在“一題多解”中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

[摘要]在平常的教學(xué)中，教師可以有針對性地、合理地把中考真題或相關(guān)典型問題融入課堂，通過對題目多種解法的探究，讓學(xué)生在思考、體驗、反思和總結(jié)中真正有效地促進(jìn)他們核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng);一題多解;運(yùn)算能力;思想方法

作者簡介：許小穎（1978-），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，曾獲福州市優(yōu)質(zhì)課比賽三等獎

當(dāng)前數(shù)學(xué)試卷中的壓軸題具備較高的選拔功能，它對學(xué)生的核心素養(yǎng)要求較高，也對教師如何引導(dǎo)教學(xué)要求很高.文章以2020年福建中考數(shù)學(xué)試卷第25題為例進(jìn)行分析.

試題呈現(xiàn)

試題（2020年福建中考）已知直線41：y=-2x+10交y軸于點A，交x軸于點B，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A，B兩點，交x軸于另一點C，BC=4，且對于該二次函數(shù)圖像上的任意兩點P1（x，y1），P2（x2，y），當(dāng)x》x2≥5時，總有y》y2（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式2）若直線：y=mx+n（n≠10），求證：當(dāng)m=-2時，l∥l;（3）E為線段BC上不與端點重合的點，直線12：）=-2xャ經(jīng)過點C且交直線AE于點F，求△ABE與△CEF面積之和的最小值.

數(shù)學(xué)思考

這是一道綜合性較強(qiáng)的函數(shù)壓軸題，從知識層面上看，主要考査了待定系數(shù)法、解方程組、一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、配方法、反證法等基礎(chǔ)知識：從數(shù)學(xué)能力上看主要考査符號意識、運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀創(chuàng)新意識;從思想方法上看，主要考査了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想的理解和運(yùn)用本題對學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性思維及分析問題的能力要求較高，特別地，第（3）小題的運(yùn)算較為復(fù)雜.2011年版的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對每一個學(xué)段的運(yùn)算需要達(dá)到什么樣的水平都提出了明確的要求，它不僅是數(shù)學(xué)課程中第一部分“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，還與其余三部分有著密切的聯(lián)系.而“一題多解”更體現(xiàn)了運(yùn)算的靈活性.它可以更有效地加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知和理解.對于具體問題，我們要知道“算什么”“怎么算”“依何算”例如，第（3）小題求兩個三角形面積之和的最小值，我們應(yīng)很快聯(lián)想到求面積之和的最小值的常用方法是什么，而它實質(zhì)上又是讓我們算什么，應(yīng)怎樣結(jié)合問題合理設(shè)元，進(jìn)而選擇最優(yōu)算法.

試題分析

下面僅對第（2）（3）小題展開分析.

1.第（2）小題的解答

第（2）小題在一次項系數(shù)相同的前提下，證明兩直線平行.學(xué)生往往不能領(lǐng)會命題者的意圖.我們可以嘗試從代數(shù)與幾何兩個角度進(jìn)行證明，其中幾何解法容易聯(lián)想到平行線的判定，通過兩角相等導(dǎo)出兩直線平行，或者通過平行四邊形或平移的知識推導(dǎo)出平行，但在用相似（或三角函數(shù)）證明角相等從而推出線平行時，容易因為思維不嚴(yán)謹(jǐn)不能進(jìn)行完整的分類而失分.對于代數(shù)解法，我們?nèi)菀茁?lián)想到“以形導(dǎo)數(shù)”，把次函數(shù)問題與方程（組）知識相結(jié)合，由方程（組）無解，推導(dǎo)出兩直線無交點（即不相交），進(jìn)而推導(dǎo)出兩直線平行，用這種方法表述更簡單一些也更易得分，但學(xué)生也會由于思維深刻性不足而漠視“n≠10”的條件，從而導(dǎo)致失分.

（1）幾何解法

解法1（三角畫數(shù)證法）由直線1：）=2x+10與x軸、y軸的交點，可得OA=10

OB=5，從而求得tan∠ABO=2.在m=-2的條件下，可得直線2：y=-2x+n與x軸、y軸的交點分別為0，M（0，n）.可以分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)n》0時，如圖1所示，容易求得tan∠MNO=2，所以tan∠ABO=tan∠MNO.所以∠ABO=∠MNO.所以l1∥l，②當(dāng)n0時，如圖2所示，容易求得an∠MNO=2，所以tan∠ABO=tan∠MNO.所以∠ABO=∠MNO.所以1∥2.③當(dāng)n=0時，如圖3所示，此時直線的方程為y=-2x.取直線2上的點G（-1，2），則可求得tan∠COH=2.所以tan∠GOH=tan∠ABO.所以∠COH=∠ABO.所以1∥2綜上可知，l∥l2∠ABO=∠MNO.所以l1∥l2.同理可證，當(dāng)n=0時，4l2.綜上所述，l4∥l2解法3（平行四邊形證法）當(dāng)nチ0時，設(shè)直線2與x軸、y軸分別交于點N和點M，則N、M（0，n）.如圖4所示

過（1，0）作PP∥y軸，其中點P在直線l2上，點Q在直線1上.利用l，的解析式可求得Q（1，8），P（1，n-2），所以PP=10-n|.又AM=10-nl，由AM∥PQ，AM=PQ，n≠10，推導(dǎo)出四邊形AMPQ是平行四邊形，所以l1∥2.同理可證，當(dāng)n=0時，l1∥l2.綜上可知，l∥l2

解法4（平移證法）如圖5所示，記P（x0，-2xo+10）是直線l：y=-2x+10上任意一點，將點P向上平移（n-10）個單位長度后得到點Q，可得Q（x，-2xo+n）.又點Q在直線2：y=-2x+n上，n≠10，所以直線1是由直線1向上平移（n-10）個單位長度得到的，所以l∥l2

（2）代數(shù)解法

解法5（正面解方程組）由得直線k：）=n，交ノy=-2x+10由℃+n≠10，得方程組無解，所以1與l2無交點、所以l1∥l2

解法6（反證法）若l1與2不平行，則和2必相交，可設(shè)交點為P（x0，y0）.由0=-2xo+10解得n=10，與已知n≠10y0=-2o+n，

矛盾，所以l1與2不相交.所以1∥l2解法7因為n≠10，所以對于任意的x，均有-2x+10≠-2x+n，即y1≠y2.所以1與l2永不相交.所以1∥l2

2.第（3）小題的解答

在第（2）小題的基礎(chǔ)上，易得1∥l通過對幾何圖形的觀察，易得△ABE與△CEF相似，再由相似三角形的性質(zhì)可得這兩個三角形面積之間存在的數(shù)量關(guān)系.這就讓我們聯(lián)想到，兩三角形的面積之和可以用含某個変量的式子來表示.因此，本題基本明確用函數(shù)表達(dá)式的方式求最小值.那么，我們設(shè)哪個元更容易計算呢？由于相似三角形相似比的知識與分式計算息息相關(guān)，而分式問題，分母越小越容易算，因此設(shè)分母為未知數(shù)是最合適的方法.不過本題所構(gòu)建的函數(shù)解析式不是學(xué)生所熟悉的函數(shù)，碰到這樣一個陌生函數(shù)，它的最值又該如何求呢？從學(xué)生的反饋來看，學(xué)生普遍由于配方法及主元思想不足、計算能力不夠，導(dǎo)致面積的最小值求錯

（1）幾何方法

教學(xué)導(dǎo)向思考

1.立足于教材的同時，注重知識的發(fā)生、發(fā)展過程，提高學(xué)生的理性思維能力教材是教學(xué)的根本，作為教師，我們應(yīng)該仔細(xì)分析數(shù)學(xué)課程的教材體系，不能簡單地教材安排什么就教什么.我們可以多想想教材為什么這么安排，以及這樣安排的合理性和科學(xué)依據(jù)是什么.備課時，我們不僅要把握每節(jié)課的知識教學(xué)目標(biāo)，更要注重前后知識聯(lián)系和思想方法的傳承，這樣教師充當(dāng)?shù)慕巧筒粌H僅是“知識的搬運(yùn)工”了.如果學(xué)生能親自動手探究問題并進(jìn)行驗證，那么他獲得的將不僅僅是知識，更是學(xué)習(xí)的方法與手段.

如上述中考題第（2）小題中k的意義，教學(xué)中從新課的“直觀感知”到“理性思維”，要螺旋式地發(fā)展：新課中感知k相等，則兩直線可以通過平移得到;章節(jié)復(fù)習(xí)中要提煉出“x每增加1，y的增加量即為k”并能解釋;總復(fù)習(xí)時就要進(jìn)一步提升到“k”與“tanc”的關(guān)系并能解釋.通過知識的拓展延伸，先讓學(xué)生感知知識的發(fā)生、發(fā)展過程，再在知識的相關(guān)處、來龍去脈處及形成上多下功夫，這樣學(xué)生對各知識的理解才能更加透徹，知識脈絡(luò)才會更清晰，分析試題時才能在知其然的基礎(chǔ)上更知其所以然，從而促使解題更“快”、更“準(zhǔn)”

如，上述中考題第（1）小題，為什么那么多的學(xué)生二次函數(shù)的表達(dá)式求錯呢？為什么有學(xué)生判斷出點C的坐標(biāo)是（9，0）呢？究其原因，是學(xué)生沒有知其所以然.由BC=4，B（5，0），點C在x軸上，我們可以判斷出點C在點B的左側(cè)或右側(cè)，于是可得C（1，0）或C（9，0）.又由x》x2≥5時，總有y1》y2，可以聯(lián)系對稱軸知識，判斷出對稱軸=-≤5，進(jìn)而判斷出點C的坐標(biāo)只能為（1，0）

2.強(qiáng)化運(yùn)算能力培養(yǎng)

運(yùn)算能力不是單一、孤立存在的數(shù)學(xué)能力，其與數(shù)學(xué)邏輯思維有著密切的聯(lián)系.學(xué)生往往會認(rèn)為運(yùn)算即機(jī)械的計算，不懂得概念、公式理解的重要性.其實，對于公式，我們不但要懂得“正用”，還要學(xué)會“逆用”，更要“活用”，這就需要學(xué)生能夠理解概念，并懂得公式的推導(dǎo)，從而提高運(yùn)算能力，減少錯誤.比如，上述中考題的第（3）小題，配方、均值不等式等計算方法的運(yùn)用學(xué)生就會錯誤百出.另外，我們還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生重視簡捷運(yùn)算和靈活運(yùn)算.要提高學(xué)生的運(yùn)算能力，“一題多解”就是一種很好的訓(xùn)練方法，因為通過不種解法的區(qū)別、篩選，他們可以比較哪種解法既正確又簡捷，從而在有限的時間里確定更加合理的解法.

3.關(guān)注學(xué)生作圖能力，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常會碰到些數(shù)量關(guān)系比較隱蔽的實際問題，此時若能指導(dǎo)他們用圖形把其中的變化關(guān)系表示出來，就能更直觀形象地解釋題意，幫助他們及時發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，這對題目的難度降低與突破有莫大的好處.而數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是把抽象的數(shù)學(xué)符號語言與直觀形象的圖形語言結(jié)合起來，實現(xiàn)“以形助數(shù)”與“以數(shù)輔形”，它要求課堂上要重視數(shù)學(xué)三種語言的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練.函數(shù)問題無疑是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范，為此，課堂上我們要有意識地為學(xué)生創(chuàng)造畫圖機(jī)會，別因為所謂的課堂效率而常常由教師代勞，顯然此中考題就考查了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.

4.關(guān)注初高中知識的銜接近年來，注重初高中知識銜接問題是中考數(shù)學(xué)的一大特點，很多高中學(xué)習(xí)的知識點在初中的學(xué)習(xí)中也稍有涉獵.比如，初中教材中的“統(tǒng)計和概率”，試題中時有出現(xiàn)的含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，在初中階段的學(xué)習(xí)中它們更側(cè)重于定量的計算，而高中階段還需要做定性的研究.解答上述中考題，對陌生函數(shù)的最值進(jìn)行研究時，所使用的配方法、均值不等式法等，就需要我們做好初高中知識方法銜接的講解與應(yīng)用.

綜上所述，中考、高考這些選拔性的考試具有較強(qiáng)的導(dǎo)向性，因此，如何培養(yǎng)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，有效地將培養(yǎng)核心素養(yǎng)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，是實際數(shù)學(xué)教學(xué)的重要一環(huán).作為一線教師，我們既要授之以“魚”，更要授之以“漁”，讓學(xué)生真正高效地學(xué)好數(shù)學(xué).