高等數(shù)學微積分教學中數(shù)學思想方法滲透策略

荊素風

(太原旅游職業(yè)學院，山西 太原 030032)

作為高等數(shù)學教學的核心內(nèi)容，在微積分教學中，不僅要使學生熟練掌握基本知識與技能，深入了解基本的邏輯體系，更重要的是要使學生透徹理解相關數(shù)學思想方法。因為靈活掌握數(shù)學思想方法不僅可以幫助學生透徹理解現(xiàn)在所學的數(shù)學知識，也能夠為未來的學習應用奠定良好的基礎。因此，在教學實踐中，數(shù)學教師應針對如何將思想方法有效滲透到微積分教學中，給予更深入、更新穎的探索與嘗試。

一、數(shù)學思想方法

數(shù)學思想是分析、解決問題的基礎，是認識和掌握數(shù)學概念、性質(zhì)以及定理的關鍵，是數(shù)學的智慧、靈魂所在。數(shù)學方法是指解決數(shù)學問題的具體思路和手段。從自然科學、社會與科學技術等方面來講，還可以廣義地將數(shù)學方法理解為用數(shù)學語言對事物進行說明、推導、分析，以完成對相關問題的判斷、解決。從這一層面來講，數(shù)學本身就是一種方法。數(shù)學不僅具備一般科學的特征，還有能夠呈現(xiàn)橫向遷移的特點，在整個科學領域中的應用非常廣泛。

二、微積分教學現(xiàn)狀分析

在新時期背景下，隨著高等教育事業(yè)改革的不斷深入，步入高校的學生人數(shù)在不斷增加，但同時學生學習能力與認知水平也呈現(xiàn)出較大的差異。而隨著生源質(zhì)量的不斷下降，微積分考試成績也出現(xiàn)了越來越嚴重的兩極分化的情況，重修比例也不斷提高。除了學生方面的原因，教師在開展微積分教學過程中，若教學思想方法沒有針對性，就會影響學生的學習積極性，對教學效果產(chǎn)生直接影響。再加上微積分課程的難度較大，若不加強思想方法的滲透，幫助學生探索出更適合、高效的學習、解題方式，不僅會導致學生逐漸對微積分課程失去興趣與信心，也會制約微積分教學水平的進一步提升。因此，為了提升教學質(zhì)量，必須在微積分教學中重視科學有效的數(shù)學思想方法的滲透。

三、微積分教學中滲透數(shù)學思想方法的策略

(一)教師要深入分析教材

數(shù)學思想方法是數(shù)學家在探索數(shù)學真理的過程中總結出的精髓所在，但數(shù)學教材并非是對這一探索過程的真實記錄。相反，教材因為太過于追求完美的演繹形式，經(jīng)常會使其中的內(nèi)在思想方法被掩蓋，導致數(shù)學真理的發(fā)現(xiàn)過程被顛倒。因此，為使數(shù)學思想方法在微積分教學中實現(xiàn)有效滲透，一定要對教材內(nèi)容進行全面、深入分析，將其中的內(nèi)在思想方法全面提煉出來。在教材分析中，不僅要講究邏輯性，還要涉及到歷史分析。邏輯性著重強調(diào)的是不僅要做到對教材體系、脈絡以及重點、難點內(nèi)容的準確把握，還要結合知識、方法、思想這一順序?qū)⒅R中的方法挖掘出來，在方法中完成對思想的提煉。對教材的歷史分析，簡單來講就是要基于對數(shù)學史的全面了解實現(xiàn)對數(shù)學思想方法的準確把握，只有這樣才能夠在日常教學中把握契機，進一步優(yōu)化數(shù)學思想方法在知識點講解中的滲透。

(二)滲透化歸思想方法

在微積分教學中，化歸思想的具體運用主要表現(xiàn)在把未知的問題轉化為已知的問題并予以解決。在運用化歸思想的過程中，要先做到準確把握化歸對象，再進行化歸目標或路徑的確立與選擇。新概念的形成、理解與掌握往往需要在舊知識的基礎上實現(xiàn)，通過融入舊知識完成新理念的學習。在微積分教學中，化歸思想運用的關鍵就是快速轉化問題找到突破口，從而更高效地解決問題。例如，在講解不定積分的換元法時，需要先分析被積表達式與積分變量的關系，如果不能直接用不定積分公式解決問題，就需要搭個橋轉化到能用公式法解決問題，而換元法就是轉化問題合適的方法。轉化了這個問題，就可以在課堂上引導學生運用化歸思想合理地解決這種求不定積分的問題。又如，在講解復合函數(shù)求導時，先復習復合函數(shù)的分解，如果這個知識點能掌握好，復合函數(shù)求導的轉化就非常簡單了。其合理轉化過程為：第一步是分解，第二步是對分解結果求導，第三步是將求導結果相乘。而鏈式求導則需要在此基礎上進一步理解、融合、升華。再如，在定積分教學中，第二換元法是比較復雜的內(nèi)容，一般先全面分析問題，對被積表達式與積分上限、下限都進行換元轉化，將原始問題化歸為一個新的問題，再根據(jù)情況選擇公式法或湊微分法解決此問題。因此，利用轉化和歸結思維策略可以進行一系列化歸過程，高效處理教學中的難點問題，促進微積分教學效果的顯著提升。

(三)滲透極限思想方法

極限思想是微積分的基本思想，函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)、定積分等都是用極限來定義的，極限思想貫穿其始終。極限思想方法是分析解決微積分問題的必要工具。通過極限思想的有效運用，連續(xù)性、導數(shù)及定積分等知識內(nèi)容都逐漸被引出。極限思想是通過對運動變化的深入研究分析與解決問題的。

以曲邊梯形面積的求解為例，可以通過微積分中極限思想的有效引用，實現(xiàn)以直代曲，快速求出曲邊梯形面積。在具體求解時，先將整個曲邊梯形無限分割，以直代曲，用無限小矩形的面積之和取極限來解決問題。這一思想方法在微積分教學中的有效滲透，既有助于提升教學的有效性，高效解決原本復雜的問題，為之后的學習應用奠定良好基礎，也能夠更好地培養(yǎng)學生做事目標的明確性、思維的條理性、過程的規(guī)范性、方法的創(chuàng)新性等，以此提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

(四)滲透函數(shù)思想方法

函數(shù)思想是微積分學習中的一種重要方法，與辨證唯物主義觀相符合，就是以運動變化的觀點，利用變量之間的對應關系與函數(shù)知識分析解決問題。通過靈活運用函數(shù)思想分析解決微積分問題，往往可以取得非常顯著的效果。

在微積分問題分析中，運用導函數(shù)能夠?qū)⒃緩碗s化的微積分問題簡單化。例如，求函數(shù)的極值點，可以先求出函數(shù)的分界點，然后將函數(shù)的定義域分為若干區(qū)間，再列表判斷函數(shù)在各區(qū)間的單調(diào)性，最后得出單調(diào)性改變的點即為極值點?；诿總€過程扎實的函數(shù)知識，根據(jù)單調(diào)性就可以脈絡清晰地求出極值點。又如，拐點是函數(shù)凹凸性改變的點，求函數(shù)的拐點可通過判斷函數(shù)的凹凸性得出，掌握函數(shù)的凹凸性是解決問題的關鍵。因此，把握并運用函數(shù)思想方法才能提升解決問題的準確性。

在拉格朗日中值定理的運用中，需要先進行適合函數(shù)的構建，說明在微積分研究中，函數(shù)是至關重要的內(nèi)容。在微積分知識點的學習探究中，函數(shù)思想是不可忽視的基礎。例如，在證明方程x+2x=2至少存在一個小于1的正根這一題目的解答中，就要先進行函數(shù)F(x)=x+2x-2的構造，在明確F(x)在[0，1]上連續(xù)，而且F(0)=-1<0，F(xiàn)(1)=1>0之后，根據(jù)零點定理，便可以明確在(0，1)內(nèi)至少存在一個實數(shù)x，滿足F(x)=0，即x+2x-2=0在(0，1)內(nèi)至少存在一個實數(shù)根。

(五)滲透類比思想方法

類比思想就是根據(jù)不同對象之間的某種相似性的準確把握，通過比較分析類似問題，進而解決問題。在高等數(shù)學教學中，許多概念、性質(zhì)、定理、公式都是在類比中獲得的。在數(shù)學學習探究中，通過靈活運用類比思想方法，能夠使解決相似問題簡單化，以大幅度提升學習效率。例如，在無窮小量和無窮大量的教學中，用類比思想方法從定義、性質(zhì)、特例以及關系等方面進行對比分析，就能清晰地把這一重點問題講通透，使學生輕松掌握這一知識點。又如，對于六類基本初等函數(shù)的導數(shù)公式的記憶問題，一直是學生難以理解的問題，因此在推導出公式后進行類比分析，尤其是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對照類比，三角函數(shù)兩兩類比，就可以通過相似結構和局部不同進行記憶，幫助學生多思考、多記憶，達到在課堂就精準記憶公式的良好效果。通過類比思想的運用，可以使學生從概念到公式有更深刻的認識，提高學習積極性，促進學生對所學知識觸類旁通，為之后的學習、應用以及綜合學習能力的提升提供有力支持。

(六)全面滲透數(shù)學思想方法

不論是在微積分教學，還是其他數(shù)學課程的講解中，數(shù)學思想方法的運用應堅持反復滲透、漸進發(fā)展，還有學生參與等原則。為了確保學生對相關數(shù)學思想方法的透徹理解與熟練掌握，為之后的高效學習、解決問題以及綜合應用提供有力支持，教師在日常教學中要緊緊圍繞授課內(nèi)容，把握各種契機對學生進行有意識的引導，強化思想方法的滲透。例如，無限逼近的極限思想在極限定義中出現(xiàn)過，之后在導數(shù)定義、定積分等概念中再次出現(xiàn)，因此在實際授課中就要引導學生逐漸實現(xiàn)對無限逼近的極限思想方法的透徹理解，使學生對這一思想方法的精神實質(zhì)有真正的領會，且能將其有效運用到其他領域中，為實現(xiàn)知識遷移奠定良好基礎。

四、 結語

總之，在微積分教學中，除了要為學生傳授新穎、豐富的理論知識，還要引導學生透徹理解、靈活掌握相關的數(shù)學思想方法，從而為之后更高效地掌握所學知識，分析、解答實際問題提供有力支持。在微積分教學中巧妙地滲透數(shù)學思想方法，有助于學生不斷提升獨立思考能力、合作探究能力以及數(shù)學思維與數(shù)學應用能力，為進一步提高數(shù)學素養(yǎng)奠定良好基礎。