一類收斂的帶無限次疊套的數(shù)學(xué)式子及其探討

陳宏健

【摘要】本文探討一類帶有無限次疊套運(yùn)算的算式，類似于yn=n1+n1+n1+n1+…（n=2，3，4……） 的帶有無限次疊套運(yùn)算的算式，驗(yàn)證其收斂性，并在收斂的條件下轉(zhuǎn)化為有限次疊套數(shù)列yn1=1，yn2=n1+n1，yn3=n1+n1+n1，…，ynk=n1+n1+n1+…+n1的極限，通過分析簡單情形，歸納推導(dǎo)出一般情形，并且尋找解法，嘗試將解決方法推廣到其他無限次疊套運(yùn)算中.

【關(guān)鍵詞】無限次疊套;有限次疊套;收斂;有界單調(diào)遞增數(shù)列

一、引言

數(shù)的疊套運(yùn)算常見于實(shí)數(shù)的無限次重復(fù)運(yùn)算中，其特征為每一步的運(yùn)算又疊套在下一步的運(yùn)算當(dāng)中，層層疊套，直至無窮.例如初等數(shù)學(xué)中的無限連分?jǐn)?shù)，高等數(shù)學(xué)中有關(guān)特定函數(shù)與極限、級(jí)數(shù)的問題，以及幾何圖形中的分形圖，其中都有與無限次疊套運(yùn)算相關(guān)的例子.

二、概念與記號(hào)

定義1帶有無限次疊套運(yùn)算的算式（n=2，3，4，……）

yn=n1+n1+n1+n1+…，

則有y2=1+1+1+…，

y3=31+31+31+…，

y4=41+41+41+41+…，

…，

yn=n1+n1+n1+n1+….

定義2假設(shè)k為有限次疊套次數(shù)，

則ynk=n1+n1+n1+…+n1k個(gè) 可?。?/p>

yn1=1，

yn2=n1+n1，

yn3=n1+n1+n1，

以此類推得出k次疊套數(shù)列：

ynk=n1+n1+n1+…+n1k個(gè).

定義3當(dāng)有限次疊套式y(tǒng)nk的極限存在時(shí)，無限次疊套式y(tǒng)n為有限次疊套式y(tǒng)nk的極限.

即當(dāng)ynk的極限存在時(shí)ynk→yn（n→+∞）.

反之，當(dāng)有限次疊套式y(tǒng)nk的極限不存在時(shí)，無限次疊套式y(tǒng)n發(fā)散.

定理1 當(dāng)k→+∞時(shí)，有限次疊套數(shù)列

ynk=n1+n1+n1+…+n1k個(gè) 的極限存在.

這個(gè)證明分兩部分：

（1）當(dāng)k增加時(shí)，ynk為單調(diào)遞增數(shù)列

（2）ynk為有界數(shù)列? （k=1，2，3……）.

證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，n1<n1+n1，

即yn1<yn2.

假設(shè)n=k時(shí)，ynk<ynk+1，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，n1+ynk<n1+ynk+1，

n1+n1+n1+…+n1k+1個(gè)<n1+n1+n1+…+n1k+2個(gè)

則? ynk+1<ynk+2.

由數(shù)學(xué)歸納法得ynk為單調(diào)遞增數(shù)列，

即yn1<yn2<yn3<…<ynk（n=2，3，4……）.

（2）依據(jù)開方運(yùn)算性質(zhì)易知

nx<n-1x<…<x（x>0）.

則對(duì)任意的t（t=2，3，4，…，n-1），有

t+11+t+11+t+11+…+t+11k個(gè)<t1+t1+t1+…+t1k個(gè)，

即y（t+1）k<ytk，

1<ynk<y（n-1）k<y（n-2）k<…<y3k<y2k.

由于1+1<3，

1+1+1<1+3<3，

1+1+1+1<1+3<3，

以此類推，

有y2k=1+1+…+1< 1+3<3，

則1<ynk<3（n=2，3，4……）.

即 y2k，y3k，…，ynk當(dāng)中的每個(gè)數(shù)列均為有界單調(diào)遞增數(shù)列.

根據(jù)有界單調(diào)遞增數(shù)列極限存在定理有

limk→∞=yn.

定理2當(dāng)n→+∞時(shí)有限次疊套式y(tǒng)nk的極限為1.

證明1<yk<3（n=2，3，4……），

ynk=n1+yn（k-1），

則1<n1+yn（k-1）<n4，

1<ynk<n4，

limn→+∞n4=1，

由夾值法有l(wèi)imn→+∞ynk=1（k=1，2，3……）.

三、有限次疊套式y(tǒng)nk的簡單情形

當(dāng)n=2時(shí)，y2=1+1+1+…，

y2k有極限，

則 y2=1+y2，

y22=y2+1，

則 y22-y2-1=0（y2>0），

解得y2=1+52≈1.618.

疊套次數(shù)y21y22y23y24y25…極限值y2y2k大約值11.4141.5521.5981.612…1.618y2k為有界遞增數(shù)列，y2k有極限，

即當(dāng)k→+∞時(shí)，y2k→y2.

當(dāng)n=3時(shí)，

y3=31+31+31+…，

y3=31+y3，

則y33=y3+1，

即 y33-y3-1=0.

根據(jù)三次方程求根公式，有

y3=3-q2+q22+p33+

3-q2-q22+p33

=312+23108+312-23108

≈1.3247.

疊套次數(shù)y31y32y33y34y35…極限值y3y3大約值11.2601.3121.3221.324…1.3247則有 y3k為有界遞增數(shù)列，y3k有極限.

即當(dāng)k→+∞時(shí)，

y3k→y3.

當(dāng)n=4時(shí)，

y4=41+41+41+…，

y44=1+y4，

以此類推，

當(dāng)k→+∞時(shí)，y4k→y4 .

代入Matlab求解y4≈1.2207.

四、一般情形的推廣

yn=n1+n1+n1+n1+…，

yn=n1+yn，ynk極限存在，

則ynn-yn-1=0.

代入Matlab求解如下：

clc，clear

fid=fopen（'d：＼＼char1.txt'，'at+'）;

for n=2：40

p=[1，zeros（1，n-2），-1，-1];

gen=roots（p）;

fprintf（fid，'%g＼＼n'，gen）;

end

fclose（fid）;

ynkyn1yn2yn3yn4yn5…極限值 yny2k11.41421.55381.59811.6119…約1.6180y3k11.25991.31231.32241.3243…約1.3247y4k11.18921.21641.22011.2207…約1.2207y5k11.14871.16531.16711.1673…約1.1673y6k11.12251.13361.13461.1347…約1.1347…y（10）k11.07181.07561.07581.0758…約1.0758…y（20）k11.03531.03621.03621.0362…約1.0362…y（40）k11.01751.01771.01771.0177…約1.0177…極限值ynk11111…1定理3：當(dāng)n→+∞時(shí)，無限次疊套算式

yn=n1+n1+n1+n1+…的極限為1，

即limn→+∞yn=1.

證明 （1）ynk=n1+n1+n1+…+n1的極限存在，

當(dāng)k=1時(shí)，由于n1<n1+n1，

即yn1<yn2，

假設(shè)n=k時(shí)，ynk<yn（k+1），

則當(dāng)n=k+1時(shí)，由于ynk<yn（k+1），

0<1+ynk<1+yn（k+1），

n1+ynk<n1+yn（k+1），

yn（k+1）<yn（k+2），

由數(shù)學(xué)歸納法得ynk<yn（k+1）（k=1，2，3……），

則ynk（k=1，2，3……）為單調(diào)遞增數(shù)列.

（2） 假設(shè) limn→∞yn=a，

limn→∞yn=limn→∞n1+limn→∞yn，

則a=limn→∞（1+a）1n.

因?yàn)?limn→∞1n=0，

所以a=limn→∞yn=1.

五、推廣與應(yīng)用

定理4：收斂的有限連分?jǐn)?shù)的極限為無限連分?jǐn)?shù)

[a0，a1，a2，a3，…，an]=a0+1a1+1a2+…+1an

limn→∞[a0，a1，a2，a3，…，an]=[a0，a1，a2，a3……]

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程[M].北京：人民教育出版社，1956.