有限域上高斯和與一類方程的解數(shù)

肖義麗,徐碧云,曹 煒

(寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 浙江 寧波 315211)

(1)

(2)

(3)

定理1設(shè)g(x1,…,xn)表示式(3)中的多項式, 且滿足gcd(n-1,q-1)=1, 則

1)當(dāng)p≡3(mod 4)且h為偶數(shù)或p≡1(mod 4)時, 有

2)當(dāng)p≡3(mod 4)且h為奇數(shù)時, 有

推論1設(shè)g(x1,…,xn)表示式(3)中的多項式, 當(dāng)n=2時, 則有

1 預(yù)備知識

特征的正交性質(zhì)

引理1[18]對于q=ph, 有

f(x1,…,xn)=a1x1d11…xndn1+…+

(4)

引理2[9]設(shè)n元多項式f如式(4)所示, 則有

(5)

另外，還要用到以下兩個組合恒等式(證明略)。

引理3設(shè)n≥2為整數(shù), 則有

(6)

2 定理1的證明

證明設(shè)g(x1,…,xn)表示式(3)中的多項式, 且有g(shù)cd(n-1,q-1)=1。易見，g(x1,…,xn)的增廣次數(shù)矩陣為(n+1)×(n+1)階方陣, 即

對g(x1,…,xn)應(yīng)用引理2。由m=n+1及a1=…=an=1,an+1=-1, 易得

(8)

(9)

1)當(dāng)p≡3(mod 4)且h為偶數(shù)，或p≡1(mod 4)時, 由引理1知η(-1)=1,(G2)2j=qj, 故由式(6)與式(9)可得

2)當(dāng)p≡3(mod 4)且h為奇數(shù)時, 由引理1知η(-1)=-1,(G2)2j=(-q)j, 故由式(7)與式(9)可得

證畢。