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    數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)驗(yàn)遷移途徑

    2021-01-13 12:18:47謝衛(wèi)煌
    考試周刊 2021年97期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)情境

    摘 要:數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中的問(wèn)題解決都是經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的具體反映。這類知識(shí)通常需要在教師的教學(xué)引導(dǎo)下不斷充實(shí)、完善并在新情境中產(chǎn)生遷移效果。在教學(xué)過(guò)程中,要重視學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的意義,特別要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)、建模、關(guān)系等方面的理解,實(shí)現(xiàn)并促成經(jīng)驗(yàn)遷移。

    關(guān)鍵詞:經(jīng)驗(yàn)建構(gòu);數(shù)學(xué)情境;遷移途徑

    杜威認(rèn)為:教育是一個(gè)從已知經(jīng)驗(yàn)到未知經(jīng)驗(yàn)的連續(xù),經(jīng)驗(yàn)不斷增加的過(guò)程。有了生長(zhǎng)的積累,經(jīng)驗(yàn)才具有生命力。教育過(guò)程是“一個(gè)不斷改組、不斷改造和不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程”,即“教育是經(jīng)驗(yàn)的繼續(xù)不斷的改組和改造,既增加經(jīng)驗(yàn)的意義,又能提高指導(dǎo)后來(lái)經(jīng)驗(yàn)遷移的能力”。而經(jīng)驗(yàn)的改組與改造,其最好的實(shí)現(xiàn)形式就是遷移。

    學(xué)習(xí)的成果是一種經(jīng)驗(yàn)的遷移;正如,加涅所說(shuō):學(xué)習(xí)的遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響,或習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)其他活動(dòng)的影響,也就是已有經(jīng)驗(yàn)的具體化與新知識(shí)的類化過(guò)程或新、舊經(jīng)驗(yàn)的協(xié)調(diào)過(guò)程。經(jīng)驗(yàn)的協(xié)調(diào)和同化就形成了學(xué)習(xí)的遷移效果。實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、解題方法和思維方式等經(jīng)驗(yàn)有效遷移,在教學(xué)中應(yīng)處理好“四個(gè)理解”。

    一、 數(shù)學(xué)定義的理解是經(jīng)驗(yàn)遷移的基礎(chǔ)

    定義是數(shù)學(xué)之根。掌握好定義及其內(nèi)涵是經(jīng)驗(yàn)遷移的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題就能學(xué)懂弄通。教師應(yīng)該幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地、自然地、合理地理解定義。

    教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到這類問(wèn)題:學(xué)生雖然已經(jīng)聽(tīng)懂一個(gè)問(wèn)題,但對(duì)類似的問(wèn)題不能自主解決。究其原因,主要不外乎兩點(diǎn):一是學(xué)生沒(méi)有真正地認(rèn)識(shí)和把握問(wèn)題的本質(zhì),只是停留在能夠接受和表面理解的水平上;二是學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決方法的自然性、合理性,尤其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的定義缺乏足夠的感受和認(rèn)知,導(dǎo)致所學(xué)的知識(shí)不僅難以遷移,并且容易遺忘,所以,教師在教學(xué)中,要將問(wèn)題的信息盡可能轉(zhuǎn)譯到數(shù)學(xué)的“定義”上去。

    例1 設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(? )

    A. y=-2x

    B. y=-x

    C. y=2x

    D. y=x

    解析:本例雖然綜合考查了函數(shù)奇偶性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、切線方程等知識(shí)點(diǎn)或基本技能,但最關(guān)鍵的是對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)定義的理解。其數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)主要來(lái)自冪函數(shù)類奇偶性的判斷和過(guò)曲線上點(diǎn)的切線方程表示方法。既體現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)的復(fù)制性,又體現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)的演繹性,最根本的解題經(jīng)驗(yàn)就是對(duì)函數(shù)定義的理解。雖然是一個(gè)綜合問(wèn)題,但是只要理解好數(shù)學(xué)定義,抓住數(shù)學(xué)定義這個(gè)根本,經(jīng)驗(yàn)遷移就在這個(gè)有多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合的情境下獲得實(shí)現(xiàn)。于是第一個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”就是求得a=1(演繹性),第二個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”就是求出切線的斜率是k=f′(0)=1(演繹性),第三個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”就是求出切線方程y=x(復(fù)制性),其實(shí)復(fù)制性經(jīng)驗(yàn)是可以省略的。

    例2 已知雙曲線x29-y216=1的右焦點(diǎn)F和定點(diǎn)A(9,2),試在這個(gè)雙曲線上求一點(diǎn)M,使得|MA|+35|MF|的值最小,那么這個(gè)最小值是??? ;此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為??? 。

    解析:在已有的知識(shí)系統(tǒng)中容易知道,點(diǎn)F(5,0)是雙曲線右焦點(diǎn),這是對(duì)雙曲線定義的最基本考查;但35|MF|的理解不在經(jīng)驗(yàn)之內(nèi),可以引導(dǎo)學(xué)生作圖轉(zhuǎn)化。設(shè)點(diǎn)M(x,y)到對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為d,則有|MF|=ed(e為曲線的離心率),這是對(duì)雙曲線定義的進(jìn)一步考查。在本題中,雖然題設(shè)條件與結(jié)論沒(méi)有直接的聯(lián)系,但是,由于對(duì)雙曲線定義的理解,迅速找到d=35|MF|的幾何意義,這是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的復(fù)制,也是已有知識(shí)基礎(chǔ)對(duì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改造與重組形成的遷移。通過(guò)對(duì)雙曲線定義的理解,迅速明確了|MF|+35|MF|的數(shù)學(xué)意義,給思維的靈感創(chuàng)造了契機(jī),體現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)的再生性,達(dá)成了經(jīng)驗(yàn)的順應(yīng)與預(yù)見(jiàn),真正體現(xiàn)了新舊知識(shí)的類化與協(xié)調(diào)過(guò)程,實(shí)現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)遷移。這個(gè)問(wèn)題的解決,也驗(yàn)證了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是通過(guò)數(shù)學(xué)適當(dāng)情境的實(shí)踐所積累的“知識(shí)”,是實(shí)踐活動(dòng)的具體產(chǎn)物,同時(shí)需要在新情境中產(chǎn)生遷移效果。

    二、 數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解是經(jīng)驗(yàn)遷移的前提

    性質(zhì)是數(shù)學(xué)之魂。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決,定義是根本,但只是孤立地理解了定義,并不是問(wèn)題解決的全部。由于數(shù)學(xué)性質(zhì)是建立在數(shù)學(xué)定義的基礎(chǔ)之上的,能不能把每一個(gè)數(shù)學(xué)定義弄清楚,并由此深刻領(lǐng)會(huì)每一個(gè)數(shù)學(xué)概念所蘊(yùn)含的性質(zhì),這是問(wèn)題解決的前提,也是實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)遷移的前提。

    例3 設(shè)點(diǎn)P在曲線y=12ex上,

    點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則|PQ|最小值為(? )

    A. 1-ln2

    B. 2(1-ln2)

    C. 1+ln2

    D. 2(1+ln2)

    解析:經(jīng)驗(yàn)遷移的主要目標(biāo)是讓學(xué)生能夠?qū)⑺麄兊囊延兄R(shí)遷移到恰當(dāng)?shù)那榫持?,這種能力要求學(xué)生能夠辨認(rèn)出新情境中與他們以前所學(xué)情境的關(guān)鍵特征相似的主要特征,從而實(shí)現(xiàn)一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響。本例乍看并不容易,一個(gè)是指數(shù)函數(shù),一個(gè)是對(duì)數(shù)函數(shù),要求兩個(gè)函數(shù)圖像上兩點(diǎn)之間最短距離,用什么方法?有什么思路?相似特征在哪里?其實(shí),難點(diǎn)在于已知條件,突破的信息同樣蘊(yùn)含在題干之中,那就是兩個(gè)函數(shù)分別是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),從而聯(lián)想到反函數(shù)重要的一個(gè)性質(zhì):圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,把兩個(gè)不同函數(shù)圖像上兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=12ex圖像上點(diǎn)到直線y=x的距離問(wèn)題,根本不需應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)解析式。由此可見(jiàn),把握反函數(shù)性質(zhì),已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)從“性質(zhì)”角度通過(guò)“反函數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)情境的實(shí)踐積累,在新情境中產(chǎn)生了遷移效果。其中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)歷了一個(gè)“選擇”的過(guò)程,依靠對(duì)過(guò)去已有經(jīng)驗(yàn)的加工和改造,“同化”了特殊情境下呈現(xiàn)的信息,體現(xiàn)了思維的再生性,形成更加完善的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu),既神奇而又充滿科學(xué)。所以,對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解是實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)遷移的前提,這也是經(jīng)驗(yàn)遷移的一條準(zhǔn)則。

    三、 數(shù)學(xué)建模的理解是經(jīng)驗(yàn)遷移的橋梁

    建模是數(shù)學(xué)之本。建模本身就是在已有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上,一種舊知識(shí)情境到新知識(shí)情境的一種遷移。新課標(biāo)提出:在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)建模思想滲透,要讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程”,讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情景——建立數(shù)學(xué)模型——求解——解釋與應(yīng)用”的基本過(guò)程,發(fā)展合情遷移與演繹推理能力。教學(xué)時(shí)要有利于具體的情境問(wèn)題向抽象的數(shù)學(xué)情境過(guò)渡,或者講,一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題最好有一個(gè)具體的現(xiàn)實(shí)模型來(lái)解釋,讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)化”過(guò)程抽象的冰冷的美麗,要讓學(xué)生經(jīng)歷已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)過(guò)程。

    例4 一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后,所剩幾何體的三視圖如圖3所示,則該幾何體的體積為(? )

    A. 24

    B. 48

    C. 72

    D. 9 6

    解析:求該幾何體的體積,首先要弄清該三視圖代表的幾何體的模型,需要還原幾何體,結(jié)合三視圖,先畫一個(gè)長(zhǎng)為6,寬為4,高為4的長(zhǎng)方體,如圖4所示,在該長(zhǎng)方體中可以較快得到多面體

    ABCDEFG,從而迅速求得該幾何體的體積為48。

    為什么會(huì)想到建立“長(zhǎng)方體”這個(gè)數(shù)學(xué)模型呢?首先,已有的經(jīng)驗(yàn)體系有:特殊的柱體、錐體以及球體的表面積和體積公式;三視圖問(wèn)題要還原幾何體;三棱錐的外接球問(wèn)題可以借助用四棱柱去解決等等。其次,復(fù)雜幾何體的幾何問(wèn)題通常借助特殊幾何體解決。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中,處處都體現(xiàn)著建模的關(guān)系,對(duì)于具體問(wèn)題,還原到特定的情境,是數(shù)學(xué)建模的必由之路。

    本題的解決,原有認(rèn)知已經(jīng)不能接受新信息,這時(shí)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改造,幾何體還原,把問(wèn)題遷移到“長(zhǎng)方體”模型中,實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)的類化與協(xié)調(diào),其數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)了一個(gè)“順應(yīng)、同化、預(yù)見(jiàn)”的過(guò)程。與上述問(wèn)題相似,還有許多這樣的多面體外接球問(wèn)題,如果還關(guān)聯(lián)到對(duì)三視圖還原,本身比較復(fù)雜,也許有些學(xué)生甚至就放棄了。不過(guò),如果學(xué)生有一種強(qiáng)烈的建模思想,加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解,把多面體遷移到長(zhǎng)方體中,把多面體的外接球問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題,這樣,就能讓已有實(shí)踐所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)遷移到新的情境中,問(wèn)題迅速得到解決,同時(shí)讓學(xué)生陡添解決這種問(wèn)題的信心。這種遷移,溝通起經(jīng)驗(yàn)遷移的橋梁,思維敏捷,真正達(dá)到“山重水復(fù)疑無(wú)路,柳暗花明又一村”的美好境界。

    四、 數(shù)學(xué)關(guān)系的理解是經(jīng)驗(yàn)遷移的支點(diǎn)

    關(guān)系是數(shù)學(xué)之韻。尋找問(wèn)題解決的方法,就要尋找思路,也就是尋找題目條件與結(jié)論之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,它表現(xiàn)為溝通條件與結(jié)論的一系列演算或推理。在這其中,激活和提取不同問(wèn)題情境下的基本經(jīng)驗(yàn),至關(guān)重要!因?yàn)檫@種經(jīng)驗(yàn)影響著解題對(duì)策和方法選取,如果加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)關(guān)系的理解,在解題時(shí)就能一下子抓住關(guān)鍵,單刀直入,立即深入問(wèn)題的核心,成為解決問(wèn)題的支點(diǎn)。

    例5 若不等式x>ax+32

    的解集為x|4<x<b,則實(shí)數(shù)a,b的值分別為??? 。

    解析:本題考查不等式知識(shí),在已有經(jīng)驗(yàn)內(nèi),通常方法是求解不等式,而本題是已知其解,求參數(shù)a,b。不過(guò),解集也是以參數(shù)的形式出現(xiàn)的,存在一個(gè)逆向思維,之前沒(méi)有這種經(jīng)驗(yàn),如何利用已有的知識(shí)進(jìn)行遷移,并形成新的經(jīng)驗(yàn)?方法(1):通過(guò)分類討論,將根式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式,從而可以求得,

    a=18,b=36;

    方法(2):令y1=x,y2=ax+32,那么在條件4<x<b下,原不等式就表示:拋物線y2=x(y≥0)在直線y=ax+32上方的部分曲線所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值。

    方法①的真實(shí)背景為若已知不等式存在解集,反過(guò)來(lái)研究不等式中參數(shù)的取值。而已有的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)是:已知不等式,求解集。即便如此,只要抓住解不等式的本質(zhì),思路也是簡(jiǎn)單的,其解題經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)了一個(gè)“選擇、同化”的過(guò)程,這就是已有知識(shí)系統(tǒng)的積極意義。但由于不等式及其解集中都存在參數(shù),運(yùn)算量對(duì)學(xué)生是一個(gè)巨大的考驗(yàn);方法②是由已有的不等式都有其幾何背景的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),把解不等式的舊知識(shí)情境遷移到幾何背景之中,通過(guò)觀察曲線的位置關(guān)系,化解抽象的運(yùn)算,體現(xiàn)了一個(gè)“選擇、順應(yīng)、同化、預(yù)見(jiàn)”的經(jīng)驗(yàn)過(guò)程,方法靈活,計(jì)算簡(jiǎn)單。由此可見(jiàn),對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系的理解往往能成為經(jīng)驗(yàn)遷移的支點(diǎn)。

    學(xué)生提取信息的過(guò)程往往不是在與最初學(xué)習(xí)信息時(shí)相同的情境中進(jìn)行的。其實(shí),教師也總是希望學(xué)生能把學(xué)到的知識(shí)與技能遷移到于各種不同情境中去,這樣才能打通學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)比較好”到“學(xué)習(xí)真正好”的任督二脈。這應(yīng)該是我們教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該著重追求的教學(xué)藝術(shù)。只有這樣,數(shù)學(xué)課堂才能靈動(dòng)起來(lái),教學(xué)才有生命力,數(shù)學(xué)教學(xué)才有生命力。

    參考文獻(xiàn):

    [1]席海燕.改造經(jīng)驗(yàn)與經(jīng)驗(yàn)的改造:杜威論教育與民主的基礎(chǔ)[J].教育學(xué)報(bào),2016(5).

    [2]陳杏友佩.從加涅“信息加工”理論看數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移[J].課程教育研究,2017(24):176.

    [3]張淑英.淺談數(shù)學(xué)課堂中學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].理科教學(xué)探索,2006:10.

    [4]涂榮豹.數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2002(4).

    作者簡(jiǎn)介:謝衛(wèi)煌,廣東省廣州市,廣東省廣州市第四十一中學(xué)。

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