一類Burgers-KdV方程的李群分析、李代數(shù)、對(duì)稱約化及精確解

胡彥鑫，郭增鑫，辛祥鵬

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

在數(shù)學(xué)、物理、生物以及工程的相關(guān)領(lǐng)域中,如固體物理、光學(xué)纖維、化學(xué)動(dòng)力等，非線性發(fā)展方程能夠?qū)ζ淠承┨囟ǖ膹?fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行描述。隨著人們認(rèn)知水平的提升，在對(duì)自然的不斷探索中發(fā)現(xiàn)越來越多的物理、工程等問題，這些現(xiàn)實(shí)中的問題都可以通過數(shù)學(xué)方法將其轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的非線性偏微分方程的求解問題。因此,方程精確解的研究是十分有意義的。當(dāng)前,非線性發(fā)展方程的求解已經(jīng)有了非常多成熟的方法,例如(G′,G)展開法[1-3]、齊次平衡法[4-6]、F-展開法[7-9]、雙曲函數(shù)展開法[10，11]等。 Burgers-Kortewegde Varies方程最早在研究液體在不同場(chǎng)景下流動(dòng)的相關(guān)問題所提出來，它也經(jīng)常作為在研究一些物理現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律控制方程，因此對(duì)于Burgers-Kortewegde Varies方程的研究是十分有意義的，在本世紀(jì)初，已經(jīng)有了許多對(duì)于各種不同形式的Burgers-Kortewegde Varies方程的研究，本文將研究如下形式的Burgers-Kortewegde Varies方程

ut+αux+βuux+γu2ux+δuxxx=0,

(1)

其中u=u(x,t),α,β,γ,δ為任意常數(shù),方程(1)由Burgers-Kortewegde Varies方程[11]變形得到。在流體力學(xué)領(lǐng)域有十分廣泛的應(yīng)用。在此之前,文[12]已采用展開法得到方程(1)的精確解,文[13]使用首次積分法也得到了不同的精確解。本文將輔助函數(shù)展開法構(gòu)造方程(1)新的精確解,所得結(jié)果豐富了該方程的精確解的種類,方法也更加簡(jiǎn)便,所得精確解與之前相比更加簡(jiǎn)潔。

李群與微分方程的聯(lián)系由來已久,其創(chuàng)始人S.Lie在探索微分方程的對(duì)稱性[14-16]的時(shí)候首次提出了李群的概念。如今,如何讓構(gòu)造方程的精確解成為了微分方程這門學(xué)科中一個(gè)非常重要的課題。而使用李群方法,可以通過尋找方程的李點(diǎn)對(duì)稱[17],將偏微分方程轉(zhuǎn)化為當(dāng)下研究已經(jīng)非常透徹的常微分方程,最終可以構(gòu)造方程的群不變解。在本文中,利用李群方法得到了方程(1)的對(duì)稱及約化方程[18]。

本文由5部分組成:第1部分求出方程的李點(diǎn)對(duì)稱;第2部分構(gòu)建一維李代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng);第3部分利用對(duì)稱將原方程約化為了常微分方程；第4部分結(jié)合齊次平衡法與構(gòu)造輔助函數(shù)展開法構(gòu)造了方程(1)新的精確解;第5部分對(duì)全文做簡(jiǎn)要總結(jié)。

1 方程(1)的對(duì)稱

設(shè)方程(1)的向量場(chǎng)為

(2)

其中ξ(x,t,u),τ(x,t,u),φ(x,t,u)是待定函數(shù)。如果向量場(chǎng)是方程的李點(diǎn)對(duì)稱，則要滿足

pr(3)V(Δ)|Δ=0=0,

(3)

其中Δ=ut+αux+βuux+γu2ux+δuxxx,可以得到方程(1)的三階延拓為

pr(3)V=φt+βuxφ+(α+βu+γu2)φx+δφxxx=0,

(4)

式中φt,φx,φxxx是由(2)式中的ξ(x,t,u),τ(x,t,u),φ(x,t,u)的微分項(xiàng)決定

φt=Dt(φ-ξux-τut)+ξuxt+τutt,

(5)

φt=Dx(φ-ξux-τut)+ξuxx+τuxt,

(6)

φt=Dxxx(φ-ξux-τut)+ξuxxxx+τuxxxt,

(7)

這里(5)-(7)中的Dx,Dt是關(guān)于t,x的全微分算子。

將方程(5)-(7)帶入(4)，由對(duì)稱的相關(guān)條件，令包含u的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)均等于零，可得到關(guān)于ξ,τ,φ的決定方程組，對(duì)方程組進(jìn)行求解后可得出方程(1)的李點(diǎn)對(duì)稱

(8)

式中的C1,C2,C3為任意非零常數(shù),下面將上述結(jié)果做分類討論。

(a) 當(dāng)C1=1,C2=C3=0時(shí),

(9)

把(9)式代入(2)式，得到

(10)

(b) 當(dāng)C2=1,C1=C3=0時(shí)，

φ=0,τ=1,ξ=0,

(11)

把(11)式代入(2)式，得到

(12)

(c) 當(dāng)C3=1,C1=C2=0時(shí),

φ=0,τ=0,ξ=1,

(13)

把(13)式代入(2)式，得到

(14)

綜上,得到了方程(1)的三個(gè)李點(diǎn)對(duì)稱,第2部分中利用對(duì)稱構(gòu)造出方程(1)的一維最優(yōu)系統(tǒng)，在第3部分中利用對(duì)稱將方程(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程。

2 李代數(shù)與最優(yōu)系統(tǒng)

我們?cè)诘?部分中已經(jīng)求出的方程(1)的李點(diǎn)對(duì)稱向量場(chǎng)為

(15)

表1 李代數(shù)交換子表

表2 李代數(shù)伴隨表

根據(jù)求一維最優(yōu)系統(tǒng)的方法，設(shè)一個(gè)非零的V∈L3,L3是構(gòu)成李代數(shù)

V=a1V1+a2V2+a3V3，

(16)

其中a1,a2,a3是任意常數(shù)。

綜上得到方程(1)的一維最優(yōu)系統(tǒng)為{V1,V2,V3,V1+λ1V2}，λ1是任意常數(shù)。

3 對(duì)稱約化

對(duì)稱約化是常用的約化方法之一,利用第1部分中的向量場(chǎng)可對(duì)方程(1)進(jìn)行對(duì)稱約化，從而可使方程(1)轉(zhuǎn)化為常微分方程。接下來基于第1部分的(10)、(12)、(14)式,對(duì)方程進(jìn)行對(duì)稱約化。

(17)

(18)

u=f(ξ2)，

(19)

其中ξ2=x，代入(1)得到約化方程

αf′+βff′+γf′f2+δf?=0,

(20)

u=f(ξ3)，

(21)

其中ξ3=t，代入(1)得到約化方程

f′=0,

(22)

至此，我們完成了對(duì)于方程(1)的約化。

4 方程(1)的精確解

接下來將選取第1部分的對(duì)稱中C1=0的情況，令u(x,t)=u(ψ),ψ=x-qt這里的q是任意常數(shù)。

將變換代入(1)得

-qu′+αu′+βuu′+γu2u′+δu?=0,

(23)

對(duì)(23)積分得

(24)

對(duì)于方程(24)假設(shè)方程有解

(25)

這里的ω=w(ψ)，并且滿足方程

ω2-ω′+μ=0,

(26)

這里的αm,μ是任意常數(shù)。

由齊次平衡原理得

m=1,

(27)

則方程有解

(28)

將(26)、(28)代入(24)得

提取ωm的系數(shù)得到超定方程組

(29)

可以求出α-1,α0,α1,q的值，我們選取以下兩種情況

(30)

(31)

其中P是以下方程的實(shí)根

p2γ+6δ=0。

(32)

(i) 把(30)代入(28),當(dāng)μ>0時(shí),精確解為

(33)

當(dāng)μ<0時(shí),精確解為

(34)

當(dāng)μ=0時(shí),精確解為

(35)

(ii) 把(31)代入(28),當(dāng)μ>0時(shí),精確解為

(36)

當(dāng)μ<0時(shí),精確解為

(37)

5 總結(jié)

利用李群方法對(duì)一類 Burgers-Kortewegde Varies方程進(jìn)行了研究，得到了方程的對(duì)稱，構(gòu)建了一維李代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)，得到了約化方程,并采用了輔助函數(shù)展開法得到了方程的一系列新精確解,具有一定的理論意義,該研究方法可以應(yīng)用于其他的非線性發(fā)展方程,希望本文中的結(jié)果對(duì)于日后微分方程的研究能夠提供幫助。