基于數(shù)學(xué)思想滲透的中考幾何總復(fù)習(xí)案例研究

鄭秋月

【摘要】學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成需要在過程中實現(xiàn)，學(xué)生只有經(jīng)歷問題的解決過程，才能體會到數(shù)學(xué)思想的作用，才能理解數(shù)學(xué)思想的精髓，才能進行知識的有效遷移.

【關(guān)鍵詞】等腰三角形;分類思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括.數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷從模糊到清晰、從理解到應(yīng)用的長期發(fā)展過程，需要在不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中通過提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過程逐漸形成，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數(shù)學(xué)知識、技能中蘊含的數(shù)學(xué)思想.

復(fù)習(xí)課是教學(xué)中不可缺少的一環(huán)，而中考復(fù)習(xí)課立足于整個初中階段，在知識的內(nèi)在聯(lián)系和對數(shù)學(xué)思想方法的感悟方面對學(xué)生提出了更高更深的要求.基于數(shù)學(xué)思想滲透的中考總復(fù)習(xí)如何實施更是值得思考.下面以等腰三角形的復(fù)習(xí)為例，談?wù)劰P者的思考.

一、引“等腰”悟“分類”復(fù)習(xí)設(shè)計

問題1：以線段BC為底邊，用尺規(guī)畫一個等腰三角形.請說出這個圖形的作圖過程及運用到的知識.

預(yù)設(shè)：學(xué)生通過作圖回顧等腰三角形的定義.

追問1：以線段BC為底邊，用尺規(guī)畫等腰直角三角形.請結(jié)合所畫圖形說明作圖的過程，并回顧在剛才的畫圖過程中運用了等腰三角形的哪些知識.

預(yù)設(shè)：學(xué)生作等腰直角三角形主要有兩條思路：一是作兩個45°的底角構(gòu)造等腰直角三角形;二是以BC為直徑作半圓，再作BC的垂直平分線，將半圓與垂直平分線的交點和B，C兩點相連構(gòu)造等腰直角三角形.第一條思路需要運用“等角對等邊”，第二條思路則綜合運用“直徑所對的圓周角是直角”和“垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”.

追問2：怎么把剛剛畫的等腰直角三角形分成兩個全等的三角形？

預(yù)設(shè)：學(xué)生思考上面所作的BC的垂直平分線是底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線.

問題2：請?zhí)砑右粋€條件解答問題：在△ABC中，AB=AC=5，，求△ABC的面積.

師：可以添加哪些角的角度？先獨立思考，再小組討論.

生1：可以添加頂角的度數(shù)，60°，90°或120°.

師：還可以添加什么？

生2：也可以添加底角的度數(shù)，60°，45°或30°.

師：既可以添加頂角的度數(shù)也可以添加底角的度數(shù)，結(jié)果是一致的.除了添加角度，還可以添加什么條件也能求面積？

生3：可以添加邊的長度，如BC=5，52，53等.

師：你是怎么想到這些長度的？

生3：受到剛才特殊角的啟發(fā).

師：很好，邊的問題也可以轉(zhuǎn)化成角的問題，它們可以互相轉(zhuǎn)化.還可以添加什么條件？

生4：還可以添加高，底邊上的高，腰上的高都可以.

師：如果是等腰直角三角形，腰上的高就是另一條腰，其他情況呢？要注意什么？

生5：如果是銳角三角形，高在三角形內(nèi)部;如果是鈍角三角形，腰上的高在三角形外部.

師生歸納：等腰三角形的計算問題要注意邊的分類、角的分類、三角形的分類及邊角的轉(zhuǎn)化.

問題3：如圖1所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點Q是BC的中點，點P在AD邊上運動，當(dāng)△BPQ是等腰三角形時，求AP的長度.

師：當(dāng)△BPQ是等腰三角形時，你認(rèn)為應(yīng)該怎么分析這個問題？

生6：要滿足△BPQ是等腰三角形，有三種情況：

BP=BQ，PQ=BQ，BP=PQ.

生7：由于BQ=5，當(dāng)BP=BQ=5時，可得AP=3;

當(dāng)PQ=BQ=5時，如圖2所示，則QG=4，可得PG=3，則AP=2.

師：BP=PQ呢？

生8：當(dāng)BP=PQ時，如圖3所示，則有AP=BH=12BQ=52.

師：剛才的情形都是銳角三角形，還有其他情況的等腰三角形嗎？

生9：還有鈍角三角形，即∠BQP是鈍角的情形.

如圖4所示，當(dāng)PQ=BQ=5時，有LP=3，AP=8.

師生共同歸納：等腰三角形分類時不僅要考慮邊的分類，還要注意角的分類.

變式：已知，如圖5所示，點A的坐標(biāo)為（0，4），點B的坐標(biāo)為（43，0），若點C在x軸上運動，當(dāng)以點A，B，C為頂點的三角形是等腰三角形時，

請求出此時C點的坐標(biāo).

師：你是怎么考慮的？你能利用圓規(guī)在圖上畫出△ABC嗎？

學(xué)生動手作圖，大部分學(xué)生很快找出圖6中的C1，

C2，C3.

師：除了C1，C2，C3，還有其他點滿足條件嗎？

生10：還有以AB為底邊的等腰三角形，如圖7所示，作線段AB的垂直平分線，與x軸交于C4.

拓展：如圖8所示，在Rt△AOB中，AO=6，OB=8，P是線段AB上的點.當(dāng)△AOP是等腰三角形時，求BP的長.

學(xué)生提出分成三種情況：AO=AP，AO=OP，AP=OP.

當(dāng)AO=AP時，學(xué)生馬上求出BP=4.

生11：當(dāng)AO=OP時，如圖9所示，可以過O作OH⊥AB于H，利用

面積法可以求出OH=245，再利用勾股定理求出AH=185，

則有AP=2AH=365，所以BP=145.

生12：也可以先證△AHO∽△AOB，得到AOAB=AHAO，求出AH=185，從而得到BP=145.

生13：還可以利用cos A=35，求出AH，從而得到BP.

師：非常好，這三個同學(xué)用不同的方法求出AH的長.同學(xué)們，你們認(rèn)為解答這個問題的關(guān)鍵在哪里？

學(xué)生紛紛表示關(guān)鍵是作出高OH.

圖10師：等腰三角形的常用輔助線是底邊上的高線.那么當(dāng)AP=OP時，怎么求？

生14：過P作PM⊥AO，如圖10所示，根據(jù)等腰三角形“三線合一”，

可以得到AM=12AO，所以AP=BP=12AB=5.

二、教學(xué)立意的進一步解讀

1.動手操作，尺規(guī)作圖回顧知識

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力，就需要讓學(xué)生積累豐富而有效的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積累.尺規(guī)作圖需要將幾何定理與動手實踐相結(jié)合.演繹推理、合情推理源于動手操作，而動手操作的前提是幾何猜想.尺規(guī)作圖是手腦并用的活動，將操作與思考有機結(jié)合，能夠促進知識的內(nèi)化.尺規(guī)作圖活動既有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，又能促進學(xué)生形成獨立思考、自主探索、反思質(zhì)疑的良好思維品質(zhì).在幾何總復(fù)習(xí)階段，采取尺規(guī)作圖這種方式回顧舊知，能夠讓學(xué)生積累更多的活動經(jīng)驗.在教師設(shè)計的問題1的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)歷了動手“做數(shù)學(xué)”的過程，立足于整個初中階段知識復(fù)習(xí)等腰三角形的定義、性質(zhì)和判定方法，從而對舊知的理解更為透徹，形成知識網(wǎng)絡(luò).

2.知識建構(gòu)，初步感悟分類思想

復(fù)習(xí)時，僅羅列知識點而沒有對這些知識“再建構(gòu)”，學(xué)生難以對數(shù)學(xué)本質(zhì)進行深刻認(rèn)識和深度把握，更難以保持持久性和可遷移性.數(shù)學(xué)思想是“再建構(gòu)”的靈魂，在“等腰三角形的復(fù)習(xí)”這節(jié)課中，教師通過適當(dāng)增加條件將等腰三角形變?yōu)榈冗吶切?、等腰直角三角形等，讓學(xué)生體會從一般到特殊的思想方法.同時，教師為進一步鞏固學(xué)生對相關(guān)問題的通法通解的掌握，實現(xiàn)技能固化，引導(dǎo)學(xué)生思考添加頂角角度和底角角度的不同之處，討論添加的高在腰上或底邊上、在圖形內(nèi)部或外部這些情況，滲透分類討論的思想.

3.知識生長，進一步感悟分類思想

數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟內(nèi)化需要經(jīng)歷一個螺旋上升、長期發(fā)展的過程，需要教師在不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容中不斷滲透，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣不斷感悟的過程，才能逐步“領(lǐng)悟”出其中蘊含的數(shù)學(xué)思想.在中考總復(fù)習(xí)中，教師要注重知識的“生長點”和“延伸點”，利用一題多變、一題多解、多題歸一等方法讓學(xué)生從不同角度分析，從不同層次理解，不斷深入思考，逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.例題3的設(shè)計是應(yīng)用等腰三角形邊的分類計算，同時還需注意頂角的分類.在解決問題的過程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的推理能力，滲透分類討論思想.變式的設(shè)計是例題的延續(xù)，同樣邊的分類為腰或底，還需注意頂角的分類.同時還涉及尺規(guī)作圖，讓學(xué)生在動手操作中理解等腰三角形的性質(zhì).以AB為底邊的等腰三角形是本題的難點，再次讓學(xué)生感悟等腰三角形的本質(zhì)就是軸對稱圖形，進一步發(fā)展學(xué)生的推理能力，滲透分類討論思想.學(xué)生即將中考，需要挑戰(zhàn)中考題.在解決問題的起點，學(xué)生已經(jīng)能很好地考慮等腰三角形分類的情況了，教師要放手給學(xué)生一定的空間和時間解決問題.解答后讓學(xué)生思考并點明等腰三角形的輔助線的常用做法.本題解決方法多樣，學(xué)生從不同角度分析，不斷深入思考，逐步“領(lǐng)悟”分類討論這一數(shù)學(xué)思想.

三、結(jié) 語

中考幾何復(fù)習(xí)課堂教學(xué)主要以上述兩個環(huán)節(jié)為主.數(shù)學(xué)思想重在“悟”，在數(shù)學(xué)活動中“悟”，在知識的“再建構(gòu)”中“悟”，在知識應(yīng)用中“悟”.經(jīng)歷這樣的過程有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更有助于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.