問題誘思：數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的有效路徑

[摘要]文章結(jié)合幾則典例，設(shè)計(jì)一連串的問題，通過不斷誘思啟發(fā)，在反復(fù)的追問中，完成概念教學(xué)、法則教學(xué)、規(guī)律發(fā)現(xiàn)及方法的掌握，使學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正主人，使核心素養(yǎng)真正有效落地

[關(guān)鍵詞]問題誘思;數(shù)學(xué)抽象;初中數(shù)學(xué)

作者簡介：楊書合（1970-），?？茖W(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作

事物的屬性比較多，去掉或減弱其中的表層屬性，得到其本質(zhì)屬性的過程即是數(shù)學(xué)抽象.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的第一要素，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維能力發(fā)展的奠基石.數(shù)學(xué)需要抽象，經(jīng)歷追根求源、去偽存真的過程，能使學(xué)生從根本上學(xué)好數(shù)學(xué)，進(jìn)而形成處理問題的關(guān)鍵能力.教學(xué)中，教師可精心設(shè)計(jì)連串問題，通過不斷誘思啟發(fā)，掲示數(shù)學(xué)抽象的思想，在反復(fù)的追問中完成概念教學(xué)、法則教學(xué)、規(guī)律發(fā)現(xiàn)等，使學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正主人，讓核心素養(yǎng)真正有效落地.

情境仿真，抽象數(shù)學(xué)法則

例1如圖1，一只螞蟻在數(shù)軸上爬行，它當(dāng)前的位置在數(shù)軸上的原點(diǎn)處，我們設(shè)定向東為正，向西為負(fù).

（1）螞蟻先向西爬行2個(gè)單位長度

再向西爬行3個(gè)單位長度后，它在什么地方？

（2）螞蟻先向西爬行4個(gè)單位長度再向東爬行3個(gè)單位長度后，它在什么地方？

（3）螞蟻先向東爬行3個(gè)單位長度，再向西爬行2個(gè)單位長度后，它在什么地方？

（4）螞蟻先向西爬行5個(gè)單位長度第二次沒有爬行，第二次過后它在什么地方？

誘思1：依據(jù)自己的日常生活經(jīng)驗(yàn)，在上述四種情況下，螞蟻?zhàn)罱K位置在數(shù)軸上的哪一點(diǎn)？

誘思2：根據(jù)題中的設(shè)定，向西爬行2個(gè)單位長度應(yīng)記作什么？向東爬行3個(gè)單位長度應(yīng)記作什么？

誘思3：根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況與運(yùn)動(dòng)結(jié)果你能用數(shù)學(xué)算式表示上述四種情況嗎？

（1）（-2）+（-3）=-5;（2）（-4）+（+3）=1;（3）（+3）+（-2）=+1;（4）（-5）+0=-5.誘思4：根據(jù)上面的算式，兩個(gè)有理數(shù)相加，結(jié)果如何確定呢？請用自己的語言表述你的發(fā)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖教師通過問題教學(xué)與連串的誘思，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有理數(shù)加法的奧秘，讓學(xué)生通過自己的歸納與總結(jié)，得到有理數(shù)加法法則

正反操作，抽象不變規(guī)律例2利用若干塊圖2所示的長方形和正方形硬紙片可以拼出一些新的長方形，并用不同的方法計(jì)算它的面積，從而得到相應(yīng)的等式.計(jì)算圖3的面積可以得到等式（a+2b）（a+b）=G2+3ob+

（1）計(jì)算圖4的面積，可以得到等式

（2）用圖2所示的長方形和正方形硬紙片若干塊（每種至少用一次），拼成一個(gè)長方形，使拼出的長方形面積為2a2+7b+3b2，并把二次三項(xiàng)式2a2+7ab+3b2分解因式：2a2+7ab+3b2

（3）如圖5，大正方形的邊長為m小正方形的邊長為n，若用x，表示四個(gè)長方形的長和寬（x》y），觀察圖形，則下面的關(guān)系式中正確的有

誘思1：結(jié)合圖3，代數(shù)式a+2b，a+b，a2+3b+2b2分別表示什么？

誘思2：要表示圖3的面積，有哪兩種表示方法？（長方形面積法與組合法）誘思3：觀察圖4，利用長方形的面積=長寬，如何表示圖4的面積？利用長方形的面積=各部分面積的和，如何表示圖4的面積？

誘思4：要使拼出的長方形的面積為2a2+7b+3b2，則需要邊長為a的正方形多少個(gè)？邊長為b的正方形多少個(gè)？相鄰邊的長為a，b的長方形多少個(gè)？為什么？

誘思5：你拼出的面積為2a2+7ab+3b2的長方形的長與寬分別是多少？試著用它們表示長方形的面積（如圖6）誘思6：x+y，x-y與m，n分別是什么關(guān)系？（x+y=m，x-）=n

誘思7：結(jié)合圖5，大正方形的面積為多少？小正方形的面積為多少？四個(gè)長方形的面積為多少？它們之間有什么關(guān)系？

誘思8：通過以上探究，你有什么發(fā)現(xiàn)？試著用自己的語言歸納.

任何一個(gè)代數(shù)恒等式都可以用圖形的面積來表示;可以根據(jù)因式分解的結(jié)果找到拼后長方形的長與寬，也可以利用圖形的拼接得到多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果;如果因式分解結(jié)果是兩個(gè)多項(xiàng)式的積，那么這兩個(gè)多項(xiàng)式分別是一個(gè)長方形的長與寬

設(shè)計(jì)意圖先讓學(xué)生由圖形得到代數(shù)恒等式，然后讓學(xué)生由代數(shù)恒等式畫出圖形，最后應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，使學(xué)生在實(shí)際操作中感受，在反復(fù)追問中陷入深思，最終理解并掌握不變規(guī)律.

從特殊到一般，抽象一般結(jié)論

例3在同一平面內(nèi)放置兩塊三角板（△ACD和△ABE），將其繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BC，DE，探究Smc與S。me的比是否為定值.

（1）如圖7，當(dāng)兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時(shí)，SC：SAm是否為定值？如果是，求出此定值;如果不是，請說明理由.

（2）如圖8，當(dāng)其中一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30角的直角三角板時(shí)，S2ce：SaAa是否為定值？如果是，請求出此定值;如果不是，請說明理由

（3）如圖9，在兩塊三角板中，當(dāng)∠BAE+∠CAD=180°，AB=a，AE=bAC=m，AD=n（a，b，m，n為常數(shù)）時(shí)SABC：SAD是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值.

誘思1：欲求圖7中△ABC與△ADE兩個(gè)三角形的面積，需要作什么輔助線？（如圖10）

誘思2：在圖10中，∠CAG與∠EAD是什么關(guān)系？為什么？

誘思3：對(duì)于圖10，在Rt△ACG中如何用∠CAG的三角函數(shù)表示CG的長（即△ABC的高）？在Rt△AHD中，如何利用∠EAD的三角函數(shù)表示HD的長（即△ADE的高）？（CG=AC.sin∠CAGHD=AD·sin∠EAD）

誘思4：對(duì)于圖10，如何用含三角函數(shù)的代數(shù)式表示△ABC與△ADE的面

誘思5：在圖8中，不妨設(shè)∠ADC=30°，那么AD與AC之間存在怎樣的數(shù)量

關(guān)系？

誘思6：在圖8中，假如同圖10那樣作輔助線，∠CAG與∠EAD之間是否具有圖10的數(shù)量關(guān)系？是否可以用解答第

（1）問的方法，用三角函數(shù)表示△ABC與△ADE的高？

誘思7：如何用含三角函數(shù)的代數(shù)式表示圖8中△ABC與△AED的面積？

它們的面積比是多少？（V3）

誘思8：在圖9中，是否可以用前面的解答方法來解答？此時(shí)△ABC與△AED的面積比是多少？

誘思9：此時(shí)你有什么可喜的發(fā)現(xiàn)嗎？說出來與大家共享.（有一角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形的面積比等于成互補(bǔ)兩角的夾邊乘積的比）

設(shè)計(jì)意圖其實(shí)，在探究性數(shù)學(xué)問

題中，往往有固定的解題思路，有相同或相似的結(jié)論，只要教師精心設(shè)計(jì)問題，層層誘思，就能剝?nèi)ジ采w在上面的非本質(zhì)屬性，得到數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性.

一點(diǎn)感悟

數(shù)學(xué)中的大部分問題都有“寶”可挖，作為數(shù)學(xué)教師，不能只滿足于為了完成教學(xué)任務(wù)而解題，而要對(duì)課堂教學(xué)中講解的例題、習(xí)題進(jìn)行延伸挖掘，抽絲剝繭，通過歸納、總結(jié)，得到問題的本質(zhì)屬性.其實(shí)學(xué)習(xí)最重要的價(jià)值在于反思抽象，即通過一個(gè)問題的解決得到個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律，總結(jié)一種解法在實(shí)際教學(xué)中，可以增加一些條件，或減少一些條件，看能不能得到相同的結(jié)論，以驗(yàn)證我們的猜想，從而抽象出有用的結(jié)論.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與意識(shí)呢？一方面，教師要精心選題，選擇有代表性的典例，同時(shí)，課前要精心設(shè)計(jì)這些問題的誘思形式要做到步步深入，索本求源：另一方面，學(xué)生的活動(dòng)要形成主動(dòng)探究的態(tài)勢，學(xué)生只有主動(dòng)探究，才能與教學(xué)的啟發(fā)誘導(dǎo)相互配合，達(dá)到最佳效果.學(xué)生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論允許在教師的意料之外，要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)在自然過程中達(dá)成，或許，這才是學(xué)生的自主學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)

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