感悟方程本質(zhì)，建立模型思想

李靜

【摘 要】在小學(xué)階段，就方程的概念學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，概念的意義比概念的定義更為重要。史寧中教授認(rèn)為：一元一次方程比較全面地展示了建模思想——用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立，等號(hào)的左右兩邊等價(jià)。這是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)表現(xiàn)之一?？梢?jiàn)，認(rèn)識(shí)方程的核心在于認(rèn)識(shí)其內(nèi)在的“等價(jià)關(guān)系” 模型。我們知道，方程的歷史演變經(jīng)歷了文辭式方程、縮寫(xiě)式方程、符號(hào)式方程三個(gè)時(shí)期。教學(xué)時(shí)，我們可以由方程外在描述性的定義出發(fā)，去感悟概念的豐富意義，感悟方程的模型思想。

【關(guān)鍵詞】方程的概念 等價(jià)關(guān)系 模型思想

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第1頁(yè)例1、例2，“練一練”和練習(xí)一第1、2題。

【課前慎思】

如何感悟方程本質(zhì)，建立模型思想呢？本課以蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)方程》第一課時(shí)為例進(jìn)行設(shè)計(jì)。首先，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)天平，感受平衡，關(guān)注等量關(guān)系;其次，引領(lǐng)學(xué)生共同探究，經(jīng)歷方程概念的形成過(guò)程;最后多樣練習(xí)，深度建模，學(xué)生在嘗試應(yīng)用中鞏固方程模型。

課前談話。猜蹺蹺板謎語(yǔ)，說(shuō)說(shuō)玩蹺蹺板的經(jīng)驗(yàn)。

師：讓我們回到童年，一起用動(dòng)作體驗(yàn)玩蹺蹺板。（師生共同用雙手做動(dòng)作，感受平衡、不平衡的狀態(tài)）

一、認(rèn)識(shí)天平，感受平衡

師：今天我們一起來(lái)認(rèn)識(shí)方程。 關(guān)于方程，你們有什么問(wèn)題要問(wèn)？

生：什么是方程？怎么列方程？學(xué)習(xí)方程有什么用？……

師：今天，我們重點(diǎn)研究什么是方程，怎么列方程。

師：學(xué)習(xí)方程離不開(kāi)一件工具。（出示天平圖，圖略）認(rèn)識(shí)嗎？誰(shuí)來(lái)介紹？

生：這是天平，當(dāng)天平兩邊稱的物體一樣重時(shí)，天平就會(huì)平衡。

師：像這樣，（用雙手表示平衡）我們就說(shuō)天平處于平衡狀態(tài)。

生：當(dāng)天平兩邊稱的物體不一樣重時(shí)，天平就會(huì)向左傾斜，或者向右傾斜。

師：像這樣，（用雙手表示不平衡）我們就說(shuō)天平——

生（齊）：不平衡。

……

【思考】數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)?！败E蹺板”作為兒童生活中較為熟悉的游戲活動(dòng)，有著與天平相似的工作原理，作為課前談話，既可以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊。

二、共同探究，了解方程

（一）用等式表示天平平衡狀態(tài)

師：你看到了什么？想到了什么？（觀察圖1）

生：左邊一個(gè)50克的雞蛋和一個(gè)50克的砝碼，右邊一個(gè)100克砝碼，天平平衡。

師：你能用一個(gè)式子表示出天平現(xiàn)在的狀態(tài)碼？

生1： 50克的雞蛋+50克的砝碼=100克砝碼。

生2： 50克+50克=100克。

生3： 50+50=100。

師：比一比，你最喜歡哪個(gè)式子？

生：第三種50+50=100，最簡(jiǎn)潔。

師：天平左邊是50+50;右邊是100。圖中哪有“=”？

生：天平是平的，（邊說(shuō)邊用動(dòng)作表示平衡）說(shuō)明天平左右兩邊相等。

師：我們以前也學(xué)過(guò)等式，你能舉例嗎？

（生舉例）

【思考】天平直觀地呈現(xiàn)，激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過(guò)天平的狀態(tài)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)等式及不等式，真正認(rèn)識(shí)到等號(hào)的本質(zhì)意義，表示兩邊的等價(jià)關(guān)系。

（二）用含未知數(shù)的式子表示等量關(guān)系

師：在天平左邊放一個(gè)物體，天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系可以怎樣表示呢？（觀察圖2）

生1：這個(gè)物體不知道多重。

生2：可以用字母x表示，字母可以表示不知道的數(shù)。

師：哦，看來(lái)這里的未知數(shù)和已知數(shù)在一起，有點(diǎn)“已知數(shù)”的味道了。

師：為了使天平達(dá)到平衡，老師用砝碼進(jìn)行了各種調(diào)整，請(qǐng)你用關(guān)系式記錄你看到的情況。學(xué)生在材料紙上完成，并匯報(bào)交流。（詳見(jiàn)圖3）

展示學(xué)生記錄：（1）一個(gè)物體x克+50克的砝碼>100克砝碼;（2）x+50>150;（3）150-50=x;（4）x+50=150;（5）x+50<150;（6）x+x=200;（7）2x=200。

師：比較一下，你們有什么想說(shuō)的？

生1：我覺(jué)得（2）簡(jiǎn)單些，（1）的記錄比較麻煩。

生2：我認(rèn)為（3）是在算x等于多少，不是天平現(xiàn)在的樣子。

生3：不需要改變未知數(shù)的位置，（4）的記錄反映了天平的狀態(tài)，簡(jiǎn)潔清楚。

生4：我認(rèn)為（6）的x+x就是2x，（7）的2x=200更簡(jiǎn)潔。

師：是呀，數(shù)學(xué)關(guān)系式記錄，就是用數(shù)、符號(hào)、字母等進(jìn)行最簡(jiǎn)單的表述。

【思考】在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察、比較、交流，學(xué)生就能深刻感受到在客觀描述天平狀態(tài)時(shí)，已知量和未知量是平等的。同時(shí)感受到“=”是描述天平兩邊的等價(jià)關(guān)系，而不是以往經(jīng)驗(yàn)中，從已知到未知的推算。感悟建構(gòu)方程模型的方法：客觀闡述等價(jià)關(guān)系。

（三）分類、比較，揭示方程的意義

師：你能將黑板上的式子分分類嗎？

生1：把相等關(guān)系的式子分成一類，不相等關(guān)系的式子分成一類。

生2：這些表示相等關(guān)系的式子都可以叫等式。

師：今天學(xué)的等式和以前學(xué)的等式有什么不同？

生：今天學(xué)的等式里有字母，以前學(xué)的等式里沒(méi)有字母。

師：像x+50=150、2x=200這樣含有未知數(shù)的等式就是方程。

師：老師用一個(gè)圈把所有的方程都圈起來(lái)，那么，你能圈出所有的等式嗎？

展示學(xué)生圈的情況（如圖4）。

師：沒(méi)有圈到的可以叫——

生：不等式。

師：看看這兩個(gè)圈，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：等式里面包含方程。

生2：所有的方程都是等式。

師（總結(jié)）：方程一定是等式，而等式不一定是方程。

【思考】描述現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的式子有多種，讓學(xué)生從常見(jiàn)的關(guān)系式中，通過(guò)觀察、比較、分類、抽象、概括逐步歸納出方程的概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，自主建構(gòu)對(duì)概念本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)。

三、多樣練習(xí)，深度建模

（1）看圖列式。（如圖5）完成后小組內(nèi)交流，說(shuō)說(shuō)你是怎么想的。

展示：①4x>800;②250=x+y;③5A+300=800;④50+12=62。

生1：我覺(jué)得②250=x+y、③5A+300=800是方程，其他不是。

生2：有兩個(gè)未知數(shù)，為什么也是方程？

生3：因?yàn)橹灰窍嗟鹊氖阶?，而且含有字母就是方程?/p>

生4：③不是沒(méi)有天平了，怎么還能列出方程？

生5：因?yàn)?個(gè)小杯的容量加上300毫升就是總共的800毫升。

師：看來(lái)，沒(méi)有天平了，你們也能找到平衡。這就是數(shù)量之間的一種關(guān)系，數(shù)學(xué)上稱為——

生（齊）：等量關(guān)系。

師：大家都覺(jué)得④不是方程，誰(shuí)能修改一下，讓它變成方程？

（生匯報(bào)）

師：其實(shí)，早在一、二年級(jí)時(shí)，咱們就已經(jīng)接觸到了方程：（ ? ? ）+5=8，（ ? ? ）×6=18，（ ? ? ）÷5=2。

（2）看圖列方程。（如圖6）

（3）用方程表示下面的數(shù)量關(guān)系。（如圖7）

師：其實(shí)，我們生活中的衣食住行等各方面都隱含著很多的相等關(guān)系，這些相等關(guān)系都能用方程表示出來(lái)。

【思考】方程留在學(xué)生腦海中的不僅是“含有未知數(shù)的等式”這樣一句話，重要的是明確列方程的過(guò)程，學(xué)會(huì)把已知數(shù)當(dāng)成未知數(shù)一起找等量關(guān)系，列出方程，從而深刻建立方程的模型。

四、回顧總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)

師：同學(xué)們掌握得真不錯(cuò)，那學(xué)習(xí)方程有什么用呢？未知數(shù)該怎樣求呢？關(guān)于方程更多的問(wèn)題，我們以后繼續(xù)研究。