論數(shù)學(xué)知識(shí)的多維屬性與主題式表達(dá)

劉師妤　周龍虎

【摘 要】以數(shù)學(xué)知識(shí)的立場(chǎng)發(fā)展學(xué)生，可從數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科屬性、文化屬性及社會(huì)屬性入手。數(shù)學(xué)知識(shí)的意義與價(jià)值，在于建構(gòu)化、結(jié)構(gòu)化與應(yīng)用化，主題式教學(xué)模式能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的多維發(fā)展屬性，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)走深走實(shí)。按照數(shù)學(xué)知識(shí)的可探究性、形態(tài)特征及價(jià)值訴求，將主題式教學(xué)分為探究性主題、HPM主題和課題型主題，以完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的審視。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識(shí);學(xué)科屬性;文化屬性;社會(huì)屬性;主題式教學(xué)

隨著信息化、智能化的發(fā)展，知識(shí)總量以幾何方式增長(zhǎng)。學(xué)生有時(shí)很少看到整體性的知識(shí)，這些零散的知識(shí)成為一種與我們相隔離的外在的東西。知識(shí)教育的非整體性迫使我們重新審視知識(shí)的本質(zhì)屬性和發(fā)展特性。正確的知識(shí)觀及其教學(xué)鑄就了知識(shí)教育的精神內(nèi)核，因此，教學(xué)要突出整體性原則。那么，如何讓學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)建立起對(duì)學(xué)科基本邏輯結(jié)構(gòu)的認(rèn)知與理解，并有效積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和積極情感，這是主題式教學(xué)亟待解決的問題。在主題式教學(xué)場(chǎng)景中，學(xué)生能自主探討和學(xué)習(xí)，他們高度聚焦與主題相關(guān)的各種領(lǐng)域的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教師可以橫向編選與該主題相關(guān)的教學(xué)材料，有時(shí)也可以直接打破學(xué)科之間的限制，在教學(xué)中整合不同領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容。如果主題式教學(xué)過多地強(qiáng)調(diào)整合的大學(xué)科觀念（如整合的方式、整合內(nèi)容的選取等外部條件），就會(huì)不自覺地削弱學(xué)科知識(shí)本身固有的屬性。因此，主題式教學(xué)的邏輯起點(diǎn)應(yīng)回歸知識(shí)，依據(jù)知識(shí)給出教學(xué)研判，直至知識(shí)的價(jià)值被理解。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)的多維發(fā)展屬性

一般地，數(shù)學(xué)知識(shí)是指對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的概括與抽象。數(shù)學(xué)知識(shí)作為規(guī)則、觀念、思想方法、信仰及傳播模式一整套體系的表現(xiàn)載體，是一種供傳播與傳承的文化。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與傳授也是文化熏陶與文化體驗(yàn)的過程，脫離了文化的數(shù)學(xué)知識(shí)就會(huì)背離人這一永恒主體，并反過來妨礙數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)源于社會(huì)生活，又應(yīng)用于社會(huì)生活。數(shù)學(xué)知識(shí)作為社會(huì)發(fā)展的推動(dòng)者和見證者，發(fā)揮著獨(dú)有的社會(huì)價(jià)值。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科屬性、文化屬性及社會(huì)屬性呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)獨(dú)特的價(jià)值。

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科屬性

數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的數(shù)學(xué)概念、公式、定理及所有數(shù)形關(guān)系的總和都屬于數(shù)學(xué)知識(shí)的范疇。數(shù)學(xué)知識(shí)相較于其他學(xué)科知識(shí)有著本質(zhì)的區(qū)別，對(duì)學(xué)科本質(zhì)的探索往往以定義數(shù)學(xué)呈現(xiàn)。盡管迄今數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)所下的定義有20種之多，但由于側(cè)重或視角的緣故難以達(dá)成共識(shí)。從研究?jī)?nèi)容上進(jìn)行定義，恩格斯認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。即使數(shù)學(xué)得到發(fā)展后衍生了諸如數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)理邏輯等新的內(nèi)容，都離不開對(duì)其數(shù)與形的討論，因而數(shù)學(xué)是涵蓋數(shù)與形的自然科學(xué)。我們可從研究的內(nèi)容、方式、思維特質(zhì)等層面重新審視數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科屬性。

從研究的內(nèi)容及方式來看，數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容是經(jīng)過不斷抽象化得到的數(shù)量關(guān)系、空間形式及由邏輯推理得到的各種關(guān)系與模式。數(shù)學(xué)具有較高的抽象性，不僅限于具體的研究對(duì)象，還體現(xiàn)在這一作用過程中的邏輯關(guān)系與思維形式上。抽象的必然產(chǎn)物是一類發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的方法的歸納與有序結(jié)合，我們習(xí)慣將之提煉為數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型是將問題研究簡(jiǎn)單化、程式化的有效手段，并使之盡可能達(dá)到普遍性、確定性和可靠性的過程。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”）明確指出建立模型是運(yùn)用和解決問題的核心，即由實(shí)際問題出發(fā)，經(jīng)過抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、確定參數(shù)等過程建立數(shù)學(xué)模型并用數(shù)學(xué)的方式求解、確定參數(shù)，然后用實(shí)際問題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)等來檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型，最后做出調(diào)整后交付使用。事實(shí)上，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，樹立正確的模型觀是建立數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知基礎(chǔ)。已有的模型為新模型的產(chǎn)生提供借鑒。任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表等都是經(jīng)由數(shù)學(xué)化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)模型，即任何數(shù)學(xué)內(nèi)容都是模式化的產(chǎn)物。

從思維特質(zhì)層面來看，數(shù)學(xué)家懷特海提出，數(shù)學(xué)是一門模式的科學(xué)。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是在對(duì)模式化的個(gè)體進(jìn)行抽象的過程中對(duì)模式進(jìn)行研究，數(shù)學(xué)對(duì)于理解模式和分析模式之間的關(guān)系是強(qiáng)有力的技術(shù)，邏輯推理發(fā)揮著不可替代的作用。盡管人類認(rèn)識(shí)事物的思維形式包括形象思維和辯證思維，但它們都難以成為數(shù)學(xué)中的模式。數(shù)學(xué)推理是否有效，能否證實(shí)或證偽，邏輯就是評(píng)判的標(biāo)準(zhǔn)。邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)[1]5。其特點(diǎn)是以抽象的概念、判斷和推理作為思維的基本形式，以分析、綜合、比較、抽象、概括的具體化作為思維的基本過程，從而揭露事物的本質(zhì)特征和規(guī)律聯(lián)系。數(shù)學(xué)研究過程的本質(zhì)就是邏輯推理的兩種形式——?dú)w納推理（提供合理性）和演繹推理（闡明嚴(yán)謹(jǐn)性）。前者強(qiáng)調(diào)對(duì)命題的提出及對(duì)命題的直觀理解，指引了數(shù)學(xué)研究的方向;后者按照假定前提和規(guī)定的法則進(jìn)行驗(yàn)證，給出證明。

（二）數(shù)學(xué)知識(shí)的文化屬性

學(xué)科文化是建構(gòu)學(xué)科的根本，是學(xué)科發(fā)展的動(dòng)力。如“數(shù)學(xué)文化”一詞的內(nèi)涵，簡(jiǎn)單地說，包含數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展;同時(shí)包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分，以及數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系[2]。

李大潛院士認(rèn)為，長(zhǎng)期以來，在人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過程中，數(shù)學(xué)作為一種精確的語言和一個(gè)有力的工具，一直發(fā)揮著舉足輕重的作用。作為語言和工具的數(shù)學(xué)知識(shí)，是其他自然科學(xué)乃至人文社會(huì)科學(xué)的研究思維及表達(dá)形式，其文化屬性可以通過數(shù)學(xué)語言的歷史性呈現(xiàn)。

數(shù)學(xué)教育的價(jià)值在于關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的文化屬性，學(xué)科文化成為學(xué)科獨(dú)有的育人方式。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化的重要作用，要求通過各種形式滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生通過在高中階段數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，初步了解數(shù)學(xué)與人類社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值，開闊視野，尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，激發(fā)對(duì)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力的認(rèn)識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，從而提高自身文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。毋庸置疑，數(shù)學(xué)文化的介入是大勢(shì)所趨，它會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的研究產(chǎn)生一些干擾，我們要做的就是使這種介入和融合更自然。課堂中的引史和用典應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)史的教育形態(tài)，與原始形態(tài)的古今數(shù)學(xué)史是有區(qū)別的，至少在功能上要有所體現(xiàn)。前者首先是教育資源（如充當(dāng)教學(xué)活動(dòng)中某一環(huán)節(jié)，或是培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)的學(xué)習(xí)資源等），而后者首先應(yīng)具備文化價(jià)值。數(shù)學(xué)兼有經(jīng)驗(yàn)性和演繹性二重性，但歸根結(jié)底是一種文化。在追求數(shù)學(xué)史教育價(jià)值最大化的同時(shí)，文化價(jià)值也不可輕視，后者在前者的基礎(chǔ)上應(yīng)有傳承，二者之間應(yīng)該相互關(guān)聯(lián)。教師只有對(duì)數(shù)學(xué)史有了正確的學(xué)科定位和積極的情感認(rèn)知，基于數(shù)學(xué)史課例的開發(fā)與應(yīng)用才能成為一種自覺教學(xué)行為。

（三）數(shù)學(xué)知識(shí)的社會(huì)屬性

數(shù)學(xué)與社會(huì)同發(fā)展，理應(yīng)審查數(shù)學(xué)知識(shí)的社會(huì)屬性。現(xiàn)實(shí)世界是數(shù)學(xué)的出處，同樣也是數(shù)學(xué)的歸宿。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去，以體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)知識(shí)具有極大的社會(huì)應(yīng)用價(jià)值，華羅庚先生曾說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！卑殡S著數(shù)學(xué)問題的不斷提出與解決，數(shù)學(xué)知識(shí)疆界的不斷拓寬，數(shù)學(xué)的應(yīng)用接近呈現(xiàn)指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。數(shù)學(xué)被譽(yù)為是思維的體操，能教人如何思考，能為科學(xué)決策提供依據(jù)，能為人的思維發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步提供強(qiáng)大的助推力。因此，著眼于現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)教學(xué)才能最大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望與潛能，并感悟到“數(shù)學(xué)是有用的”。應(yīng)用數(shù)學(xué)則是重新架構(gòu)數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界之間的橋梁，是擴(kuò)大數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值范圍的有效路徑。

數(shù)學(xué)家懷特黑德曾說：“只有將數(shù)學(xué)應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的研究之后，才能使文明社會(huì)的發(fā)展成為可控制的現(xiàn)實(shí)?！睌?shù)學(xué)知識(shí)脫胎于現(xiàn)實(shí)世界，要經(jīng)歷漫長(zhǎng)的過程才能回饋并造福于現(xiàn)實(shí)世界。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)一般要經(jīng)歷偏經(jīng)驗(yàn)的計(jì)算數(shù)學(xué)，偏演繹的方法數(shù)學(xué)再到偏實(shí)用的應(yīng)用數(shù)學(xué)等發(fā)展階段。

二、以主題式表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)的多維屬性，促進(jìn)學(xué)習(xí)走深走實(shí)

知識(shí)要遵循內(nèi)在的邏輯發(fā)展，以形成相對(duì)完善的知識(shí)體系。知識(shí)的擴(kuò)大化要借助理解的力量，更需要應(yīng)用反過來助推其發(fā)展。主題式教學(xué)模式能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的多維發(fā)展屬性，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)走深走實(shí)。主題式教學(xué)中的主題不是單一的知識(shí)點(diǎn)，它首先應(yīng)具備整合性，包括內(nèi)容的整合，強(qiáng)調(diào)各知識(shí)間形成有機(jī)的聯(lián)系。主題式教學(xué)的整合性在于重新梳理知識(shí)的內(nèi)在邏輯，將分散的知識(shí)點(diǎn)匯聚成相對(duì)系統(tǒng)和完整的體系，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的橫向流動(dòng)。從知識(shí)流動(dòng)的方向而言，貫穿知識(shí)必然是從某一知識(shí)到另一知識(shí)，知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值于無形中得到重塑。

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科屬性彰顯了數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、掌握過程及數(shù)學(xué)問題的解決過程，是一個(gè)多維度、多角度的思維探究過程。探究賦予知識(shí)以意義，因而可凝練為探究性主題;數(shù)學(xué)知識(shí)的文化屬性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的演化脈絡(luò)和發(fā)展的特質(zhì)，體現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)史料的選擇整合與借鑒，探究活動(dòng)的開放性較探究性主題局限性更強(qiáng)，故概括為HPM主題;數(shù)學(xué)知識(shí)的社會(huì)屬性強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，直指學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培育，故稱之為課題型主題。這三大主題既有共同之處，又各有側(cè)重。

（一）探究性主題

探究性主題是指具有探究?jī)r(jià)值的主題。以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，探究性知識(shí)指的是能使數(shù)學(xué)直覺思維、思辨思維及數(shù)學(xué)推演等諸多素養(yǎng)協(xié)同發(fā)展的知識(shí)。知識(shí)作為學(xué)生學(xué)習(xí)和理解的基本內(nèi)容，不能只停留在對(duì)符號(hào)本身的理解上，而應(yīng)該通過具體知識(shí)的學(xué)習(xí)，理解具體知識(shí)所表征的特定事物和事物的本質(zhì)規(guī)律、價(jià)值意義、思想方法和情感態(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生通過知識(shí)理解建立起與外部世界的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性。任何知識(shí)的建構(gòu)都是可探究的，這里強(qiáng)調(diào)的是基于數(shù)學(xué)理解過程的探究。英國(guó)數(shù)學(xué)心理學(xué)家斯根普（R.Skemp）將理解層次劃分為工具性理解和關(guān)系性理解，旨在對(duì)理解的內(nèi)在機(jī)制展開研究。有學(xué)者又在其基礎(chǔ)上，提出工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解等分類[3]。因此，探究性主題的主要目的并非是結(jié)論的確定化（如證實(shí)或證偽），而是促進(jìn)理解水平的換檔升級(jí)。如以向量為載體確定探究性主題，工具性理解上要做到向量的表達(dá)形式以及向量在溝通數(shù)形上的作用，關(guān)系性理解上要做到向量在其他知識(shí)板塊中的應(yīng)用以及向量知識(shí)體系的建構(gòu)，創(chuàng)新性理解上要做到將其推廣到其他相關(guān)知識(shí)的理解上或上升到數(shù)學(xué)文化傳承的層面。

強(qiáng)調(diào)探究過程中的理解要素，與要求具有一定的探究成果并不矛盾。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要具備組織者、引導(dǎo)者與合作者的要求，引導(dǎo)學(xué)生的思維方式走向深處。教師要給每一個(gè)學(xué)生提供表達(dá)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生說出想法的理由或依據(jù)，甚至通過追問、反問等方式激發(fā)學(xué)生在“無疑”處“生疑”。從培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)、發(fā)展探究能力的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)來看，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)并善于探究?？偟膩碚f，對(duì)知識(shí)的探究涉及橫向和縱向兩方面。

以函數(shù)單調(diào)性的主題教學(xué)設(shè)計(jì)為例，有兩種策略可供選擇。一是以函數(shù)單調(diào)性知識(shí)的前后邏輯為線索。例如，借助初等函數(shù)的圖像直觀理解函數(shù)單調(diào)性的含義、感悟函數(shù)的整體單調(diào)和部分區(qū)間單調(diào);通過代數(shù)求解（特別關(guān)注最大值或最小值和拐點(diǎn)），驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)性與自變量變化區(qū)間的關(guān)系;用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)一步刻畫函數(shù)的單調(diào)性，把握好函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)是變化趨勢(shì)。二是以函數(shù)的其他性質(zhì)為線索。例如，考查初等函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性、周期性、最大（?。┲抵g的關(guān)系，分析這幾個(gè)性質(zhì)的共性與差異。以函數(shù)的其他性質(zhì)為線索組織內(nèi)容，學(xué)生可以通過比較函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的理解，讓學(xué)生體會(huì)到正是因?yàn)椴煌瘮?shù)具有不同性質(zhì)，才使得函數(shù)成為表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界規(guī)律的豐富的數(shù)學(xué)語言[1]136。

（二）HPM主題

將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，是數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)注的焦點(diǎn)，一定程度上也是對(duì)數(shù)學(xué)史和現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育知識(shí)的概括。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展是基于對(duì)過去數(shù)學(xué)知識(shí)的累積，因而數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要領(lǐng)域便是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系（HPM）。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)原生態(tài)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，其揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展的基本規(guī)律和基本思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折歷程，在調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和創(chuàng)造性層面有天然的優(yōu)勢(shì)。實(shí)踐表明，將數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，不僅能激發(fā)學(xué)生讀史、思史的興趣，還能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，轉(zhuǎn)變知識(shí)的呈現(xiàn)形態(tài)就顯得至關(guān)重要，常見的轉(zhuǎn)變方式主要有以下三種。

一是煩瑣知識(shí)簡(jiǎn)潔化。知識(shí)的簡(jiǎn)潔性符合學(xué)生的可接受性原則。以兩角和與差的正（余）弦公式為例，歷史上其抽象于幾何命題。因此，在教學(xué)中，教師可以單位圓為研究載體，先用解析的方法證明兩角和與差的正（余）弦公式，并利用三角變換逐步推導(dǎo)出其他的三角函數(shù)形式，然后結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)史中的幾何命題，完成幾何直觀與代數(shù)推理演繹的共同詮釋。

二是類同知識(shí)同一化。正如著名數(shù)學(xué)家波利亞所說：“類比是偉大的引路人。”同樣地，類比也是聚攏知識(shí)形成知識(shí)鏈、知識(shí)團(tuán)的有效方式。當(dāng)學(xué)生已經(jīng)具備了自覺類比意識(shí)并初步掌握了類比的內(nèi)在機(jī)理以及類比的過程，類同知識(shí)就會(huì)自然交匯甚至疊加。以圓錐曲線的定義為例，按照?qǐng)A、橢圓、雙曲線及拋物線的分散式教學(xué)形式，強(qiáng)調(diào)更多的是不同曲線間的定義與性質(zhì)的不同，這對(duì)于突出解析幾何的本質(zhì)（用代數(shù)方法研究幾何問題）是不利的。如果結(jié)合圓錐曲線的產(chǎn)生背景（圓錐曲線是由一平面截二次錐面得到的曲線，平面傾斜的角度不同，得到的曲線不同）進(jìn)行教學(xué)，不僅能有效縮短教學(xué)時(shí)間，還能讓學(xué)生知其然，更能知其所以然，知何由以知其所以然。

三是分散知識(shí)結(jié)構(gòu)化。知識(shí)按照螺旋式上升的方式雖能保持知識(shí)發(fā)展邏輯與學(xué)生心理邏輯的協(xié)同與平衡，但也造成了一定程度上的分散甚至重復(fù)，尤其是一些未列入教材的數(shù)學(xué)史知識(shí)，如數(shù)學(xué)思想方法中的有限與無限思想。利用有限與無限思想使人們能夠從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變。作為高中數(shù)學(xué)中一種基本而又重要的數(shù)學(xué)思想，高中必修和選修教材中都有滲透和應(yīng)用，如二分法、立體幾何中線面垂直的判定、曲邊梯形的面積、曲線的切線、數(shù)學(xué)歸納法等。在教學(xué)實(shí)踐中，教師還應(yīng)根據(jù)不同HPM主題確定課型（如新授課、復(fù)習(xí)課等），否則為主題而主題的做法只會(huì)讓數(shù)學(xué)史知識(shí)失去原有的意義。再比如有限與無限是哲學(xué)中的一對(duì)辯證范疇，也是重要的數(shù)學(xué)思想。筆者在聽課中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)有限與無限思想的認(rèn)識(shí)仍停留在萌芽階段，不能靈活地予以轉(zhuǎn)化并解決問題，于是便設(shè)計(jì)了一節(jié)基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)思想深化課[4]。課上筆者和學(xué)生一起學(xué)習(xí)了希爾伯特旅館、劉徽的割圓術(shù)，以及畢達(dá)哥拉斯三角形數(shù)三個(gè)經(jīng)典史實(shí)案例的精髓，再通過精準(zhǔn)的鞏固練習(xí)，讓有限與無限思想成為分析、解決問題的優(yōu)先思想方法。

（三）課題型主題

課題型主題從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，不追求數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的系統(tǒng)性和完整性，而是講究處理問題的過程和總結(jié)規(guī)律，直至問題的解決。知識(shí)的內(nèi)化需要經(jīng)歷多方聯(lián)系和綜合應(yīng)用等過程，因而要促進(jìn)知識(shí)流動(dòng)并產(chǎn)生效益。這也是STEAM秉承的“重實(shí)踐、超學(xué)科”教育理念。STEAM教育與學(xué)科融合已成為創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的新模式，它在增強(qiáng)學(xué)生主體性、落實(shí)知識(shí)實(shí)踐性及強(qiáng)調(diào)探究開放性等層面具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，這也是課題型主題被提出的重要依據(jù)。

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，又植根于現(xiàn)實(shí)。著名數(shù)學(xué)教學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容應(yīng)與現(xiàn)實(shí)世界緊密聯(lián)系，故提出了“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育”的理念。為凸顯實(shí)踐性和探索性，研究性學(xué)習(xí)或微課題性學(xué)習(xí)成為中小學(xué)中較為普遍的一種學(xué)習(xí)方式。課題學(xué)習(xí)就是將研究性學(xué)習(xí)的思想與方法體現(xiàn)在學(xué)科教學(xué)中，教師通過對(duì)教材內(nèi)容的處理，把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為課題，以課題為核心，綜合多學(xué)科教學(xué)內(nèi)容，依靠學(xué)生的自主探索來完成課題的學(xué)習(xí)[5]。因此，對(duì)于課題型主題的選擇與處理就成為制約課題學(xué)習(xí)能否高效實(shí)施的關(guān)鍵要素。

首先，課題應(yīng)該有適宜的生長(zhǎng)土壤，是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的真研究。比如要了解數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生歸納整理工作做得好不好，并以此為他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供學(xué)法指導(dǎo)依據(jù)。學(xué)生就會(huì)仿照統(tǒng)計(jì)學(xué)家的做法，先從調(diào)查、收集數(shù)據(jù)做起，其次是分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)，最后做出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的釋義。隨著現(xiàn)實(shí)問題的逐步深入，學(xué)生學(xué)會(huì)了自覺用統(tǒng)計(jì)思想解決生活中的實(shí)際問題，并驅(qū)動(dòng)其研究其他的問題以催生新課題。

其次，課題的研究離不開對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)化過程。數(shù)學(xué)符號(hào)語言較自然語言有無法媲美的明確性和簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)方法較其他學(xué)科而言，思維方式有更強(qiáng)的說服力與嚴(yán)密性。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的過程，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)模型思想的具體化。數(shù)學(xué)模型的建立、求解及修正等過程需要扎實(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備及一定的知識(shí)過濾與篩選能力。鑒于現(xiàn)實(shí)問題的復(fù)雜性，某一數(shù)學(xué)分支的知識(shí)較難表達(dá)或詮釋清楚時(shí)，往往需要協(xié)同其他分支或其他學(xué)科知識(shí)，甚至需要去掉一些無關(guān)或相關(guān)性不強(qiáng)的變量，以實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題的適度理想化，從而使主題更加聚焦與突出。

因?yàn)檎n題型主題關(guān)注于知識(shí)的效率與效益，所以知識(shí)的價(jià)值直指課題研究中問題的解決與優(yōu)化，并使課型研究由小到大、由部分到整體、由淺表到深度發(fā)展。

三、結(jié)語

洛克說：“學(xué)了數(shù)學(xué)的人遇到機(jī)會(huì)，就能把這種推理方法遷移到知識(shí)的其他部分中去?！睌?shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)特征決定了知識(shí)可以通過遷移方式聯(lián)系不同的研究對(duì)象。因而考查數(shù)學(xué)知識(shí)的多維屬性可以延拓到其他學(xué)科知識(shí)甚至是一般意義上的課程知識(shí)，為主題式教學(xué)表達(dá)提供理論支撐。主題式教學(xué)活動(dòng)只有充分表達(dá)出知識(shí)的多維屬性，知識(shí)學(xué)習(xí)才會(huì)從符號(hào)學(xué)習(xí)走向邏輯學(xué)習(xí)、意義學(xué)習(xí)，最終將知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)科素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]任偉芳，偶偉國(guó)，龔輝，等.“工具性理解”“關(guān)系性理解”和“創(chuàng)新性理解”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（4）：69-73.

[4]劉師妤，周龍虎.以史為鑒，深化有限與無限思想[J].中學(xué)教研，2020（6）：27-31.

[5]張思明，白永瀟.數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的實(shí)踐與探索[M].北京：高等教育出版社，2003.

（責(zé)任編輯：陸順演）

【作者簡(jiǎn)介】劉師妤，華中師范大學(xué)教育學(xué)院在讀博士研究生，武漢市英格中學(xué)數(shù)學(xué)教師;周龍虎，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院在讀博士研究生，華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)數(shù)學(xué)教師。