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      λ-乘數(shù)收斂不變性的判據(jù)*

      2021-03-04 08:39:28邢志勇蔡俊娟
      吉首大學學報(自然科學版) 2021年6期
      關鍵詞:乘數(shù)級數(shù)賦值

      邢志勇,蔡俊娟,黃 麗

      (1.廈門海洋職業(yè)技術學院公共教育學院,福建 廈門 361100;2.太原科技大學應用科學學院,山西 太原 030024)

      擴大已知乘數(shù)收斂不變性的不變范圍乃至求得最大不變范圍是有重要意義的,前輩在這方面作了不懈努力并取得了一定的成果,這類工作今后還要繼續(xù)做下去.泛函分析空間理論[1-8]特別是局部凸空間理論也應發(fā)展到一個新的理論水平,這其中就包括乘數(shù)收斂不變性的理論研究.例如,Orlicz-Pettis定理[9]指出子級數(shù)收斂是乘數(shù)收斂不變性,Mackey定理[10]認為有界性是乘數(shù)收斂不變性,Mazur定理[11]斷定凸集的閉包是乘數(shù)收斂不變性.此外,還有學者給出了特殊情形下的乘數(shù)收斂不變性.例如,Schur引理[12]指出(l1,l∞)中序列的收斂是乘數(shù)收斂不變性,Diestel-Faires定理[13]指出Banach空間X使(X′,‖·‖)不含l∞時的X′中級數(shù)的子級數(shù)收斂對(X′,X)而言不僅是乘數(shù)收斂不變性,還是全程不變性,即(X′,X)-極拓撲全體上的不變性.筆者擬在特定空間研究λ-乘數(shù)收斂不變性,通過討論算子級數(shù)賦值收斂的不變范圍獲得賦值收斂的重要意義.

      1 預備知識

      X,Y是拓撲線性空間(Topological Vector Space,簡稱TVS)[2,14].對于?φ∈C(0),U∈N(X),令

      Rφ,U(X,Y)={f∈YX:?x∈U,|t|≤1,?s∈[0,|φ(t)|],使得f(tx)=sf(x)}.

      若X,Y是線性空間,φ∈C(0),則有

      Rφ(X,Y)={f∈YX:?x∈X,|t|≤1,?s∈[0,|φ(t)|],使得f(tx)=sf(x)}.

      定義2[2,15]X是線性空間,λ(X)?XN.若對于?(xj)∈λ(X),?(tj)∈c0,(zj)∈λ(X),使得xj=tjzj,?j∈N,則稱λ(X)是c0-分解的;若當(xj)∈λ(X),(tj)∈c0時,有(tjxj)∈λ(X),則稱λ(X)是c0-合成的.

      定義3[15]λ(X)?XN.若當(tj)∈l∞,(xj)∈λ(X)時,有(tjxj)∈λ(X),則稱λ(X)是l∞-合成的;若λ(X)是c0-分解的和c0-合成的,則稱λ(X)是l∞-合成的.

      2 主要結(jié)果及其證明

      定理1X,Y是線性空間,φ,ψ∈C(0),λ(X)?XN.若λ(X)是c0-分解的和c0-合成的,則對于?{fj}?Rφ(X,Y),Yψ?Rψ(Y,C),下列2個條件等價:

      證明(ⅰ)?(ⅱ).

      取(tj)∈c0,(zj)∈λ(X),使得(xj)=(tjzj).因為

      φ(δk)→0,

      所以不妨設δk<1,|φ(δk)|<1,?k∈N.對于每個mk≤j≤nk,存在0≤θj≤|φ(δk)|<1,0≤sj≤|ψ(θj)|,使得

      (1)

      maxΔk

      (2)

      從而每個fk:Ω→C連續(xù).

      又對N中的列k1

      由定義3可知,因λ(X)是l∞-合成的,(uj)∈λ(X),故由條件(ⅰ),?y∈Y,使得

      于是

      (ⅱ)?(ⅰ)同理用邏輯反證法可證.證畢.

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