數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)驗(yàn)遷移途徑

摘 要：數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中的問(wèn)題解決都是經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的具體反映。這類知識(shí)通常需要在教師的教學(xué)引導(dǎo)下不斷充實(shí)、完善并在新情境中產(chǎn)生遷移效果。在教學(xué)過(guò)程中，要重視學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的意義，特別要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)、建模、關(guān)系等方面的理解，實(shí)現(xiàn)并促成經(jīng)驗(yàn)遷移。

關(guān)鍵詞：經(jīng)驗(yàn)建構(gòu);數(shù)學(xué)情境;遷移途徑

杜威認(rèn)為：教育是一個(gè)從已知經(jīng)驗(yàn)到未知經(jīng)驗(yàn)的連續(xù)，經(jīng)驗(yàn)不斷增加的過(guò)程。有了生長(zhǎng)的積累，經(jīng)驗(yàn)才具有生命力。教育過(guò)程是“一個(gè)不斷改組、不斷改造和不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程”，即“教育是經(jīng)驗(yàn)的繼續(xù)不斷的改組和改造，既增加經(jīng)驗(yàn)的意義，又能提高指導(dǎo)后來(lái)經(jīng)驗(yàn)遷移的能力”。而經(jīng)驗(yàn)的改組與改造，其最好的實(shí)現(xiàn)形式就是遷移。

學(xué)習(xí)的成果是一種經(jīng)驗(yàn)的遷移;正如，加涅所說(shuō)：學(xué)習(xí)的遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響，或習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)其他活動(dòng)的影響，也就是已有經(jīng)驗(yàn)的具體化與新知識(shí)的類化過(guò)程或新、舊經(jīng)驗(yàn)的協(xié)調(diào)過(guò)程。經(jīng)驗(yàn)的協(xié)調(diào)和同化就形成了學(xué)習(xí)的遷移效果。實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、解題方法和思維方式等經(jīng)驗(yàn)有效遷移，在教學(xué)中應(yīng)處理好“四個(gè)理解”。

一、 數(shù)學(xué)定義的理解是經(jīng)驗(yàn)遷移的基礎(chǔ)

定義是數(shù)學(xué)之根。掌握好定義及其內(nèi)涵是經(jīng)驗(yàn)遷移的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題就能學(xué)懂弄通。教師應(yīng)該幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地、自然地、合理地理解定義。

教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到這類問(wèn)題：學(xué)生雖然已經(jīng)聽(tīng)懂一個(gè)問(wèn)題，但對(duì)類似的問(wèn)題不能自主解決。究其原因，主要不外乎兩點(diǎn)：一是學(xué)生沒(méi)有真正地認(rèn)識(shí)和把握問(wèn)題的本質(zhì)，只是停留在能夠接受和表面理解的水平上;二是學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決方法的自然性、合理性，尤其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的定義缺乏足夠的感受和認(rèn)知，導(dǎo)致所學(xué)的知識(shí)不僅難以遷移，并且容易遺忘，所以，教師在教學(xué)中，要將問(wèn)題的信息盡可能轉(zhuǎn)譯到數(shù)學(xué)的“定義”上去。

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為（? ）

A. y=-2x

B. y=-x

C. y=2x

D. y=x

解析：本例雖然綜合考查了函數(shù)奇偶性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、切線方程等知識(shí)點(diǎn)或基本技能，但最關(guān)鍵的是對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)定義的理解。其數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)主要來(lái)自冪函數(shù)類奇偶性的判斷和過(guò)曲線上點(diǎn)的切線方程表示方法。既體現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)的復(fù)制性，又體現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)的演繹性，最根本的解題經(jīng)驗(yàn)就是對(duì)函數(shù)定義的理解。雖然是一個(gè)綜合問(wèn)題，但是只要理解好數(shù)學(xué)定義，抓住數(shù)學(xué)定義這個(gè)根本，經(jīng)驗(yàn)遷移就在這個(gè)有多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合的情境下獲得實(shí)現(xiàn)。于是第一個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”就是求得a=1（演繹性），第二個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”就是求出切線的斜率是k=f′（0）=1（演繹性），第三個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”就是求出切線方程y=x（復(fù)制性），其實(shí)復(fù)制性經(jīng)驗(yàn)是可以省略的。

例2 已知雙曲線x29-y216=1的右焦點(diǎn)F和定點(diǎn)A（9，2），試在這個(gè)雙曲線上求一點(diǎn)M，使得|MA|+35|MF|的值最小，那么這個(gè)最小值是??? ;此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為??? 。

解析：在已有的知識(shí)系統(tǒng)中容易知道，點(diǎn)F（5，0）是雙曲線右焦點(diǎn)，這是對(duì)雙曲線定義的最基本考查;但35|MF|的理解不在經(jīng)驗(yàn)之內(nèi)，可以引導(dǎo)學(xué)生作圖轉(zhuǎn)化。設(shè)點(diǎn)M（x，y）到對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為d，則有|MF|=ed（e為曲線的離心率），這是對(duì)雙曲線定義的進(jìn)一步考查。在本題中，雖然題設(shè)條件與結(jié)論沒(méi)有直接的聯(lián)系，但是，由于對(duì)雙曲線定義的理解，迅速找到d=35|MF|的幾何意義，這是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的復(fù)制，也是已有知識(shí)基礎(chǔ)對(duì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改造與重組形成的遷移。通過(guò)對(duì)雙曲線定義的理解，迅速明確了|MF|+35|MF|的數(shù)學(xué)意義，給思維的靈感創(chuàng)造了契機(jī)，體現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)的再生性，達(dá)成了經(jīng)驗(yàn)的順應(yīng)與預(yù)見(jiàn)，真正體現(xiàn)了新舊知識(shí)的類化與協(xié)調(diào)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)遷移。這個(gè)問(wèn)題的解決，也驗(yàn)證了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是通過(guò)數(shù)學(xué)適當(dāng)情境的實(shí)踐所積累的“知識(shí)”，是實(shí)踐活動(dòng)的具體產(chǎn)物，同時(shí)需要在新情境中產(chǎn)生遷移效果。

二、 數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解是經(jīng)驗(yàn)遷移的前提

性質(zhì)是數(shù)學(xué)之魂。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，定義是根本，但只是孤立地理解了定義，并不是問(wèn)題解決的全部。由于數(shù)學(xué)性質(zhì)是建立在數(shù)學(xué)定義的基礎(chǔ)之上的，能不能把每一個(gè)數(shù)學(xué)定義弄清楚，并由此深刻領(lǐng)會(huì)每一個(gè)數(shù)學(xué)概念所蘊(yùn)含的性質(zhì)，這是問(wèn)題解決的前提，也是實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)遷移的前提。

例3 設(shè)點(diǎn)P在曲線y=12ex上，

點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為（? ）

A. 1-ln2

B. 2（1-ln2）

C. 1+ln2

D. 2（1+ln2）

解析：經(jīng)驗(yàn)遷移的主要目標(biāo)是讓學(xué)生能夠?qū)⑺麄兊囊延兄R(shí)遷移到恰當(dāng)?shù)那榫持?，這種能力要求學(xué)生能夠辨認(rèn)出新情境中與他們以前所學(xué)情境的關(guān)鍵特征相似的主要特征，從而實(shí)現(xiàn)一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響。本例乍看并不容易，一個(gè)是指數(shù)函數(shù)，一個(gè)是對(duì)數(shù)函數(shù)，要求兩個(gè)函數(shù)圖像上兩點(diǎn)之間最短距離，用什么方法？有什么思路？相似特征在哪里？其實(shí)，難點(diǎn)在于已知條件，突破的信息同樣蘊(yùn)含在題干之中，那就是兩個(gè)函數(shù)分別是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，從而聯(lián)想到反函數(shù)重要的一個(gè)性質(zhì)：圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，把兩個(gè)不同函數(shù)圖像上兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=12ex圖像上點(diǎn)到直線y=x的距離問(wèn)題，根本不需應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)解析式。由此可見(jiàn)，把握反函數(shù)性質(zhì)，已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)從“性質(zhì)”角度通過(guò)“反函數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)情境的實(shí)踐積累，在新情境中產(chǎn)生了遷移效果。其中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)歷了一個(gè)“選擇”的過(guò)程，依靠對(duì)過(guò)去已有經(jīng)驗(yàn)的加工和改造，“同化”了特殊情境下呈現(xiàn)的信息，體現(xiàn)了思維的再生性，形成更加完善的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)，既神奇而又充滿科學(xué)。所以，對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解是實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)遷移的前提，這也是經(jīng)驗(yàn)遷移的一條準(zhǔn)則。

三、 數(shù)學(xué)建模的理解是經(jīng)驗(yàn)遷移的橋梁

建模是數(shù)學(xué)之本。建模本身就是在已有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上，一種舊知識(shí)情境到新知識(shí)情境的一種遷移。新課標(biāo)提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)建模思想滲透，要讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程”，讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情景——建立數(shù)學(xué)模型——求解——解釋與應(yīng)用”的基本過(guò)程，發(fā)展合情遷移與演繹推理能力。教學(xué)時(shí)要有利于具體的情境問(wèn)題向抽象的數(shù)學(xué)情境過(guò)渡，或者講，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題最好有一個(gè)具體的現(xiàn)實(shí)模型來(lái)解釋，讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)化”過(guò)程抽象的冰冷的美麗，要讓學(xué)生經(jīng)歷已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)過(guò)程。

例4 一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積為（? ）

A. 24

B. 48

C. 72

D. 9 6

解析：求該幾何體的體積，首先要弄清該三視圖代表的幾何體的模型，需要還原幾何體，結(jié)合三視圖，先畫一個(gè)長(zhǎng)為6，寬為4，高為4的長(zhǎng)方體，如圖4所示，在該長(zhǎng)方體中可以較快得到多面體

ABCDEFG，從而迅速求得該幾何體的體積為48。

為什么會(huì)想到建立“長(zhǎng)方體”這個(gè)數(shù)學(xué)模型呢？首先，已有的經(jīng)驗(yàn)體系有：特殊的柱體、錐體以及球體的表面積和體積公式;三視圖問(wèn)題要還原幾何體;三棱錐的外接球問(wèn)題可以借助用四棱柱去解決等等。其次，復(fù)雜幾何體的幾何問(wèn)題通常借助特殊幾何體解決。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，處處都體現(xiàn)著建模的關(guān)系，對(duì)于具體問(wèn)題，還原到特定的情境，是數(shù)學(xué)建模的必由之路。

本題的解決，原有認(rèn)知已經(jīng)不能接受新信息，這時(shí)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改造，幾何體還原，把問(wèn)題遷移到“長(zhǎng)方體”模型中，實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)的類化與協(xié)調(diào)，其數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)了一個(gè)“順應(yīng)、同化、預(yù)見(jiàn)”的過(guò)程。與上述問(wèn)題相似，還有許多這樣的多面體外接球問(wèn)題，如果還關(guān)聯(lián)到對(duì)三視圖還原，本身比較復(fù)雜，也許有些學(xué)生甚至就放棄了。不過(guò)，如果學(xué)生有一種強(qiáng)烈的建模思想，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，把多面體遷移到長(zhǎng)方體中，把多面體的外接球問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題，這樣，就能讓已有實(shí)踐所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)遷移到新的情境中，問(wèn)題迅速得到解決，同時(shí)讓學(xué)生陡添解決這種問(wèn)題的信心。這種遷移，溝通起經(jīng)驗(yàn)遷移的橋梁，思維敏捷，真正達(dá)到“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的美好境界。

四、 數(shù)學(xué)關(guān)系的理解是經(jīng)驗(yàn)遷移的支點(diǎn)

關(guān)系是數(shù)學(xué)之韻。尋找問(wèn)題解決的方法，就要尋找思路，也就是尋找題目條件與結(jié)論之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，它表現(xiàn)為溝通條件與結(jié)論的一系列演算或推理。在這其中，激活和提取不同問(wèn)題情境下的基本經(jīng)驗(yàn)，至關(guān)重要！因?yàn)檫@種經(jīng)驗(yàn)影響著解題對(duì)策和方法選取，如果加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)關(guān)系的理解，在解題時(shí)就能一下子抓住關(guān)鍵，單刀直入，立即深入問(wèn)題的核心，成為解決問(wèn)題的支點(diǎn)。

例5 若不等式x>ax+32

的解集為x|4<x<b，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為??? 。

解析：本題考查不等式知識(shí)，在已有經(jīng)驗(yàn)內(nèi)，通常方法是求解不等式，而本題是已知其解，求參數(shù)a，b。不過(guò)，解集也是以參數(shù)的形式出現(xiàn)的，存在一個(gè)逆向思維，之前沒(méi)有這種經(jīng)驗(yàn)，如何利用已有的知識(shí)進(jìn)行遷移，并形成新的經(jīng)驗(yàn)？方法（1）：通過(guò)分類討論，將根式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，從而可以求得，

a=18，b=36;

方法（2）：令y1=x，y2=ax+32，那么在條件4<x<b下，原不等式就表示：拋物線y2=x（y≥0）在直線y=ax+32上方的部分曲線所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值。

方法①的真實(shí)背景為若已知不等式存在解集，反過(guò)來(lái)研究不等式中參數(shù)的取值。而已有的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)是：已知不等式，求解集。即便如此，只要抓住解不等式的本質(zhì)，思路也是簡(jiǎn)單的，其解題經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)了一個(gè)“選擇、同化”的過(guò)程，這就是已有知識(shí)系統(tǒng)的積極意義。但由于不等式及其解集中都存在參數(shù)，運(yùn)算量對(duì)學(xué)生是一個(gè)巨大的考驗(yàn);方法②是由已有的不等式都有其幾何背景的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，把解不等式的舊知識(shí)情境遷移到幾何背景之中，通過(guò)觀察曲線的位置關(guān)系，化解抽象的運(yùn)算，體現(xiàn)了一個(gè)“選擇、順應(yīng)、同化、預(yù)見(jiàn)”的經(jīng)驗(yàn)過(guò)程，方法靈活，計(jì)算簡(jiǎn)單。由此可見(jiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系的理解往往能成為經(jīng)驗(yàn)遷移的支點(diǎn)。

學(xué)生提取信息的過(guò)程往往不是在與最初學(xué)習(xí)信息時(shí)相同的情境中進(jìn)行的。其實(shí)，教師也總是希望學(xué)生能把學(xué)到的知識(shí)與技能遷移到于各種不同情境中去，這樣才能打通學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)比較好”到“學(xué)習(xí)真正好”的任督二脈。這應(yīng)該是我們教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該著重追求的教學(xué)藝術(shù)。只有這樣，數(shù)學(xué)課堂才能靈動(dòng)起來(lái)，教學(xué)才有生命力，數(shù)學(xué)教學(xué)才有生命力。

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作者簡(jiǎn)介：謝衛(wèi)煌，廣東省廣州市，廣東省廣州市第四十一中學(xué)。