Hurwitz zeta函數(shù)與Kloosterman和及廣義Cochrane和的混合均值

張 露，韓 迪

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

對(duì)任意實(shí)數(shù)α(0<α≤1),和復(fù)數(shù)s=σ+it,當(dāng)Res>1時(shí),Hurwitz zeta函數(shù)ζ(s,α)定義為

(1)

對(duì)給定的α,除s=1這一極點(diǎn)外,此函數(shù)是可以解析開(kāi)拓到全平面的。

2000年，Todd Cochrane介紹了Cochrane和,一個(gè)類似Dedekind和的和式,其定義如下:

(2)

Dedekind和定義如下:

(3)

2001年,文獻(xiàn)[8]研究了C(h,q)以及Kloosterman和

(4)

之間的關(guān)系并得到漸近公式：若q是square-full數(shù),則

(5)

其中,e(y)=e2πiy,φ(q)是Euler函數(shù)。

2005年,文獻(xiàn)[9]定義了廣義Cochrane和，

(6)

其中，

Bn(x)是Bernoulli多項(xiàng)式。并計(jì)算了C(h,m,n;q)和K(h,1;q)的混合均值：設(shè)q是square-full數(shù),對(duì)任意奇數(shù)m和n,

(7)

2007年,文獻(xiàn)[10]得到了漸近公式為:對(duì)任意正整數(shù)q，有

(8)

本文研究的混合均值的漸近公式為

其中，C(ab,m,n;q)是廣義Cochrane和。

該問(wèn)題可根據(jù)文獻(xiàn)[10]的研究成果得出更廣泛的結(jié)論。利用高斯和的性質(zhì)以及特征和的估計(jì)，將證明以下結(jié)論。

定理1對(duì)任意正整數(shù)q及奇數(shù)m和n,有

O(q2+ε)

1 引理

引理1設(shè)整數(shù)q≥3且(a,q)=1,對(duì)任意奇數(shù)m和n,有

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]引理1。

引理2設(shè)q和r是2個(gè)滿足q≥2和(r,q)=1的整數(shù)，有

以及

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[8]引理3。

1)若(n,q)>1,則

G(χ,n)=

2)若(n,q)=1,則

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]引理3。

引理4令q=uv,其中(u,v)=1,u是square-full數(shù)或者u=1,v是square-free數(shù)。于是有

證明定義δ=ud,γ1=d1g1,γ2=d2g2,因此

(9)

由阿貝爾恒等式可得

(10)

因此

(11)

于是，式(11)可拆分為8個(gè)部分,下面將逐一進(jìn)行計(jì)算。

首先計(jì)算第1部分。對(duì)于(a,q)=1，由引理2有

(12)

可得

(13)

當(dāng)d1=g1=d2=g2=l=p=k=1,即γ1γ2lpk=d1g1d2g2lpk=1時(shí),得到該條件下式(13)的計(jì)算結(jié)果,并對(duì)其余情形進(jìn)行估計(jì)。因此,可以得到

(14)

式(14)是基于u是square-full數(shù),v是square-free數(shù),并且若u是square-full數(shù), 有恒等式J(u)=φ2(u)/u。

接下來(lái)估計(jì)第2部分。對(duì)任意非主要Dirichlet特征χ1模q和任意z>M,根據(jù)它的周期性

(15)

其中，{x}表示x的小數(shù)部分。由此可得

(16)

利用與式(16)相同的方法,還可以得到其余6個(gè)部分的估計(jì),即

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

令M=q并結(jié)合式(11)至式(22),得到

(23)

引理4證畢。

2 定理1的證明

對(duì)任意復(fù)數(shù)s=σ+it且1/2≤σ<1,由文獻(xiàn)[12]可知

(24)

以及

(25)

依據(jù)引理1、式(24)和式(25),可得

(26)

(27)

以及

(28)

因此,由引理3和引理4,并結(jié)合式(26)至式(28),有

(29)

證畢。