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    經(jīng)歷探索過程 發(fā)展合情推理

    2021-02-08 08:42:32楊吟
    關(guān)鍵詞:合情推理

    楊吟

    【摘 ? 要】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,小學(xué)階段是學(xué)生合情推理能力發(fā)展的重要時(shí)期。以浙教版三年級下冊《長方形的周長和面積關(guān)系》為例,教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷先破后立的過程,體會(huì)反例的價(jià)值;經(jīng)歷多元思考的過程,讓“合情”同樣“合理”;經(jīng)歷完整表達(dá)的過程,讓思維的條理顯現(xiàn),從而發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

    【關(guān)鍵詞】合情推理;不完全歸納;觀察猜想;驗(yàn)證歸納

    推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中,兩種推理功能不同,相輔相成。合情推理往往用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理經(jīng)常用于證明結(jié)論。

    一般來說,受限于學(xué)生的知識水平和年齡特征,小學(xué)階段的教學(xué)會(huì)更多地偏重合情推理的內(nèi)容,小學(xué)階段是學(xué)生合情推理能力發(fā)展的重要時(shí)期。觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證是學(xué)生進(jìn)行合情推理的幾個(gè)重要環(huán)節(jié),本文以浙教版三年級下冊《長方形的周長和面積關(guān)系》為例,介紹教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

    【課前思考】

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中對第二學(xué)段學(xué)生推理能力的目標(biāo)定為:“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中,發(fā)展合情推理能力,能進(jìn)行有條理的思考,能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。”“長方形周長與面積的關(guān)系”是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形和正方形周長與面積的基礎(chǔ)上開展的一節(jié)探究課。本課旨在研究周長固定不變時(shí),面積隨著長、寬改變的規(guī)律。這是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的好內(nèi)容,在以學(xué)生為主體的探究活動(dòng)中,學(xué)生能夠很好地經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、類比、歸納等一系列活動(dòng),提升分析與解決問題能力、表達(dá)能力、推理能力等。

    【課堂再現(xiàn)】

    (一)第一次活動(dòng)(驗(yàn)證猜想1:周長長的面積就大)

    師:有兩根鐵絲,一根長20厘米,一根長24厘米,用這兩根鐵絲分別圍成一個(gè)長方形,猜一猜,哪根鐵絲圍成的長方形面積大?你是怎么想的?

    生:用24厘米圍出來的長方形面積大。(其他同學(xué)表示同意)

    生:因?yàn)?4厘米比20厘米長。

    師:你的意思是周長長的面積就大?

    生:不一定。(更多的學(xué)生陷入了沉思)

    師:有什么辦法能驗(yàn)證這個(gè)猜想是否正確呢?

    生:算一算,看看圍起來的長方形都有哪些情況。

    (學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試后,全班交流)

    生:周長長的面積不一定大。比如周長是24厘米的長方形,有可能長是11厘米,寬是1厘米,面積就是11平方厘米。

    師:他舉了一個(gè)周長長,面積卻小的例子!只要能夠舉出一個(gè)不符合猜想的例子,就說明這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。這樣的方式我們可以叫“舉反例”。通過舉反例咱們發(fā)現(xiàn),周長長,面積不一定大!

    生:我羅列了所有周長是20厘米和24厘米的長方形面積的情況。

    這里面也有反例,周長是20厘米的長方形面積,有可能比周長是24厘米的長方形面積大!

    師:周長長的長方形面積不一定更大。那么長方形的周長與面積之間有關(guān)系嗎?有什么關(guān)系?咱們進(jìn)一步探索。

    (二)第二次活動(dòng)(驗(yàn)證猜想2:長方形的周長一定,長與寬越接近,面積越大)

    1.觀察猜想

    師:在周長一樣的情況下,長方形面積的大小又有什么規(guī)律?觀察上面兩張表,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

    生:第1個(gè)表格中周長都是20厘米,我發(fā)現(xiàn)長越來越短,寬越來越長,面積越來越大。

    生:第2個(gè)表格也是這樣,長和寬越接近,面積就越大。

    師:我們把前提和猜想的結(jié)論連起來,完整地來說一說。

    生:當(dāng)周長一樣時(shí),長方形的長和寬越接近,面積就越大。

    師:這是咱們的猜想,還是結(jié)論?為什么?

    生:這只是我們的猜想,因?yàn)閺倪@兩張表看確實(shí)有這樣的規(guī)律,但兩個(gè)例子太少了,不能說明所有周長相等的長方形都有這個(gè)規(guī)律。

    生:我們可以再舉幾個(gè)例子試試看。

    師:你覺得舉出幾個(gè)例子就可以說這是結(jié)論?

    生:我覺得舉幾個(gè)例子都不能說。

    生:我不同意,我們總不能舉完所有的例子??!要是舉幾個(gè)例子都不能說,那不是永遠(yuǎn)得不到結(jié)論了?

    生:可以試著舉不一樣的例子,看看有沒有反例,要是舉不出反例,就可以把它當(dāng)作結(jié)論。

    師:好想法!這就是科學(xué)研究的過程。在找不到反例的情況下可以把猜想當(dāng)作結(jié)論來用,但如果有人舉出了反例,我們就要對結(jié)論進(jìn)行調(diào)整。你們打算怎么做?

    生:我們可以相互分工,比如有的研究周長短一點(diǎn)的長方形,有的研究周長長一點(diǎn)的長方形……還可以試著研究周長是奇數(shù)的長方形,數(shù)據(jù)盡量豐富,如果大家研究出來的數(shù)據(jù)都符合“長、寬越接近,面積就越大”,那么這個(gè)規(guī)律就應(yīng)該是正確的。

    2.驗(yàn)證歸納

    (教師提供材料包:格子圖、幾何釘板、學(xué)習(xí)單)

    (1)出示學(xué)習(xí)單,明確任務(wù)要求。

    (2)獨(dú)立研究,小組內(nèi)交流(要求盡量完整地說說自己的發(fā)現(xiàn))。

    (3)整合小組意見,全班交流,歸納結(jié)論。

    生:舉了這么多例子,都沒有反例,我覺得可以了。

    師:這些例子中,你覺得哪個(gè)例子特別有價(jià)值?

    生:我驗(yàn)證了周長是9厘米的情況,我覺得特別有價(jià)值。周長是9厘米,長和寬最接近的時(shí)候都是2.25厘米,是一個(gè)正方形,這時(shí)面積是5.0625平方厘米。和這個(gè)正方形最接近的長方形的長是2.26厘米,寬是2.24厘米,面積是5.0624平方厘米,面積還是沒有正方形大。

    生:我還驗(yàn)證了周長是小數(shù)10.8的情況……

    師:為什么你們覺得這樣的例子特別有價(jià)值?

    生:因?yàn)橐曳蠢鸵M量找不一樣的。如果無論什么時(shí)候結(jié)論都成立,那么這個(gè)猜想就是成立的。(其他小組表示贊同)

    師:那么現(xiàn)在我們可以暫時(shí)得到一個(gè)結(jié)論。你能完整地描述這個(gè)結(jié)論嗎?

    生:長方形的周長一樣的時(shí)候,長與寬越接近,面積就越大。

    生:長方形的周長一定時(shí),長與寬的差越小,它的面積就越大,成正方形時(shí)面積最大。

    【課后所思】

    (一)經(jīng)歷先破后立的過程,體會(huì)反例的價(jià)值

    學(xué)生在學(xué)習(xí)某個(gè)知識前,往往具有先備經(jīng)驗(yàn),這些經(jīng)驗(yàn)有的對學(xué)習(xí)會(huì)有正遷移作用,幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)新知;有的則會(huì)有負(fù)遷移作用,成為學(xué)生理解的障礙。本課教學(xué)中的第一個(gè)問題“20厘米與24厘米的鐵絲分別圍成長方形,誰的面積大”,讓學(xué)生直覺中的“周長長面積大,周長的長度與面積的大小之間正相關(guān)”這一錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)充分暴露,然后通過舉例說明將這一經(jīng)驗(yàn)打破,再重新樹立“長寬越接近的長方形面積越大”的觀念,符合學(xué)生的認(rèn)知過程。

    同時(shí),通過舉例說明一個(gè)結(jié)論是否正確是合情推理的方式之一,但這樣得到的結(jié)論帶有或然性。如果在舉例的過程中出現(xiàn)反例,就可以說明結(jié)論是錯(cuò)誤的,這是重要的推理經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課中,教師著力關(guān)注學(xué)生經(jīng)歷“舉反例”的過程,引導(dǎo)他們在體會(huì)反例價(jià)值的同時(shí)對合情推理有更深入的理解。

    (二)經(jīng)歷多元思考的過程,讓“合情”同樣“合理”

    在不完全歸納推理中,通過舉例子來說明結(jié)論的正確性不一定準(zhǔn)確,為了讓結(jié)果更有可能是正確的,學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為需要“多舉幾個(gè)例子”。但為什么多舉幾個(gè)例子就可能是正確的,舉例的目的是什么,學(xué)生往往不太會(huì)深入思考。本課例中,教師引導(dǎo)學(xué)生通過討論“哪個(gè)例子你認(rèn)為特別有價(jià)值”,逐步體會(huì):舉例子是為了盡量說明在任何情況下結(jié)論都正確,在不同情況下都沒有反例,因此要盡量舉“不一樣的”例子。這是學(xué)生合情推理能力形成過程的重要基礎(chǔ)。

    (三)經(jīng)歷完整表達(dá)的過程,讓思維的條理顯現(xiàn)

    語言是思維的外殼,鼓勵(lì)學(xué)生清楚地表達(dá)推理過程,有意識地培養(yǎng)學(xué)生思必有源、推必有理、言必有據(jù)的思維品質(zhì),對鍛煉推理能力同樣重要。本課教學(xué)中,教師從第一次猜想后進(jìn)行觀察開始,引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生將觀察結(jié)果外化為自己的語言表述,從猜想的適用范圍、表述的準(zhǔn)確性等方面作出優(yōu)化。不斷完善描述的過程,就是學(xué)生不斷修正思維的過程。學(xué)生在表達(dá)和思辨中發(fā)展思維,促進(jìn)合情推理能力的提升。

    當(dāng)然,合情推理能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的。教師在教學(xué)中要結(jié)合具體的內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理的過程,讓學(xué)生的合情推理能力在實(shí)踐中得以提升。

    參考文獻(xiàn):

    [1]張秋爽.談兒童數(shù)學(xué)教育視角下的“推理能力”培養(yǎng)[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版(數(shù)學(xué)),2016(7/8).

    [2]管小冬.“規(guī)律”教學(xué),讓“合情推理”更豐實(shí)[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),2020(5).

    (浙江省杭州市娃哈哈雙語學(xué)校 ? 310008)

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