線性多胞體微分包含解的通有穩(wěn)定性*

計 偉

(貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息管理學(xué)院，貴州 貴陽 551400)

微分包含又稱多值泛函微分方程，屬于非線性分析理論的一個重要分支，是描述自然界不確定性常用方法之一.圍繞微分包含的研究，主要集中于微分包含解的存在性、穩(wěn)定性和其他定性理論.無論是在微分包含(含線性多胞體微分包含)研究，還是在其他科學(xué)研究中，與解的穩(wěn)定性相比，存在性的獲得比較容易.實際分析中，在獲得解的存在性但解不唯一時，應(yīng)該選擇哪個解；或者，研究問題的環(huán)境或參數(shù)發(fā)生微小改變，對解有什么樣的影響：這都是本質(zhì)問題.如非合作博弈論中，Nash均衡點存在性與穩(wěn)定性的問題就是這方面的例證.

關(guān)于非合作博弈論Nash均衡的穩(wěn)定性研究，尤其是通有穩(wěn)定性(從整體上考察問題對象發(fā)生擾動時，對應(yīng)的解集怎么變化)研究，學(xué)者取得了豐碩的研究成果.1962年，Wu等[1]對有限N人非合作博弈首先引入了本質(zhì)Nash平衡點的概念.1963年，Jiang[2]進一步對有限N人非合作博弈首先引入了Nash平衡點集本質(zhì)連通區(qū)的概念，并證明了對任何有限N人非合作博弈，其Nash平衡點集至少存在1個本質(zhì)連通區(qū).1986年，Kohlberg等[3]應(yīng)用代數(shù)幾何方法證明了每個有限博弈的Nash平衡點集由有限個連通區(qū)組成，且其中至少有1個是本質(zhì)的.1999年，Yu[4]研究了n人非合作博弈的本質(zhì)均衡.1998年，Yu等[5]應(yīng)用集值分析方法證明了Baire綱意義下微分包含解集具有通有穩(wěn)定性.關(guān)于微分包含的結(jié)果還可參見文獻[6]及其所引用的文獻.受文獻[5-6]的啟發(fā)，筆者擬在恰當(dāng)假設(shè)下構(gòu)造一個問題空間M，并在M上引入度量η，使(M,η)構(gòu)成一個完備度量空間，然后引入問題的本質(zhì)解定義，利用集值映射方法對線性多胞體微分包含解的通有穩(wěn)定性展開討論.

1 預(yù)備知識

設(shè)N是有限正整數(shù)，Ui?RN×N(i=1,2,…,N)是有界閉凸集，Ai∈Ui(i=1,2,…,N)是實矩陣.設(shè)[0,T]是一個時間區(qū)間，對于?t∈[0,T]，有x(t)∈RN.對初始對(0,x0)，考慮如下微分包含的Cauchy問題[7]：

(1)

其中

co(Aix(t))={Ax(t)|A∈co(Ai,i=1,2,…,N)}.

這里

即Γ是RN中的一個標(biāo)準(zhǔn)單純型，且在第一卦限中是一個閉凸集.例如，當(dāng)N=2時，Γ是連接(1,0),(0,1)的一條閉線段；當(dāng)N=3時，Γ是連接(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的一個閉三角形.顯然，co(A1,A2,…,AN)是由{Ai,i=1,2,…,N}組成的凸包，且是一個閉集.

引入如下假設(shè)條件：

(ⅰ)對于?A∈co(Ai,i=1,2,…,N),?L>0,s.t.‖A‖≤L；

(ⅱ)對于任意充分小且大于0的ε1及?ξ∈R,有|ξ|≤ε1；

(ⅲ)對于任意充分小且大于0的ε2及?μ1,μ2∈RN,有‖μ1-μ2‖≤ε2.

設(shè)

M={V∈co(Ai,i=1,2,…,N)|V滿足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)}.

對于?V1,V2∈M，定義Hausdorff度量

η(V1,V2)=h(S1,S2)+|ξ1-ξ2|+‖μ1-μ2‖，

其中

S1,S2?{A∈co(Ai,i=1,2,…,N)|,?L>0,s.t.‖A‖≤L}，

這里

容易證明(M,η)是一個完備度量空間.

構(gòu)造線性多胞體微分包含問題(1)的解集S(co(Ai))，

S(co(Ai))={x(t)∈C([0,T]；RN)|x(t)是線性多胞體微分包含的解}.

S定義了一個從M→2C([0,T]；RN)集值映射，記為S:M→2C([0,T]；RN).

本研究的目的是獲得線性多胞體微分包含問題(1)的解集關(guān)于右端部分co(Ai)，以及初始數(shù)據(jù)(ξ,μ)同時發(fā)生擾動時的穩(wěn)定性.主要是借助文獻[5-6]及其所引用文獻的思想，在Baire綱分類意義下，討論問題(1)的解的穩(wěn)定性，即一種通有穩(wěn)定性.

定義1[8]令S(V)(?V∈M)是一個非空集合，對于C([0,T]；RN)中的任意開集G，G?S(V)(G∩S(V)≠)，若存在V的任意開領(lǐng)域O(V)，使得對于有則稱集值映射S在V上半連續(xù)(下半連續(xù)).若集值映射S在V既上半連續(xù)，又下半連續(xù)，則稱S在V連續(xù).若對于?V∈M，集值映射S在V上半連續(xù)(下半連續(xù)、連續(xù))，則稱S在M上半連續(xù)(下半連續(xù)、連續(xù)).

定義2[8]若S(V)(?V∈M)是一個非空緊集，且S在V上半連續(xù)，則稱S是一個上半連續(xù)緊映射.

引理1[8]若M是完備度量空間，則必是Baire空間.

定義3稱Graphh(S)={(V,x)∈M×C([0,T]；RN)|x∈S(V)}為S的圖像，若S的圖像Graph(S)是閉的，則稱集值映射S為閉映射.

引理2[8]若集值映射S:M→2W是閉的，且W是緊集，則S是一個上半連續(xù)映射.

定義4[8]設(shè)Q?M，若Q包含M中一列稠密開集的交，則稱Q是M中的剩余集.

引理3[9](Fort定理)若M是一個完備度量空間，集值映射S:M→2U是一個上半連續(xù)緊映射，則存在M中的一個稠密剩余集Q，使得對于?V∈M，S(V)下半連續(xù)，從而連續(xù).

2 通有穩(wěn)定性

定理1?V∈M,S(V)≠.

證明在M中任意取定V，由Michael連續(xù)選擇性定理[10]可知問題(1)實際上轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的線性微分方程組問題，再由微分方程基本理論可知該問題的解必定存在，故S(V)≠.

定理2集值映射S:M→2C([0,T]；RN)是上半連續(xù)緊映射.

證明因C([0,T]；RN)是緊集，故由引理2可知只需證明集值映射S的圖是閉的，即證明：若對于?Vn∈M,有Vn→V,對于?xn(t)∈S(Vn),有xn(t)→x(t),則x(t)∈S(V).

首先證明S(V)的相對緊性.若對于?t∈(0,T)，t1,t2∈[t-h,t+h]，有

則存在A∈co(Ai)，使得

‖x(t2)-x(t1)‖≤‖A‖|t2-t1|，

于是{x(t):x(t)∈S(V)}是等度連續(xù)的.同理存在A∈co(Ai)，使得

‖x(t)‖≤‖x0‖e‖A‖T.

因此{(lán)x(t):x(t)∈S(V)}是一致有界的.由Ascoli-Arzela定理[11]可知S(V)相對緊.

然后證明S(V)是閉的.設(shè)xn(t)∈S(Vn)且xn(t)→x(t)，則對于?t∈(0,T)，t1,t2∈[t-h,t+h]，有

且

為了研究線性多胞體微分包含的通有穩(wěn)定性，引入如下定義：

定義6若對于?x(t)∈S(co(Ai))，x(t)都是問題(1)的本質(zhì)解，則稱S(co(Ai))是本質(zhì)的.

定理3?V∈M是本質(zhì)的，當(dāng)且僅當(dāng)集值映射S:M→2C([0,T]；RN)在V下半連續(xù).

證明設(shè)?V∈M，對于任意開集G?C([0,T]；RN)，G∩S(V)≠，可取x∈G∩S(V).由本質(zhì)解的定義，x∈S(V)是本質(zhì)的，存在V開領(lǐng)域O(V)，使得對于有而因此所以S在V下半連續(xù).

反之，?V∈M，x∈S(V)，對x的任意開領(lǐng)域G(x)，S(V)∩G(x)≠.由下半連續(xù)的定義，存在S開領(lǐng)域O(V)，使得對于有可取則而因此x必是本質(zhì)解，從而V是本質(zhì)的.

定理4M中存在一個稠密剩余集Q，使得對于?V∈Q，V是本質(zhì)的.

證明因M是完備度量空間，故由引理1可知它必是Baire空間，再由定理2可知S是上半連續(xù)緊映射，于是由Fort定理和定理3可知結(jié)論成立.

注1由定理4可知，對于?V∈M，因Q在M中稠密，故V可以由本質(zhì)解作任意逼近，再由Baire綱定理可知Q是第二綱的，因此在Baire綱分類意義下，對于大多數(shù)V∈M，V是本質(zhì)的，即在M中具有通有性質(zhì).