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    數(shù)列的上極限和下極限

    2017-03-04 11:34:44尹海燕
    教育教學(xué)論壇 2017年8期
    關(guān)鍵詞:收斂

    尹海燕

    摘要:數(shù)列的上極限和下極限是數(shù)學(xué)分析課程中數(shù)列理論的重要概念。事實(shí)上,數(shù)列的上極限和下極限不僅在數(shù)列斂散性判別、求數(shù)列極限、級數(shù)斂散性判別等方面起著重要的作用,而且可以加深學(xué)生對實(shí)數(shù)完備基本定理的掌握和理解,為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)、集合的上極限和下極限打下基礎(chǔ)。下面將數(shù)列上極限和下極限做一簡單介紹,以饗讀者。

    關(guān)鍵詞:數(shù)列的上極限和下極限;聚點(diǎn);收斂

    中圖分類號:G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1674-9324(2017)08-0195-02

    在數(shù)學(xué)分析課程中,數(shù)列的斂散性判別非常重要,而證明數(shù)列收斂的方法也有很多方法[1],比如ε-N定義、柯西收斂準(zhǔn)則、兩個(gè)重要準(zhǔn)則、歸結(jié)原理和子列原理等。但是有時(shí)也可以用上極限和下極限來判斷。本文主要介紹數(shù)列上極限和下極限的定義,性質(zhì)以及其應(yīng)用。

    數(shù)列聚點(diǎn)的定義[2]:如果在a∈R的任何鄰域內(nèi)都有數(shù)列x的無限項(xiàng),稱a為數(shù)列x的一個(gè)聚點(diǎn)。

    例1:數(shù)列{(-1)}的聚點(diǎn)是±1;

    例2:數(shù)列{sin}的聚點(diǎn)是±1,±和0;

    例3:數(shù)列有聚點(diǎn)0;

    例4:數(shù)列,,,,,,,,,,…的聚點(diǎn)是整個(gè)閉區(qū)間[0,1];

    例5:數(shù)列1,1,2,,3,,…,n,,…的聚點(diǎn)是0。

    注:(1)收斂數(shù)列的聚點(diǎn)必唯一,為數(shù)列的極限(證明見定理2),如例3。反之不真,如例5。一般情況下,數(shù)列的聚點(diǎn)是不唯一的,如例1、例2、例4。(2)數(shù)列的聚點(diǎn)和數(shù)集的聚點(diǎn)是有區(qū)別的。數(shù){sin|n∈Ν}的聚點(diǎn)是空集;數(shù)集{(-1)|n∈Ν}的聚點(diǎn)為±1。

    容易證明:

    聚點(diǎn)的等價(jià)定義[3]: 若數(shù)列x的子列x有極限a,則稱a為數(shù)列x的一個(gè)聚點(diǎn)。

    聚點(diǎn)的存在性定理[2]:有界數(shù)列x至少有一個(gè)聚點(diǎn),且存在最大聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn)。

    下面是數(shù)列上、下極限的定義:

    上極限和下極限的定義[2]:有界數(shù)列x的最大聚點(diǎn)a與最小聚點(diǎn)a稱為數(shù)列x的上極限和下極限,記作a=xa=x.

    上極限和下極限的等價(jià)定義1[2]: 若x為有界數(shù)列,則?坌ε>0,(1)若存在N∈Ν,使得當(dāng)n>N時(shí),有

    xa-ε,k=1,2,3,…則稱a為數(shù)列x的上極限。

    若x為有界數(shù)列,則?坌ε>0,(1)若存在N∈Ν,使得當(dāng)n>N時(shí),有x>a-ε;(2)存在子列x,x

    上極限和下極限的等價(jià)定義2[2,4]:若x為有界數(shù)列,則x={x},x={x}.

    定理1[2]:對任何有界數(shù)列x,有x≤x,x=-(-x).

    注:容易證明x≤x≤x≤x,其中x為有界數(shù)列x的一個(gè)子列。

    定理2[2]:若x為有界數(shù)列,則數(shù)列x=a的充要條件是x=x=a.

    證明:(必要性)?坌ε>0,?堝N∈Ν,當(dāng)n>N時(shí),

    |x-a|<ε.由聚點(diǎn)的定義,a是數(shù)列x的一個(gè)聚點(diǎn)。若b是數(shù)列x另外一個(gè)聚點(diǎn),不妨a0,存在N∈Ν,當(dāng)n>N時(shí),x<,從而集合{x|x>}只有數(shù)列的有限項(xiàng),這與b是數(shù)列x的聚點(diǎn)矛盾。從而數(shù)列x只有唯一的聚點(diǎn),(充分性)由等價(jià)定義1,由a是數(shù)列x的上極限,?坌ε>0,?堝N∈Ν,當(dāng)n>N時(shí),

    x

    ?堝N∈Ν,當(dāng)n>N,x>a-ε.取N=max{N,N},當(dāng)n>N時(shí),|x-a|<ε.從而a是x的極限。得證。

    注:必要性也可以使用子列原理證明, 過程更簡單。另外此定理也可以用來證明數(shù)列極限的存在性。

    定理3[2](上、下極限的保不等式性):若a,b為有界數(shù)列,滿足:存在N∈Ν,當(dāng)n>N時(shí),a≤b,則a≤b,a≤b.

    證明:假設(shè)a=a,b=b,由等價(jià)定義2,?坌ε>0,存在N∈Ν,當(dāng)n>N時(shí),a>a-ε;對于上述ε,存在子列b,對于k∈Ν,b

    K=max{N,N}∈Ν,當(dāng)k>K時(shí),a-ε

    定理4[2,3]:上、下極限的四則運(yùn)算。

    a+b≤(a+b)≤a+b,

    a+b≤(a+b)≤a+b.

    當(dāng)a≥0,b≥0,則

    a·b≤(ab)≤a·b,

    a·b≤(ab)≤a·b.

    當(dāng)a>0,a>0,則a=.

    參考文獻(xiàn):

    [1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題和方法[M].北京:高等教育出版社,2006.

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

    [3]費(fèi)定暉,周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社,2008.

    [4]杜廣麟.關(guān)于數(shù)列的上下極限的幾個(gè)等價(jià)定義[J].安徽師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1981.

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