淺析高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念淺析高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念

周小紅

【摘要】高等數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)思想是：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)修養(yǎng).高等數(shù)學(xué)課的開設(shè)不僅是為各專業(yè)提供數(shù)學(xué)工具，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀念進行定量思考的能力，這是衡量一個人文化素質(zhì)的重要標志之一，也是學(xué)生長期發(fā)展所必須具備的基本能力.本文以高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)為例，淺析高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)的概念;數(shù)學(xué)思維

恩格斯曾經(jīng)說過這樣一句話：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了.”微積分對人類的作用是巨大的，它能使人們更科學(xué)地看待世界，培養(yǎng)人們正確的世界觀和科學(xué)的方法論.微積分的產(chǎn)生和發(fā)展是伴隨著生產(chǎn)力的發(fā)展的，自然科學(xué)因為社會實踐的發(fā)展面臨著巨大的挑戰(zhàn)，社會實踐的發(fā)展對物理、化學(xué)、生物提出了更高要求，而數(shù)學(xué)又是這些科目的基礎(chǔ).求變速運動的瞬時速度、求曲線上某一點的切線、求最大值及最小值這類實際問題導(dǎo)致了微積分的產(chǎn)生，這些問題的核心就是函數(shù)相對于自變量的變化而變化的快慢程度.這也是導(dǎo)數(shù)的精髓.

高職學(xué)生正處于培養(yǎng)正確的價值觀、世界觀的關(guān)鍵時期，學(xué)好高等數(shù)學(xué)對學(xué)生今后的工作和生活都有重要的意義.導(dǎo)數(shù)的概念以極限知識為基礎(chǔ)，又是學(xué)習(xí)微分、不定積分、定積分的基礎(chǔ)，對于學(xué)生來說，學(xué)好導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

一、導(dǎo)數(shù)概念的講解要適合學(xué)生的情況

1.時代背景

經(jīng)濟和社會的高速發(fā)展，對人才的綜合素質(zhì)提出了更高的要求，同時對人才的多樣化需求也越來越高.高職院校培養(yǎng)的高素質(zhì)技能型人才是國家建設(shè)很需要的人才，所以學(xué)校對高職學(xué)生的培養(yǎng)方向十分重要.

2.教育背景

高職學(xué)生生活觀念和價值觀等多種因素造成了學(xué)校對學(xué)生的培養(yǎng)存在一定的難度.高職一年級學(xué)生的生源復(fù)雜，有從高中通過高考考上來的學(xué)生，有從初中升上來的五年一貫制的學(xué)生，也有從初中升上來的七年一貫制的學(xué)生，還有通過自主招生入學(xué)的學(xué)生，不同生源的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同，學(xué)習(xí)態(tài)度也有明顯的差異，對問題的看法也多種多樣，同時學(xué)生的興趣愛好、學(xué)習(xí)習(xí)慣、心理等非智力因素存在較大的差異.這個階段的學(xué)生想象力、觀察力和動手能力較強，思維比較活躍.所以學(xué)校應(yīng)根據(jù)學(xué)生的特點對學(xué)生進行適宜的教育.

3.能力儲備

高職學(xué)生已經(jīng)初步具備了一定的分析能力和邏輯思維能力，但這些能力還都很薄弱.在認知習(xí)慣方面，有些學(xué)生學(xué)習(xí)主動性差，以被動接受知識為主，學(xué)習(xí)態(tài)度和積極性較差，對學(xué)習(xí)沒有熱情，得過且過，沒有學(xué)習(xí)目標，對于比較枯燥的內(nèi)容持消極對待的態(tài)度.有的學(xué)生則有明確的學(xué)習(xí)目標，積極參與教師的授課過程，有比較強的自制力.這就要求教師在對學(xué)生能力培養(yǎng)上持多樣化的培養(yǎng)方案，對于沒有學(xué)習(xí)目標的學(xué)生，教師應(yīng)幫助他們形成學(xué)習(xí)動機，形成自己的學(xué)習(xí)方法.

4.知識準備

數(shù)學(xué)在高速發(fā)展的社會里起著至關(guān)重要的作用，被各個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)已經(jīng)是高職教育不可或缺的重要組成部分.高職學(xué)生數(shù)學(xué)成績參差不齊，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也不盡相同，有一部分高中升上來的學(xué)生已經(jīng)掌握極限和導(dǎo)數(shù)的基本概念及應(yīng)用等知識，也有部分自主招生和貫通制的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常薄弱.基于上述情況，教師在教學(xué)的過程中應(yīng)通過交流了解情況，對不同情況的班級實施不同的教學(xué)方案，對同一班級不同的學(xué)生實施因人而異的不同深度、不同教學(xué)方法、不同角度的數(shù)學(xué)教學(xué).在教學(xué)過程中，教師盡量通過提問、啟發(fā)、引導(dǎo)，讓學(xué)生主動地去探究，讓他們自己去發(fā)現(xiàn)和解決問題.

二、導(dǎo)數(shù)的概念在講解的過程中要和專業(yè)相結(jié)合

1.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生專業(yè)結(jié)合

高等數(shù)學(xué)是我院水利與建筑、計算機、食品、畜牧與獸醫(yī)等專業(yè)必修的一門公共基礎(chǔ)課程，是學(xué)生學(xué)好其他專業(yè)課程的基礎(chǔ)，可以提高學(xué)生的邏輯思維能力、學(xué)習(xí)能力、綜合素質(zhì)，并且能提高學(xué)生獨立解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力.

高等數(shù)學(xué)課程是概率論與數(shù)理統(tǒng)計、試驗設(shè)計等數(shù)學(xué)課程和其他專業(yè)課程的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)在教學(xué)中的重要地位不言而喻.微積分在高等數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，而導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心，其作用可以被概括為承上啟下，其思維方式在許多專業(yè)內(nèi)均有應(yīng)用.

2.教學(xué)目標與學(xué)生專業(yè)結(jié)合

目標是行動的指南，教師只有明確了教學(xué)目標才能制定正確的教學(xué)策略.教學(xué)目標有三個方面，即知識與能力目標、過程與方法目標、情感態(tài)度與價值觀目標.學(xué)生通過對概念的理解和掌握，提高思維能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.教學(xué)方向與學(xué)生專業(yè)結(jié)合

導(dǎo)數(shù)的概念歷經(jīng)了發(fā)現(xiàn)、探究和形成三個過程，這個過程中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想.理解并牢固掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)能力和修養(yǎng)的基礎(chǔ).有了對概念的深層次理解，學(xué)生在遇到一些生活中的實際問題時就能夠利用導(dǎo)數(shù)的理論知識和思維邏輯進行解決，提高處理問題的能力.教師明確了教學(xué)方向，確定了難點和重點，接下來的關(guān)鍵就是實現(xiàn)教學(xué)目標和突破教學(xué)重難點.三、導(dǎo)數(shù)教學(xué)中教師對學(xué)生的引導(dǎo)

教師引導(dǎo)學(xué)生掌握并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)解題思路.具體的引導(dǎo)方法有探究式教學(xué)、小組合作學(xué)習(xí)等.

教育家蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：“人的心靈深處總有一種把自己當作發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的固有需要.”教師采用探究式教學(xué)可以挖掘?qū)W生的潛能，引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念的產(chǎn)生、深化過程.探索發(fā)現(xiàn)的過程使學(xué)生對知識產(chǎn)生興趣，并激勵學(xué)生繼續(xù)探究，從而讓學(xué)生不斷創(chuàng)新，從中掌握新的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)習(xí)過程越來越科學(xué).學(xué)生掌握了這種學(xué)習(xí)方法，對其終生學(xué)習(xí)都有積極意義.而小組合作學(xué)習(xí)方法可以培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和合作能力，這也是學(xué)生社會能力的一個重要方面.

四、導(dǎo)數(shù)教學(xué)中教師應(yīng)注意的教學(xué)方法

教師可以采用情境教學(xué)、問題驅(qū)動教學(xué)及分組討論等教學(xué)方法來讓學(xué)生參與課堂.

根據(jù)建構(gòu)主義教育理論的要求，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)情境，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.教師根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的規(guī)律，創(chuàng)設(shè)問題產(chǎn)生的情境、問題想象的情境、問題解決的情境，通過這幾個情境讓學(xué)生充分感受導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)、探索和形成過程，從而培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)的思維方式觀察問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生積極主動地參與教學(xué)過程，增強學(xué)生之間的協(xié)作和交流.

五、導(dǎo)數(shù)概念的探析過程

1.教學(xué)分析

本過程教師主要采用情境教學(xué)法、問題驅(qū)動教學(xué)法以及分組討論教學(xué)法.教師通過多媒體展示有關(guān)導(dǎo)數(shù)概念的圖片和相應(yīng)的文字，給學(xué)生介紹牛頓和萊布尼茨是怎樣從不同角度、不同專業(yè)給出和闡明了導(dǎo)數(shù)的概念和本質(zhì)，讓學(xué)生體會高等數(shù)學(xué)中某些概念的引出過程，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課，引導(dǎo)探究，獲取新知，講練結(jié)合，學(xué)以致用，師生討論，歸納小結(jié)，這些教學(xué)環(huán)節(jié)可有效提高教學(xué)效率.

2.具體教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師通過多媒體展示有關(guān)導(dǎo)數(shù)概念的圖片和相應(yīng)的文字，向?qū)W生介紹牛頓和萊布尼茨是如何從不同方面和不同領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)和引入了導(dǎo)數(shù)這個概念，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中某些理論的獲得過程，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.

（2）引導(dǎo)探究，獲取新知

教師采用情境教學(xué)法、問題驅(qū)動教學(xué)法以及分組討論教學(xué)法進行教學(xué).

（3）實例引入

情景1：求變速直線運動的瞬時速度.跳水運動員從跳板上跳下是變速運動，那么從運動員跳下（t=0時刻）開始計時（如圖1），求運動員在t=1秒，t=2秒……t=t0的瞬時速度.

在這段時間間隔內(nèi)的運動員的平均速度是v-=ΔsΔt=s（1+Δt）-s（1）Δt，當時間間隔很小時，我們可以認為物體在Δt這一小段時間內(nèi)所做的運動近似勻速運動，因此，可以用v-作為v（1） 的近似值，且Δt越小，其近似程度越高.當Δt→0時，我們把平均速度v-的極限稱為時刻t=1秒的瞬時速度，即v（1）=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0s（1+Δt）-s（1）Δt.我們知道跳水運動員的跳水運動可以被看作自由落體運動，所以s（t）=12gt2，于是有l(wèi)imΔt→012g（1+Δt）2-12g12（1+Δt）-1=g，學(xué)生可以用同樣的方法把t=2秒……t=t0的瞬時速度算出來：

limΔt→012g（2+Δt）2-12g22Δt=2g，limΔt→012g（t0+Δt）2-12gt20Δt=t0g.

情景2：設(shè)曲線C是函數(shù)f（t）=12gt2的圖像（如圖2），求曲線在點M[1，f（1）]處的切線斜率.

分析思路：求切線的斜率有兩種方式.

一是利用公式k=tan α求，但切線的傾斜角α沒有給出.

二是根據(jù)兩點公式k=y2-y1x2-x1 進行求解，但只知道一個點M[1，f（1）].

于是我們想到在點M附近曲線上取一點N，N應(yīng)該距離M較近.教師引導(dǎo)學(xué)生連接MN形成一條割線，先求出割線斜率，根據(jù)割線斜率的求法再引出切線的斜率，設(shè)割線斜率為

k=limΔt→0ΔyΔt

=limΔt→012g（1+Δt）2-12g12（1+Δt）-1

=limΔt→012g2Δt+Δt2Δt

=limΔt→012g（2+Δt）

=g

①情景2中曲線C其實就是跳水運動員自由落體運動函數(shù)f（x）=12gt2的曲線.

②情景2中曲線C在點M[1，f（1）]處切線的斜率和情景1中跳水運動員自由落體運動在t=1秒時的瞬時速度相等，都等于g.所以瞬時速度反映到圖像上就是對應(yīng)曲線的切線斜率.

以上兩個實例的共同點：當函數(shù)自變量變化Δt，因變量變化Δy，Δt→0時，Δy與Δt之比總是趨向于一個定值.數(shù)學(xué)教師通過這個現(xiàn)象引出導(dǎo)數(shù)的定義.這兩個實例涵蓋了導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)、探索和形成的過程.

3.對導(dǎo)數(shù)的概念進行闡述

假設(shè)一個函數(shù)y=f（x）在x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當x0取得一定增量Δx（x0+Δx在x0的領(lǐng)域內(nèi)）時，y值也取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果Δy與Δx的比例在Δx→0時的極限值是存在的，則y=f（x）在x0處可導(dǎo)，我們稱這個值為函數(shù)y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f′（x0），從而有f′（x0）=limΔt→0ΔyΔx=limΔt→0=f（x0+Δx）-f（x0）Δx，還記為y′x=x0，dydxx=x0，df（x）dxx=x0.

六、結(jié)束語

教師在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)過程中，始終從學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)出發(fā)，堅持和學(xué)生的專業(yè)結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，在課程活動中以實際事物作為中介工具，可以使學(xué)生實現(xiàn)對導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)的把握，并學(xué)會把導(dǎo)數(shù)的意義應(yīng)用到日常生產(chǎn)活動中.

導(dǎo)數(shù)來源于生活，同時應(yīng)用于生產(chǎn)實踐，隨著社會的發(fā)展，特別是在信息技術(shù)高速發(fā)展的時代，各行各業(yè)的發(fā)展都越來越依賴于數(shù)學(xué).導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)生若想把高等數(shù)學(xué)學(xué)好，就要先把導(dǎo)數(shù)的知識學(xué)好.教師應(yīng)讓學(xué)生在掌握導(dǎo)數(shù)知識的基礎(chǔ)上對其中蘊含的數(shù)學(xué)思想和文化有深入的了解，讓學(xué)生知道除了學(xué)習(xí)知識，還要建立自己的思維模式，加強思維訓(xùn)練，體會數(shù)學(xué)思維對人類社會的積極作用.社會發(fā)展對數(shù)學(xué)的發(fā)展和人類的思維模式提出了更高的要求.教師在教學(xué)中把數(shù)學(xué)方法展示給學(xué)生，把數(shù)學(xué)思想運用到教學(xué)中，并且在教學(xué)中注重導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性，可以使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活并創(chuàng)造生活，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活密不可分.

【參考文獻】

[1]曲元海，于梅菊，許晶，等.基于高等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計：以導(dǎo)數(shù)概念為例[J].通化師范學(xué)院學(xué)報，2020，41（4）：100-103.

[2]陳均.現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中全導(dǎo)數(shù)概念的命名辨析[J].中國教育技術(shù)裝備，2013（12）：98-99.

[3]陳勤.高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（5）：2.