基于問題解決理論的“數(shù)學(xué)分析”概念教學(xué)模式探究
——以“曲率”概念教學(xué)為例

李榮玲

（滇西科技師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，云南 臨滄 677000）

1 引言

人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過程就是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程[1]?！秶抑虚L期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020 年）》中明確指出，高等教育要“著力培養(yǎng)信念執(zhí)著、品德優(yōu)良、知識(shí)豐富、本領(lǐng)過硬的高素質(zhì)專門人才和拔尖創(chuàng)新人才”，其核心就是要培養(yǎng)具有用馬克思主義思想、觀點(diǎn)和方法發(fā)現(xiàn)并解決問題的高素質(zhì)研究型創(chuàng)新人才?！皵?shù)學(xué)分析”是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課之一，由于其概念性強(qiáng)、內(nèi)容高度抽象以及邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力方面始終起到不可替代的作用。為此，國內(nèi)不少專家學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)分析課程改革進(jìn)行了積極探索，但從現(xiàn)有的研究成果上看，研究者關(guān)注的重點(diǎn)多放在教學(xué)的內(nèi)容上，而對(duì)教法的研究相對(duì)較少。教學(xué)實(shí)踐中，教師重視了授“魚”，忽略了授“漁”，包辦了提出問題、分析問題、解決問題全過程。教師把教學(xué)重點(diǎn)放在講授“是什么”上，而忽略了“哪里來”“怎么辦”“為什么”“ 是什么會(huì)引起什么” 以及“ 不是什么會(huì)是什么” 等問題，教師代替了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過程，代替了對(duì)問題的提出和問題解決過程的思維體驗(yàn)。也就無可避免地出現(xiàn)學(xué)生學(xué)完“數(shù)學(xué)分析”課程，還認(rèn)為0.9˙≈1 的情況了[2]。凡此種種，對(duì)于我們培養(yǎng)“具有用馬克思主義思想、觀點(diǎn)和方法發(fā)現(xiàn)并解決問題的高素質(zhì)研究型創(chuàng)新人才”極為不利，也不得不說是“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)的一大“憾事”。因此，以問題解決教學(xué)理論指導(dǎo)“數(shù)學(xué)分析”概念教學(xué)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維，進(jìn)而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力具有重要而深遠(yuǎn)的意義。

2 問題解決教學(xué)一般理論

國外對(duì)問題解決理論研究最早開始于20 世紀(jì)初期，20 世紀(jì)80 年代開始，隨著國內(nèi)教育教學(xué)改革不斷深入，國內(nèi)專家學(xué)者對(duì)問題解決教學(xué)理論開始廣泛研究，并取得較為豐碩的成果。所謂問題，指的是個(gè)體想做某件事情，但不能馬上知道對(duì)這件事所采取的一系列行動(dòng)的一種情景（Newell, A. and Simon）。所謂問題解決，指的是由一定情境引起的，按照一定的目標(biāo)，應(yīng)用一系列認(rèn)知活動(dòng)和技能等，經(jīng)過一系列思維操作，使問題得以解決的過程[3]。所謂問題解決教學(xué)，指的是教師有效指導(dǎo)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題，幫助學(xué)生主動(dòng)地獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問題的一種教學(xué)方式，其核心是學(xué)生個(gè)體主動(dòng)建構(gòu)、進(jìn)而進(jìn)行有意義學(xué)習(xí)。從學(xué)生問題解決學(xué)習(xí)方式的角度，問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)的類型主要有知識(shí)接受型設(shè)計(jì)、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型設(shè)計(jì)以及課題研究型設(shè)計(jì)三種[4], 三種教學(xué)設(shè)計(jì)無好壞優(yōu)劣之分，而是依據(jù)不同教學(xué)內(nèi)容所選擇的不同的設(shè)計(jì)模式，其核心是使學(xué)生完整體驗(yàn)提出問題、分析問題、解決問題、產(chǎn)生遷移的思維過程，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力的目的。

3 數(shù)學(xué)分析中概念的問題解決教學(xué)模式——以“曲率”概念教學(xué)為例

根據(jù)問題解決理論，“數(shù)學(xué)分析”中概念的問題解決教學(xué)模式可歸結(jié)為五個(gè)步驟：（1）創(chuàng)設(shè)實(shí)踐情境、提出問題；（2）激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)、分析差距；（3）探索問題障礙、尋找突破；（4）驗(yàn)證解決方案、得出定義；（5）強(qiáng)化過程反思、形成圖式?，F(xiàn)以“曲率”概念教學(xué)為例，借以闡釋此教學(xué)模式。

3.1 創(chuàng)設(shè)實(shí)踐情境、提出問題

“曲率”概念的核心就是用于闡釋曲線的彎曲程度。教師通過學(xué)生常見的“彎曲”曲線（見圖1），誘導(dǎo)學(xué)生提出問題。即，如何比較圖1 中點(diǎn)A、B、C 三點(diǎn)的彎曲程度，進(jìn)一步思考并提出“如何定量描述‘彎曲程度’”的問題。

圖 1 彎曲公路圖

3.2 激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)、分析差距

教師給出一條光滑的曲線弧段，先確定兩點(diǎn)M1，M2過兩點(diǎn)分別作切線，此時(shí)，兩條切線之間有一個(gè)夾角，記作Δα1，再取定第三點(diǎn)M3，做切線，與第二條切線又構(gòu)成另一個(gè)夾角Δα2（如圖2）。

圖 2 “弧段彎曲程度越大，轉(zhuǎn)角越大”示意圖

圖 3 “轉(zhuǎn)角相同，弧段越短彎曲程度越大”示意圖

此時(shí)，教師可通過組織學(xué)生開展小組合作學(xué)習(xí)，通過充分激活學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，探究規(guī)律。通過觀察，使學(xué)生分析歸納出第一個(gè)結(jié)論：弧段彎曲程度越大，轉(zhuǎn)角越大。同理，再給出兩條光滑的曲線弧段，這兩條曲線段，有兩條共同的切線，即有相同的轉(zhuǎn)角，但是弧長明顯不同（如圖3）。學(xué)生通過不斷觀察并總結(jié)出規(guī)律。即，弧長越長彎曲程度越小，弧長越短，轉(zhuǎn)角越大。進(jìn)而得出第二個(gè)結(jié)論：轉(zhuǎn)角相同，弧段越短彎曲程度越大。

3.3 探索問題障礙、尋找突破

有了上述兩個(gè)基本結(jié)論作為基礎(chǔ)，學(xué)生可逐步認(rèn)識(shí)到，曲線的彎曲程度是由轉(zhuǎn)角來刻畫的，而造成轉(zhuǎn)角的變化就是基于弧長的變化。因此，考察曲線的彎曲程度就是考察以弧長為變量的轉(zhuǎn)角函數(shù)，即y = α (s)。與此同時(shí)，教師要適時(shí)提出“距離上的彎曲程度”和“點(diǎn)上的彎曲程度”兩個(gè)概念，使學(xué)生在頭腦中逐步建立起曲率概念的本質(zhì)的概念意向——“點(diǎn)上的彎曲程度”——函數(shù)在局部性態(tài)。教學(xué)中，適時(shí)激活學(xué)生 “微分思想”認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而提出解決問題的基本思路：“作自變量的改變量，考察因變量改變量與自變量改變量之比的極限”。

3.4 驗(yàn)證假設(shè)、得出結(jié)論。

設(shè)曲線C 是光滑的，|MM′|=|Δs|，M→M′ 切線轉(zhuǎn)角為|Δα|，（如圖4）

圖 4 點(diǎn)M曲率推導(dǎo)示意圖

圖 5 拋物線各點(diǎn)曲率直觀圖

3.5 強(qiáng)化過程反思、形成圖式

基于問題解決理論開展教學(xué)，強(qiáng)化過程反思是關(guān)鍵環(huán)節(jié)。要通過曲率概念知識(shí)產(chǎn)生過程“現(xiàn)實(shí)問題”——“數(shù)學(xué)化”——“嚴(yán)密數(shù)學(xué)推理”——“得出結(jié)論”的過程反思，并通過應(yīng)用舉例，把“曲率”納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，最終形成圖式。

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)分析中的概念大致可以分為兩類，一類為直接源于生活實(shí)踐的概念，如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、曲率等；另一類為數(shù)學(xué)概念再抽象概念，如一致連續(xù)、一致收斂、廣義積分、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等。但無論是哪一種概念，都具有很強(qiáng)的“ 實(shí)踐性” 特征[5]，都可以通過用問題解決教學(xué)理論來指導(dǎo)教學(xué)，達(dá)到即掌握概念本身、又提高問題解決能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生用實(shí)踐的觀點(diǎn)、生活的觀點(diǎn)等馬克思主義認(rèn)識(shí)論解決現(xiàn)實(shí)問題的思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用馬克思主義思想、觀點(diǎn)和方法解決問題的能力。