關(guān)于“銳角三角函數(shù)”教學(xué)的探究思考

[摘要]“銳角三角函數(shù)”內(nèi)容對學(xué)生而言學(xué)習(xí)難度較大，課堂教學(xué)應(yīng)把握數(shù)學(xué)與生活節(jié)點(diǎn)、新知與舊知節(jié)點(diǎn)，合理整合教材重點(diǎn)，設(shè)定教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生探究，促進(jìn)學(xué)生知識與思維的雙重提升.

[關(guān)鍵詞]銳角;三角函數(shù);正弦;教法;過程;思想

作者簡介：尤方成（1979-），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作

“銳角三角函數(shù)”是蘇科版九年級下冊的章節(jié)內(nèi)容，屬于“空間與圖形”領(lǐng)域的重要部分.探究銳角三角函數(shù)中銳角與比值的對應(yīng)關(guān)系，可以使學(xué)生深入認(rèn)識函數(shù)的定義域、值域，深刻了解函數(shù)的基本概念.正弦函數(shù)是“銳角三角函數(shù)”學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，其概念教學(xué)、數(shù)學(xué)建模、探究方式等可為后續(xù)余弦函數(shù)、正切函數(shù)的學(xué)習(xí)提供思想和方法上的弓導(dǎo).下面以正弦函數(shù)為例，展開“銳角三角函數(shù)”教學(xué)探究.

問題分析與教法探究

1.教學(xué)問題分析

學(xué)生對三角形相似、勾股定理、函數(shù)等知識已有初步了解，這可為本節(jié)“銳角的正弦函數(shù)”的學(xué)習(xí)提供知識基礎(chǔ)，同時(shí)，學(xué)生也具備相應(yīng)的邏輯思維能力和推理能力.但正弦函數(shù)是幾何與函數(shù)的融合，對學(xué)生而言知識跨度較大，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)依然存在一些困難，總體而言，主要有以下兩大困難.

困難一：正弦函數(shù)的自變量為角度，與一般函數(shù)存在較大差異，學(xué)生首次接觸，很難聯(lián)想到利用直角三角形模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化

困難二：正弦函數(shù)的概念較為抽象，與常規(guī)函數(shù)有較大不同，學(xué)生難以聯(lián)系幾何模型理解“在直角三角形中銳角固定則對邊與斜邊的比值固定”不能深刻理解正弦的概念.

對于上述兩大困難，其難點(diǎn)依然集中在函數(shù)與幾何的相融上，所以在實(shí)際教學(xué)中，建議采用數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的思想方法.如對于“困難一”，教學(xué)時(shí)可呈現(xiàn)特殊角的正弦函數(shù)值，并結(jié)合幾何畫板直觀演示直角三角形中固定角的對邊與斜邊的比值關(guān)系，讓學(xué)生感悟兩者的聯(lián)系.對于“困難二”，在教學(xué)討論時(shí)，建議首先分析直角三角形中的30°和45角的對邊與斜邊之比的固定值，在此基礎(chǔ)上討論任意銳角，引導(dǎo)學(xué)生理解“銳角度數(shù)一定，則銳角的對邊與斜邊的比值固定”，最后，引導(dǎo)學(xué)生將新舊知識結(jié)合，聯(lián)系函數(shù)來理解正弦函數(shù)的概念

2.課堂教法探究

合理的教學(xué)方法可以起到事半功倍的效果，學(xué)生理解時(shí)會更為深刻.教學(xué)“銳角的正弦函數(shù)”時(shí)，建議采用“探究一推理一歸納”的方式，即首先合理設(shè)置情境活動，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)進(jìn)行分析推理，最后進(jìn)行歸納總結(jié)，形成知識定義.教法中突出“活動設(shè)計(jì)，設(shè)問引導(dǎo)”教學(xué)過程中注重“學(xué)生參與，過程探究”，整個教學(xué)環(huán)節(jié)以學(xué)生為主體，以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展為教學(xué)根本.基于上述教學(xué)理念，在教學(xué)實(shí)踐中建議采用如下環(huán)節(jié)來展開教學(xué).

環(huán)節(jié)一：情境創(chuàng)設(shè)，新知引入環(huán)節(jié)二：新知探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律環(huán)節(jié)三：猜想證明，形成概念

另外，概念形成后還可以設(shè)計(jì)應(yīng)用強(qiáng)化環(huán)節(jié)，利用多變問題來引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化學(xué)習(xí)，理解概念，為后續(xù)的“學(xué)以致用”打基礎(chǔ).

教學(xué)設(shè)計(jì)與過程分析基于上述分析，教學(xué)“銳角的正弦函數(shù)”內(nèi)容時(shí)，采用“探究一推理一歸納”的模式，設(shè)計(jì)活動，合理引導(dǎo)，讓學(xué)生參與課堂探究，同時(shí)從生活實(shí)際中提取問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，以“探索一猜想一驗(yàn)證”為教學(xué)主線，重點(diǎn)突出，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.

1.環(huán)節(jié)一：情境創(chuàng)設(shè)，新知引入教學(xué)時(shí)，可利用多媒體呈現(xiàn)西部地區(qū)的地質(zhì)情況，設(shè)置如下情境問題：為了綠化荒山，環(huán)保辦計(jì)劃從位于山腳的機(jī)井房A沿著山坡鋪設(shè)水管澆灌坡面的綠地（如圖1），經(jīng)測量，斜坡與水平面所成的角為30.為使出水口B地的高度為35m，需要多長的水管？

合理設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生獨(dú)立思考，探求問題的解決方法.以情境問題作為課堂引入，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們快速融人課堂.

2.環(huán)節(jié)二：新知探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（1）問題呈現(xiàn)

該環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)模型來探究銳角的三角函數(shù)，因此教學(xué)中可以隱去上述問題的圖像背景，呈現(xiàn)圖2的直角三角形，即Rt△ABC，然后逐步設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生思考.

設(shè)問1：請用數(shù)學(xué)語言描述上述問題的條件.（∠C=90°，∠A=30°，BC=35m）設(shè)問2：對于上述問題，所求的水管

長，實(shí)際是求圖2中△ABC哪條邊的長？

（AB的長）

設(shè)問3：在Rt△ABC中，30°角所對的直角邊與斜邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言來表述問題，有利于提升學(xué)生的語言表達(dá)能力.該問題的探究重點(diǎn)是使學(xué)生初步認(rèn)識到三角形中“比值”“固定值”的數(shù)學(xué)表達(dá)，為后續(xù)的結(jié)論歸納打基礎(chǔ).

（2）類比猜想

問題：任意作一Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，如圖3，試計(jì)算∠A所對的邊與斜邊的比，即求的值.你可以得出怎樣的結(jié)論？

追問1.BC的大小與∠A的度數(shù)是否有關(guān)？

追問2、C的大小與Rt△ABC的大小是否有關(guān)？

上述問題旨在進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注銳角所對的直角邊與斜邊，強(qiáng)化學(xué)生對“比值”的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生由特殊向般過渡.基于上述問題，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：在已知一固定銳角的情況下，其對邊與斜邊的比值是一定的，不隨直角角形的大小而變化

3.環(huán)節(jié)三：猜想證明，形成概念利用上述特殊問題，學(xué)生可以初步發(fā)現(xiàn)銳角正弦函數(shù)中的“不變”特性，但這依然停留在猜想階段.教學(xué)時(shí)，有必要由模型入手，歸納概念，挖掘模型中的“變”與“不變”，形成相應(yīng)的理論知識

教學(xué)中，建議以直角三角形為基礎(chǔ)，繪制如圖4的三角函數(shù)表述模型：在Rt△ABC中，AB為斜邊，記BC為∠A的對邊，AC為∠A的鄰邊.數(shù)學(xué)上將銳角∠A的對邊與斜邊的比稱為∠A的正

后續(xù)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合模型理解銳角正弦函數(shù)概念中隱含的規(guī)律.可以借助幾何畫板，繪制一個直角三角形，設(shè)定各個角的大小，然后利用軟件計(jì)算出各個角在所在直角三角形中的對邊與斜邊的比值.另外，在設(shè)定角不變的情況下，可對直角三角形進(jìn)行縮放（如圖5），

進(jìn)一步計(jì)算設(shè)定角的對邊與斜邊的比值，使學(xué)生深刻理解“在直角三角形中對于給定的銳角，銳角對邊與斜邊之比固定不變，其與三角形的大小無關(guān)”

思想滲透與思維提升根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的教學(xué)說明，課堂教學(xué)不僅是知識的傳授過程，還是思想教學(xué)、思維提升的過程.對于“銳角的正弦函數(shù)”內(nèi)容，教學(xué)中需要重點(diǎn)滲透數(shù)學(xué)的模型思想、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想，利用數(shù)學(xué)思想來促進(jìn)學(xué)生思維的提升.模型思想廣泛應(yīng)用于解直角三角形問題中.在情境引入過程中，可以實(shí)際問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生從問題中抽象模型，如圖6，讓學(xué)生理解問題所表述的內(nèi)容，然后忽略圖像中的無關(guān)事物，通過連點(diǎn)作圖的方式建立問題模型.同時(shí)，將問題中的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何條件：斜坡與水平面所成的角為30°∠A=30°，出水口B地的高度為35mBC=35m，求水管長→求AB的長.

對于從特殊到一般的思想，可以將其滲透在概念形成和規(guī)律探究的環(huán)節(jié)中.以探究銳角正弦函數(shù)的“不變”規(guī)律為例，建議結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，在黑板上繪制圖像與x軸的夾角為特殊角的正弦函數(shù)，如圖7～圖9.教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生分別測量A點(diǎn)和B點(diǎn)處的垂直距離及OA和OB的長，然后計(jì)算比值，從特殊圖形中發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律.

對于數(shù)形結(jié)合思想，則可以在“應(yīng)用強(qiáng)化”環(huán)節(jié)中滲透，引導(dǎo)學(xué)生通過“數(shù)形對照”“以形示數(shù)”來理解思想的內(nèi)涵.

如給出問題：如圖10，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為DBD=3，DC=4，求sin∠A

第一步，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾何條件描述圖形結(jié)構(gòu)，把握圖形中的垂直關(guān)系、已知線段

第二步，結(jié)合圖形（圖10）提取其中的Rt△BDC，由勾股定理計(jì)算出BC的長.第三步，引導(dǎo)學(xué)生推理其中的相似三角形→△BDCい△BCA，然后由相似性質(zhì)計(jì)算出AB的長

第四步，結(jié)合正弦函數(shù)的概念，由sin∠A、BC計(jì)算出結(jié)果.

整個過程，注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“圖形”與“數(shù)式”之間的切換，由圖形性質(zhì)建立線段關(guān)系，利用線段關(guān)系反推幾何特性，使學(xué)生充分體驗(yàn)利用數(shù)形結(jié)合思想解題的過程，理解思想方法在解題應(yīng)用中的優(yōu)勢，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.總之，“銳角的正弦函數(shù)”是三角函數(shù)部分學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，實(shí)際教學(xué)中，教師需要把握教材重點(diǎn)和問題難點(diǎn)，充分探討教學(xué)方法，設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié);內(nèi)容教學(xué)以知識探究為主，開展過程分析，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)探究過程，充分思考問題;教學(xué)過程中合理滲透數(shù)學(xué)思想，指導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)思維，發(fā)展核心素養(yǎng)