《經(jīng)濟數(shù)學》混合式教學模式改革探析

王 磊，李 娜

（遼寧工程技術大學 基礎教學部，遼寧 葫蘆島 125105）

0 引言

《經(jīng)濟數(shù)學》是把微積分的主要內(nèi)容和經(jīng)濟學中的相關內(nèi)容進行有機結(jié)合的數(shù)學課程[1]。通過數(shù)學思想方法的滲透，提高學生應用數(shù)學方法解決實際經(jīng)濟問題的能力，以適應新時代對經(jīng)濟、管理人才的要求。近年來，《經(jīng)濟數(shù)學》在科學技術、計量經(jīng)濟、金融風險、保險精算、環(huán)境保護、可持續(xù)發(fā)展等領域都有著廣泛應用[2]?！督?jīng)濟數(shù)學》是經(jīng)濟管理類學生大學數(shù)學公共基礎課程之一，與《線性代數(shù)》[3]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》[4-5]具有同等重要的地位，對培養(yǎng)學生掌握數(shù)學基礎知識、提高數(shù)學基本能力和綜合素質(zhì)具有重要作用。在《經(jīng)濟數(shù)學》學習過程中，要使學生通過研究去揭示經(jīng)濟現(xiàn)象的數(shù)學規(guī)律性，突出經(jīng)濟數(shù)學的基本思想，盡量用數(shù)學的概念、理論、方法去解釋說明經(jīng)濟學、管理學的相關概念、理論。學生在掌握了基本概念與方法后，需要通過大量的練習來鞏固并加深對所學知識的理解。

在《經(jīng)濟數(shù)學》學習過程中，學生可能會對知識感到乏味，對部分學習內(nèi)容、定理的理解不到位，同時不善于運用數(shù)學方法分析、解決實際的經(jīng)濟類問題。為了實現(xiàn)“以教為主”向“以學為主”的轉(zhuǎn)變，突出學生的主體地位，同時實現(xiàn)以“課堂為主”向“課內(nèi)外結(jié)合”轉(zhuǎn)變[6]，使學生更好地具備利用數(shù)學知識分析、建模并解決實際經(jīng)濟類問題的能力，因此，要積極進行《經(jīng)濟數(shù)學》教學改革的探索與實踐。

1 多課程融合是高校教學改革的方向

1.1 多課程融合的必要性

經(jīng)濟管理類的數(shù)學公共基礎課程有《經(jīng)濟數(shù)學》《線性代數(shù)》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，雖然課程體系與解題方法不同，但在某些方面卻有著密切的聯(lián)系。抓住數(shù)學基礎課在某些方面的共性，特別是如果能夠在授課過程中提及并且強調(diào)這些“聯(lián)通”的知識點，會幫助學生融會貫通。如將《經(jīng)濟數(shù)學》與《線性代數(shù)》及《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中的相關知識點進行融合，使學生了解數(shù)學基礎課程是一個有機的整體，內(nèi)容之間存在著密切聯(lián)系，可以幫助學生更好地學習、理解相關內(nèi)容。多課程融合不僅有助于《經(jīng)濟數(shù)學》本身的教學實踐，同時也體現(xiàn)了與之相關聯(lián)的數(shù)學基礎課程教學改革的一致性與連貫性。只有具備較高數(shù)學綜合素養(yǎng)的學生才能靈活運用各類數(shù)學知識去處理后繼專業(yè)課程中遇到的實際問題。由于數(shù)學基礎課程在內(nèi)容上、研究方法上有些是相通的，因此，《經(jīng)濟數(shù)學》的教學改革必須進行多課程融合。

1.2 以《經(jīng)濟數(shù)學》為核心的數(shù)學基礎課程融合分析

將經(jīng)濟類專業(yè)中可能遇到的專業(yè)實例與對應的數(shù)學知識進行整理，具體見表1。

表1 《經(jīng)濟數(shù)學》專業(yè)實例與對應的數(shù)學知識 Tab.1 professional background and corresponding mathematical knowledge of Economic Mathematics

《經(jīng)濟數(shù)學》中的某些內(nèi)容與《線性代數(shù)》及《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》關系密切。在講解《經(jīng)濟數(shù)學》中，二階齊次線性方程通 解結(jié)構(gòu)定理時，如果函數(shù)y1(x)，y2(x)是二階齊次線性微分方程的兩個線性無關（即y1/y2≠常數(shù)）的特解，則二階齊次線性微分方程的通解為

這就涉及到函數(shù)間的線性相關性，而《經(jīng)濟數(shù)學》中并未對函數(shù)的線性相關性做出詳細講解，只是提及當兩個函數(shù)之比不是一個常數(shù)時，這兩個函數(shù)是線性無關的。由于學習《經(jīng)濟數(shù)學》的學生同學期也會學習《線性代數(shù)》，而線性相關也是《線性代數(shù)》中一個重要的知識點，因此，有必要對函數(shù)的線性相關性進行系統(tǒng)講解與拓展說明，并且提醒學生，要充分理解并掌握線性相關性的概念，在《線性代數(shù)》中，通過向量組的線性相關性理論來求解線性方程組。事實上，《經(jīng)濟數(shù)學》中微分方程解的結(jié)構(gòu)與《線性代數(shù)》中線性方程組的解的結(jié)構(gòu)極為相似。在《經(jīng)濟數(shù)學》中，二元函數(shù)zxy= 表示何種曲面？由于學生們只熟悉9種二次曲面的標準形式，因此，可以在課堂上啟發(fā)學生，利用《線性代數(shù)》中二次型的標準化即通過正交變換把這個二次型化為標準形，例如，若二次型對應的對稱矩陣為

可以求得矩陣A的特征值為λ1=12,λ2=?12，那么二元函數(shù)z=xy通過正交變換可以將其轉(zhuǎn)化為標準形

這時學生們會認出，這是一個雙曲拋物面即馬鞍面。而由于正交換是一種剛性變換，不改變向量的長度和夾角，因此之前的二元函數(shù) =zxy表示馬鞍面。通過《線性代數(shù)》知識解決了《經(jīng)濟數(shù)學》中遇到的問題。可見，基于多課程融合的教學改革促進了學生對數(shù)學課程中相關聯(lián)知識點的理解。

在《經(jīng)濟數(shù)學》第9章（二重積分）中，通過極坐標方式計算這個例子

式中，D={(x,y)x2+y2≤a2,x≥0,y≥0} (a＞0)。

這便是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。

《經(jīng)濟數(shù)學》中的很多內(nèi)容，如函數(shù)的極限、可導與積分、二重積分和無窮級數(shù)在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中都有著廣泛應用。通過分析課程中相關聯(lián)知識點的特征與聯(lián)系，可以激發(fā)學生們的學習興趣，強調(diào)這些知識點之間的相互關系，可以為學生學習這些數(shù)學基礎課程打下堅實的基礎。因此，在講解時，如果能夠注意到多課程融合并適時提醒學生，將這些知識點進行交叉互用，會極大地幫助學生提高學習效率。

2 傳統(tǒng)教學模式與新媒體技術相結(jié)合

2.1 課堂教學與在線學習相結(jié)合

將傳統(tǒng)教學模式與新媒體技術相結(jié)合，利用超星泛雅平臺、MOOCs、翻轉(zhuǎn)課堂、微課、教學視頻片段、教學錄像、校園網(wǎng)網(wǎng)絡直播平臺、QQ群等多種方式、載體將傳統(tǒng)教學模式的優(yōu)勢與在線學習（E-Learning）結(jié)合起來，發(fā)揮教師的主導作用，同時充分調(diào)動學生的主動性、積極性、創(chuàng)造性。將傳統(tǒng)教學與多媒體教學進行融合，將課堂教學與在線學習進行結(jié)合，將自主學習與協(xié)作學習、課堂講授與虛擬教室進行綜合。探索線下（課堂）教學活動與線上（E-Learning）教學活動相結(jié)合的混合式教學模式，如何將兩種學習模式結(jié)合起來并融入每一個教學環(huán)節(jié)，實現(xiàn)優(yōu)勢互補，從而獲得最佳的學習效果是進行混合式教學模式改革的關鍵。

2.2 充分發(fā)揮教師的主導作用并體現(xiàn)學生的主體地位

在具體的教學過程中，教師應根據(jù)學生的認知狀態(tài)、認知水平、思維特點，采取有針對性的方法進行啟發(fā)式教學。教師應根據(jù)課程內(nèi)容、學生的具體情況選擇不同的教學方法，啟發(fā)、鼓勵學生發(fā)表自己的看法，例如，可以嘗試讓學生提出問題并展開討論，還可以圍繞一個或幾個問題引導學生主動發(fā)言。教師要充分運用富有啟發(fā)性、提示性的語言幫助學生開拓思路、展開討論、互動，活躍課堂氣氛。授課結(jié)束后，教師要及時進行教學反思，記錄授課感受及學生反饋的意見并不斷調(diào)整、改進。

為了提升學生學習《經(jīng)濟數(shù)學》的興趣，加強對其學習方法的指導，需要充分發(fā)揮教師的主導作用并體現(xiàn)學生的主體地位。在線學習（E-Learning）使學生的學習時間更加靈活自由，便于學生利用豐富的線上資源進行預習、復習。在課堂教學過程中，突出學生的主體地位和教師的主導作用，加強師生互動，注重知識點的自然過渡并設置問題討論環(huán)節(jié)，以便于學生更好地掌握學習中的重點、難點。

3 “E-Learning”混合式教學模式下的課程改革路徑

“E-Learning”混合式教學模式課程改革是未來課程改革發(fā)展的一種必然趨勢。隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，在線學習越來越受到學生們的歡迎，傳統(tǒng)課堂教學的時間會相應減少，可以通過翻轉(zhuǎn)課堂、在線解答學生學習中遇到的問題等來補充。課后主要依靠超星泛雅平臺完成練習及單元測試，重要及有難度的知識點可通過MOOCs、微課、教學視頻片段、教學錄像等來進行補充教學。教師答疑與學生反饋等互動交流可以利用校園網(wǎng)絡直播平臺、QQ群等來完成，“E-Learning”混合式教學模式并不是簡單地將《經(jīng)濟數(shù)學》制作成MOOCs、微課或視頻資源課的形式，而是結(jié)合一線教師多年的教學經(jīng)驗，針對不同專業(yè)學生的特點，選取適當?shù)膬?nèi)容來制作MOOCs、微課、教學視頻片段、教學錄像，以多種在線教學的方式來彌補傳統(tǒng)教學的不足，通過混合式教學模式課程改革完善整個教學過程。

3.1 搭建超星泛雅平臺

“學習通”是基于微服務架構(gòu)打造的課程學習、知識傳播與管理分享平臺。它利用超星二十余年來積累的海量圖書、期刊、報紙、視頻等資源，集知識管理、課程學習、專題創(chuàng)作、辦公應用為一體，為讀者一站式學習、工作提供便利?！督?jīng)濟數(shù)學》課程改革，計劃利用超星泛雅平臺與QQ群等多種渠道，檢查學生作業(yè)完成情況、設置視頻任務點進行單元測試，從而實現(xiàn)線上線下統(tǒng)一管理。

通過超星泛雅平臺資料庫、豐富的視頻學習內(nèi)容，學生可以隨時隨地觀看、學習并進行自我總結(jié)。教師通過泛雅平臺《經(jīng)濟數(shù)學》的資料庫、作業(yè)庫，可以快速導出學生作業(yè)并檢查視頻任務點的完成情況，方便師生進行溝通與交流。依托超星泛雅平臺，設計了章末作業(yè)，包括選擇題、填空題、計算題、簡答題、討論題等，均為章節(jié)中精心挑選的典型問題，方便學生快速、有效地進行練習，由教師和平臺共同完成批閱。教師還可以錄制典型問題講解視頻并將其設置成任務點，監(jiān)督學生觀看、學習并設置成不可拖拽模式。教師在超星泛雅平臺上布置章節(jié)總結(jié)任務，學生通過完成章節(jié)總結(jié)報告，可以更好地總結(jié)、復習，同時，可使教師了解學生在學習過程中遇到的困難并及時幫助解決。以往的作業(yè)多為固定形式，而視頻作業(yè)可以更加直觀地展現(xiàn)學生的學習效果，教師通過視頻作業(yè)還可以發(fā)現(xiàn)學生在實際操作過程中存在的問題并及時引導他們找到解決問題的方法。

3.2 采用微課教學

“微課”的核心組成部分是課堂教學視頻（課例片段），同時還包含與該教學主題相關的教學設計、素材課件、教學反思、練習測試及學生反饋、教師點評等輔助性教學資源，它有別于傳統(tǒng)、單一的教學課例、教學課件、教學設計等，是在其基礎上發(fā)展起來的一種新型的教學資源。

微課教學是課堂教學的縮影，是經(jīng)過充分準備而制作的教學片斷，是一種符合學生認知特點及學習規(guī)律的新型教學資源。選取多元函數(shù)微分學作為《經(jīng)濟數(shù)學》的微課制作內(nèi)容，由于多元函數(shù)微分學與一元函數(shù)微分學及二重積分有一定的聯(lián)系，需要充分準備并進行細致講解?！督?jīng)濟數(shù)學》教學視頻片段、教學錄像均是在實際課堂教學中根據(jù)教學大綱適時錄制。根據(jù)學生反饋的意見，及時制作的典型例題講解和疑難習題解答視頻。通過觀看課堂上師生互動的過程，可以更好地幫助教師進行自我評價與自我總結(jié)，從而進一步提升教學水平。授課教師通過反復揣摩與研究教學錄像、教學微課，可以對其在教學過程中的語言、動作、板書不斷地進行調(diào)整，從而做到語言表述準確、動作自然大方、板書工整、教學環(huán)節(jié)緊湊。

3.3 利用校園網(wǎng)絡直播平臺

通過網(wǎng)絡直播課可以進行重要知識點梳理、典型例題思路分析、練習題互動討論等教學環(huán)節(jié)。PPT畫面、教師窗口及手寫功能切換方便，清晰流暢，學生對此反映良好，非常喜歡這種網(wǎng)絡直播的教學方式。例如，遼寧工程技術大學校園網(wǎng)絡平臺在課余時間開設了形式新穎、方便快捷的校園網(wǎng)絡直播課程。目前已開設了“微分方程知識點解析及應用實例”“經(jīng)濟類問題中的高等數(shù)學”等校園網(wǎng)絡直播課程，受到了師生的一致好評。

4 通過課程改革提升學生的數(shù)學素養(yǎng)

堅持以學生為中心，積極引導學生思考問題、總結(jié)問題、提煉數(shù)學模型，掌握解決問題的方法，同時幫助學生選擇適合自己的、有效的學習方法。通過《經(jīng)濟數(shù)學》的課程教學改革，提升學生對《經(jīng)濟數(shù)學》的學習興趣，激發(fā)學生的學習熱情。通過啟發(fā)式教學、多課程融合式教學、類比教學、邊講邊練、疑難易錯題目解析等方式提高學生的數(shù)學素養(yǎng)與分析能力。

加強對學生學習方法指導，使其能夠靈活運用所學經(jīng)濟數(shù)學知識分析、解決實際問題，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)與數(shù)學能力。細化平時成績考核項目的構(gòu)成與評價方式，結(jié)合學生所學專業(yè)特點，因材施教。通過對經(jīng)濟類問題的分析，加強對學生邏輯思維能力的培養(yǎng)，把傳授知識與能力培養(yǎng)緊密結(jié)合并貫穿于教學全過程。

加強對學生分析能力的培養(yǎng)，開展啟發(fā)式教學，根據(jù)學生的認知狀態(tài)、認知水平和思維特點，采取有針對性的教學方法。

鼓勵學生通過線上線下開展分組討論，促進學生之間的相互交流，取長補短，同時培養(yǎng)學生的團結(jié)協(xié)作精神。從學生作業(yè)完成時間、質(zhì)量、提交形式等方面進行平時成績考核。通過此種方式，在《經(jīng)濟數(shù)學》教學實踐中進行教學改革，有效提高教學質(zhì)量，引導學生利用微積分的思想解決實際問題，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

5 結(jié)語

《經(jīng)濟數(shù)學》有著豐富的學科背景和廣闊的應用范圍，需要教育、指導學生進行深入、細致地學習。授課教師以學生為主體，通過課程改革進一步調(diào)整教學模式，將幫助學生更好地理解、掌握、應用基本的理論與方法，改變學生的學習模式作為教學重點，使學生能夠熟練掌握《經(jīng)濟數(shù)學》的基本內(nèi)容與方法，主動分析、解決實際問題。教師通過《經(jīng)濟數(shù)學》混合式教學模式改革，可以進一步改進教學方法，積累教學經(jīng)驗，提升教學水平。