？練習(xí)的編排給我們解釋理解模型提供很好素材，模型背后的數(shù)理是：工作總量÷工作效率=工作時間;工作總量÷工效和=合作時間。通過練習(xí)對已經(jīng)學(xué)得的數(shù)學(xué)模型在不同情境下進(jìn)一步應(yīng)用，在應(yīng)用過程中，促進(jìn)學(xué)生把學(xué)習(xí)的知識、學(xué)習(xí)的能力、感悟到的思想方法進(jìn)行內(nèi)化，成為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

“工程問題”重新編排到新人教版教材應(yīng)避免不斷變式深挖，教學(xué)的重點(diǎn)轉(zhuǎn)向通過例題的學(xué)習(xí)積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，會找變中有不變背后的數(shù)學(xué)模型。模型思想的教學(xué)不是教知識點(diǎn)，而是滲透模型思想，需要經(jīng)歷一個復(fù)雜漫長的積累領(lǐng)悟的過程。我們旨在建模和實(shí)際應(yīng)用過程中促進(jìn)學(xué)生能力發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]王光明， 范文貴.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo).小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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