空間上的AW(k)型Salkowski曲線

王杰

【摘要】在Galilean空間中研究了AW（k）型Salkowski曲線和AW（k）型antiSalkowski曲線，討論了Galilean空間中的AW（k）型曲線存在的條件.根據(jù)anti-Salkowski曲線的定義，得出在Galilean空間中不存在AW（1）型antiSalkowski曲線的結(jié)論.同時，在Galilean空間中，對weak AW（k）型Salkowski曲線和weak AW（k）型antiSalkowski曲線的存在條件也進(jìn)行了討論.

【關(guān)鍵詞】Galilean空間;Salkowski曲線;AW（k）型曲線

一、引言

在文獻(xiàn)[1]中，Arslan和West給出了AW（k）型曲線和子流形的定義，此后，關(guān)于AW（k）型子流形的研究越來越多.在文獻(xiàn)[2]中，作者研究了AW（k）型曲線和曲面.在文獻(xiàn)[3]中，作者在多維歐氏空間中討論了AW（k）型曲線并給出了這類曲線的一些性質(zhì)和特征.在文獻(xiàn)[4，5，6，7，8]中，作者對AW（k）型曲線在Minkowski空間中的情況進(jìn)行了研究和討論.

歐氏空間中，曲線和曲面的研究歷史源遠(yuǎn)流長.但是，除去歐氏幾何的研究方法，數(shù)學(xué)家們還通過各種方式引入了新型的幾何方法并使其發(fā)展，其中一種方式就是射影方法.Galilean空間由此而來.Galilean空間是帶有絕對形的三維實仿射空間，在文獻(xiàn)[9，10，11]中，作者對此空間進(jìn)行了大量的研究，并將曲線和曲面引入此空間.

1909年，Salkowski在文獻(xiàn)[12]中第一次引入了Salkowski曲線（κ為常數(shù)）和anti-Salkowski曲線（τ為常數(shù)）.在文獻(xiàn)[13]中，作者在三維歐氏空間中研究了Salkowski型Manheim曲線.在文獻(xiàn)[14]中，作者討論了主法向量和固定直線所成常角的Salkowski曲線.在其他的空間中，Salkowski曲線也被廣泛研究.

本文主要研究了Galilean空間上的AW（k）型Salkowski曲線，在第二部分，給出了Galilean空間和AW（k）型曲線的一些基礎(chǔ)概念.在第三、四部分，對AW（k）型Salkowski曲線和AW（k）型anti-Salkowski曲線進(jìn)行了討論.

二、預(yù)備知識

Galilean空間是帶有絕對形（ω，f，I）的三維仿射空間，其中，ω是絕對平面（理想平面），f是ω上的絕對直線，I是f上的固定橢圓對合.在Galilean空間中引入齊次坐標(biāo)，絕對平面的坐標(biāo)定義為x0=0，絕對直線的坐標(biāo)定義為x0=x1=0，橢圓對合為（xx0∶x1∶x2∶x3）=（1∶x∶y∶z）;設(shè)Pi（xi，yi，zi）（i=1，2）是Galilean空間上的任意兩點，則距離定義為：

d（p1，p2）=|x2-x1|，x1≠x2，

（y2-y1）2+（z2-z1）2，x1=x2.

設(shè)X→=（a1，a2，a3）和Y→=（b1，b2，b3）是Galilean空間上任意兩個向量，其內(nèi)積定義為：

〈X→，Y→〉G=a1b1，a1≠0或b1≠0，

a2b2+a3b3，a1=b1=0.

Galilean空間中的Cr（r≥3）類容許曲線α定義為：

α（s）=（s，y（s），z（s））.

其中，s是曲線α的弧長參數(shù).容許曲線α的曲率與撓率分別為：

κ（s）=y2（s）+z2（s），

τ（s）=det（α′（s），α″（s），α（s））κ2（s）.

設(shè)向量（T→，N→，B→）分別是容許曲線α的切向量、主法向量和副法向量，故Galilean空間中的Frenet公式為：

T→′（s）=κ（s）N→，

N→′（s）=τ（s）B→，

B→′（s）=-τ（s）N→.

下面引入AW（k）-type曲線.

不妨設(shè)α是Galilean空間中的Cr（r≥3）類容許曲線（以s為弧長參數(shù)），向量（T→，N→，B→）分別是容許曲線α的切向量、主法向量和副法向量，κ和τ分別為曲線的曲率與撓率，由此可以得到：

α′=T→，

α″=κN→，

α=κ′N→+κτB→，

αiv=（κ″-κτ2）N→+（2κ′τ+κτ′）B→.（1）

不妨令：

N→1=κN→，

N→2=κ′N→+κτB→，

N→3=（κ″-κτ2）N→+（2κ′τ+κτ′）B→.（2）

定理2.1

（a）AW（1）型滿足N→3=0.（3）

（b）AW（2）型滿足N→22N→3=〈N→3，N→2〉N→2.（4）

（c）AW（3）型滿足N→12N→3=〈N→3，N→1〉N→1.（5）

（d）weak AW（2）型滿足N→3=〈N→3，N→2〉N→2.（6）

（e）weak AW（3）型滿足N→3=〈N→3，N→1〉N→1.（7）

其中：

N→1=N→1N→1=N→，

N→2=N→2-〈N→2，N→1〉N→1N→2-〈N→2，N→1〉N→1=B→.（8）

三、Galilean空間的AW（k）型Salkowski曲線

設(shè)α是以s為弧長參數(shù)的曲線，T→，N→，B→是Galilean空間中的Frenet標(biāo)架，因為α是Salkowski曲線，故其曲率κ為非零常數(shù).因此，由（2）式得：

N→1=κN→，

N→2=κτB→，

N→3=-κτ2N→+κτ′B→.（9）

根據(jù)定理2.1，我們得到下面一些定理：

定理3.1不妨設(shè)容許曲線α是G3上的Salkowski曲線，則α是AW（1）型曲線，當(dāng)且僅當(dāng)τ=0.

證明由于α是G3上的Salkowski曲線，根據(jù)等式（9）和（3），可得-κτ2=0，

κτ′=0，由于κ為常數(shù)且κ≠0，求得τ=0或為τ常數(shù)，考慮-κτ2=0，故τ=0，即曲線α為圓.

定理3.2不妨設(shè)容許曲線α是G3上的Salkowski曲線，則α是AW（2）型曲線，當(dāng)且僅當(dāng)τ=0.

證明由于α是G3上的Salkowski曲線，根據(jù)等式（9）和（4），整理計算可得：κ2τ2-κτ2N→+κτ′B→=κ2ττ′·κτB→=κ3τ3τ′B→，即-κ3τ4N→+κ3τ3τ′B→=κ3τ3τ′B→，即-κ3τ4=0，由于κ≠0，故τ=0.

定理3.3不妨設(shè)容許曲線α是G3上的Salkowski曲線，則α是AW（3）型曲線，當(dāng)且僅當(dāng)τ為常數(shù).

證明由于α是G3上的Salkowski曲線，根據(jù)等式（9）和（5），整理計算可得：κ2-κτ2N→+κτ′B→=-κ3τ2N→，即κ3τ′=0，由于κ≠0，故τ′=0，即τ為常數(shù).

定理3.4不妨設(shè)容許曲線α是G3上的Salkowski曲線，則α是weak AW（2）型曲線，當(dāng)且僅當(dāng)τ=0.

證明由于α是G3上的Salkowski曲線，根據(jù)等式（9）和（4），可求得-κτ2=0，由于κ≠0，故τ=0.

定理3.5不妨設(shè)容許曲線α是G3上的Salkowski曲線，則α是weak AW（3）型曲線，當(dāng)且僅當(dāng)τ為常數(shù).

證明由于α是G3上的Salkowski曲線，根據(jù)等式（9）和（5），可求得κτ′=0，由于κ≠0，故求得τ為常數(shù).

四、Galilean空間的AW（k）型anti-Salkowski曲線

設(shè)α是以s為弧長參數(shù)的曲線，T→，N→，B→是Galilean空間中曲線α的Frenet標(biāo)架，因為α是anti-Salkowski曲線，所以，其撓率τ為非零常數(shù).故由（2）式可得：

N→1=κN→，

N→2=κτB→，

N→3=（κ″-κτ2）N→+2κ′τB→.（10）

根據(jù)定理2.1，我們得到下面一些定理：

定理4.1在Galilean空間中，不存在AW（1）型anti-Salkowski曲線.

證明設(shè)α是G3上的anti-Salkowski曲線，根據(jù)等式（10）和（3），得κ″-κτ2=0，2κ′τ=0，由2κ′τ=0且τ≠0，可得κ為常數(shù)，考慮κ″-κτ2=0，矛盾.故不存在AW（1）型anti-Salkowski曲線.

定理4.2不妨設(shè)容許曲線α是G3上的anti-Salkowski曲線，則α是AW（2）型曲線，當(dāng)且僅當(dāng)曲率與撓率滿足如下微分方程：κ2τ2κ″-κ3τ4=0.

證明設(shè)α是G3上的anti-Salkowski曲線，根據(jù)等式（10）和（4），整理可得：κ2τ2κ″-κτ2N→+2κ′τB→=2κκ′τ2·κτB→，即κ2τ2κ″-κτ2=0，去括號即可得微分方程.

定理4.3不妨設(shè)容許曲線α是G3上的anti-Salkowski曲線，則α是AW（3）型曲線當(dāng)且僅當(dāng)κ=0或κ為常數(shù).

證明設(shè)α是G3上的anti-Salkowski曲線，根據(jù)等式（10）和（5），得2κ2κ′τ=0，由于τ≠0，故κ=0或κ為常數(shù).

定理4.4不妨設(shè)容許曲線α是G3上的anti-Salkowski曲線，則α是weak AW（2）型曲線，當(dāng)且僅當(dāng)曲率與撓率滿足如下微分方程：κ″-κτ2=0.

證明設(shè)α是G3上的anti-Salkowski曲線，根據(jù)等式（10）和（6），可求得此微分方程.

定理4.5不妨設(shè)容許曲線α是G3上的anti-Salkowski曲線，則α是weak AW（3）型曲線，當(dāng)且僅當(dāng)κ為常數(shù).

證明設(shè)α是G3上的anti-Salkowski曲線，根據(jù)等式（10）和（7），可求得2κ′τ=0，由于τ≠0，故κ為常數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

[1]K Arslan， A West. Product submanifolds with pointwise 3planar normal sections[J]. Glasgow Math J，1995（37）：73-81.

[2]K Arslan， C zgür. Curves and surfaces of AW（k） type， Geometry and topology of Submanifolds IX[J].World Scientific，1997.

[3]C zgür， F Gezgin. On some curves of AW（k）type[J]. Differential GeometryDynamical Systems，2005（07）：74，80.

[4]K Orpinar T，Turhan，E. Spacelike Biharmonic Curves of AW（k）type in the Lorentzian Heisenberg Group Heis3[J]. Journal of Vectorial Relativity，2010（04）：1-7.

[5]Külahci M，Ergüt M.Bertrand Curves of AW（k）type in Lorentzian Space[J]. Nonlinear Anal，2009（70）：1725-1731.

[6]Külahci M，Bekta M，Ergüt M.On harmonic curvatures of null curves of AW（k）-type in Lorentzian space[J]. Zeitschrift für Naturforschung，2008（63）：248-252.

[7]O Ztekin H. Null Bertrand Curves of the AW（k）-type in Minkowski 3-Space[J].e-Journal of New World Sciences Academy NWSA-Physical Sciences，2012（03）：87-92.

[8]Sun J， Pei D. Null Cartan Bertrand curves of AW（k）-type in Minkowski 4-space[J]. Physics Letters， 2012（376）：2230-2233.

[9]I Kamenarovic′. Existence theorems for ruled surfaces in the Galilean space tt3[J]. Rad HAZU Math，1991（456）：183-196.

[10]Z M Sipus. Ruled Weingarten surfaces in the Galilean space[J]. Period Math Hung，2008（56）：213-225.

[11]A Ogrenmis，M Ergut，M Bektas.On the helices in the Galilean space G3[J]. Iran J Sci Tech，2007（31）：177-181.

[12]Salkowski. E Zur Transformation von Raumkurven[J].Mathematische Annalen，1909（04）：517-557.

[13]F Kaymaz， F K Aksoyak.Some special curves and Manheim curves in three dimensional Euclidean space[J]. Mathematical Sciences and applications ENotes，2017（01）：34-39.

[14]J Monterde. Salkowski curves revisited： A family of curves with constant curvature and nonconstant torsion[J]. Computer Aided Geometric Design，2009（03）：271-278.