拾“級”而上探索規(guī)律

臧楠楠

摘要：參考SOLO分類理論對學(xué)生在學(xué)習(xí)中認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的劃分，小學(xué)生在探索規(guī)律的過程中，通常需要經(jīng)歷三個認(rèn)知階段：直覺認(rèn)知→關(guān)聯(lián)認(rèn)知→抽象認(rèn)知。將這三個階段視為學(xué)生發(fā)展和教學(xué)進(jìn)程的“三級”，引領(lǐng)學(xué)生拾級而上地探索規(guī)律。《釘子板上的多邊形》一課，具體的教學(xué)路徑為：提供直觀且精準(zhǔn)的素材，以讓學(xué)生更直接、更充分地暴露已有經(jīng)驗(yàn);設(shè)置串聯(lián)的探索活動，帶領(lǐng)學(xué)生一步步展開探究，自主發(fā)現(xiàn)聯(lián)系并加以關(guān)聯(lián)，形成有關(guān)規(guī)律的初步結(jié)論;引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)符號得出一般規(guī)律并解釋所得結(jié)論的一般性，從而建立規(guī)律模型。

關(guān)鍵詞：探索規(guī)律;SOLO分類理論;直覺;關(guān)聯(lián);抽象

SOLO（Structure of Observed Learning Outcomes）分類理論是教育心理學(xué)家彼格斯及其團(tuán)隊(duì)在整合了布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類理論和皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論基礎(chǔ)上提出的評價方法，即利用前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和拓展抽象結(jié)構(gòu)等五種不同的基本結(jié)構(gòu)元素來描述、評價思維所處的層次?！疤剿饕?guī)律”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要教學(xué)內(nèi)容。參考SOLO分類理論對學(xué)生在學(xué)習(xí)中認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的劃分，筆者以為，小學(xué)生在探索規(guī)律的過程中，通常需要經(jīng)歷三個認(rèn)知階段：直覺認(rèn)知→關(guān)聯(lián)認(rèn)知→抽象認(rèn)知。我們可以將這三個階段視為學(xué)生發(fā)展和教學(xué)進(jìn)程的“三級”，引領(lǐng)學(xué)生拾級而上地探索規(guī)律。下面結(jié)合蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《釘子板上的多邊形》一課教學(xué)，分享一些思考與實(shí)踐。

一、直覺認(rèn)知階段：提供直觀且精準(zhǔn)的素材

直覺認(rèn)知階段展現(xiàn)的是學(xué)生對教學(xué)素材的直觀感受，反映的是學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。此時，提供給學(xué)生直觀且精準(zhǔn)的素材是非常必要的。學(xué)生能通過對直觀素材的感知更直接地呈現(xiàn)已有經(jīng)驗(yàn)。同時，精準(zhǔn)的素材能夠促使學(xué)生由易到難地在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)展開探究，使經(jīng)驗(yàn)暴露得更加充分。

《釘子板上的多邊形》一課，教師沒有直接呈現(xiàn)教材中給定的圖形和表格，而是讓學(xué)生自己去觀察圖形、計(jì)算面積，思考多邊形的面積可能和什么有關(guān)。具體教學(xué)過程如下：

師同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)什么呀？

生釘子板上的多邊形。

師是的。今天我們就用點(diǎn)子圖來代替釘子板。點(diǎn)子圖每行、每列相鄰的2個點(diǎn)之間的距離是1 cm，那這樣的1小格的面積就是1 cm2。奧地利有一個數(shù)學(xué)家叫皮克，有一天他在釘子板上圍出了一些多邊形，（出示圖1）它們的面積你會算嗎？

（學(xué)生嘗試計(jì)算。）

師看著這些圖形，皮克突發(fā)奇想：既然多邊形是圍在釘子板上的，那么多邊形的面積會不會和釘子數(shù)有什么關(guān)系呢？同學(xué)們，你們覺得呢？

生應(yīng)該有關(guān)系，釘子數(shù)越多，面積越大。

生沒關(guān)系。圖①和圖③都是6枚釘子，但面積不一樣。

生我覺得你說的不對。圖①和圖③雖然邊上的釘子數(shù)一樣，但內(nèi)部的釘子數(shù)不一樣。所以，面積和釘子數(shù)有關(guān)系，而且和邊上的釘子數(shù)、內(nèi)部的釘子數(shù)都有關(guān)系。

有教師在教學(xué)這節(jié)課時，直接向?qū)W生提出“內(nèi)部釘子”與“外部（邊上）釘子”的概念，即明確了面積與釘子數(shù)是存在關(guān)系的前提。不可否認(rèn)，在多個變量中發(fā)現(xiàn)規(guī)律對五年級的學(xué)生來說存在難度，但學(xué)生是有自主探索的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的——他們會算面積、會數(shù)釘子、會對比，并且還有旺盛的好奇心和求知欲。因而，我們應(yīng)該牢牢地抓住學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和直覺認(rèn)知，在充分理解教材的基礎(chǔ)上，有選擇性地改編教材，提供給學(xué)生直觀且精準(zhǔn)的探索素材。這樣的素材有助于學(xué)生將注意力集中在釘子上，也有利于后面教學(xué)環(huán)節(jié)中將多邊形分類。通過對圖1中①②兩個圖形的觀察，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，邊上的釘子越多，面積越大;再對比①③兩個圖形，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，邊上都是6枚釘子，內(nèi)部釘子不同，面積也不同，從而產(chǎn)生多邊形面積與邊上、內(nèi)部釘子數(shù)都有關(guān)系的初步直覺。

二、關(guān)聯(lián)認(rèn)知階段：設(shè)置串聯(lián)的探索活動

關(guān)聯(lián)認(rèn)知階段，學(xué)生需要從已有信息中提取有效信息，并整合所掌握的信息，為后續(xù)抽象認(rèn)知做鋪墊。這一階段的認(rèn)知重點(diǎn)在于對“聯(lián)系”的發(fā)現(xiàn)。對此，教師應(yīng)設(shè)置串聯(lián)的探索活動，帶領(lǐng)學(xué)生一步步展開探究，自主發(fā)現(xiàn)聯(lián)系并加以關(guān)聯(lián)，形成有關(guān)規(guī)律的初步結(jié)論。

《釘子板上的多邊形》一課，在學(xué)生有了多邊形面積與邊上、內(nèi)部釘子數(shù)都有關(guān)系的初步直覺后，教師引導(dǎo)學(xué)生分類別探究規(guī)律。具體教學(xué)過程如下：

師（出示下頁圖2、表1）觀察這些圖形，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，想一想：如何根據(jù)邊上的釘子數(shù)算出面積？

生面積=邊上的釘子數(shù)÷2-1。

師到此為止，我們是不是可以下結(jié)論：面積=邊上的釘子數(shù)÷2-1？

生不能，我們還要研究內(nèi)部釘子數(shù)是1、2……的情況。

師（出示圖3）還是這些圖形，我們把它們都往下拉1格，內(nèi)部釘子數(shù)都變成了1。它們的面積和邊上的釘子數(shù)你會填表嗎？

（學(xué)生填表、匯報，得到表2。）

生面積=邊上的釘子數(shù)÷2。

師到底對不對呢？同學(xué)們自己圍一個內(nèi)部釘子數(shù)是1的多邊形驗(yàn)證一下。

（學(xué)生驗(yàn)證。）

師我們兩次研究，經(jīng)過驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律都是對的，那么兩次研究得出的規(guī)律有什么相同的地方？

生都有“邊上的釘子數(shù)÷2”。

為了幫助學(xué)生在探索規(guī)律的過程中更好地進(jìn)行關(guān)聯(lián)，教師在教材編排的基礎(chǔ)上做了積極的嘗試：其一，從內(nèi)部釘子數(shù)為0的多邊形開始研究（教材是先研究內(nèi)部釘子數(shù)為1、2的多邊形，再研究內(nèi)部釘子數(shù)為0的多邊形），串聯(lián)所有情境;其二，統(tǒng)一所有的表格，去掉“內(nèi)部釘子數(shù)”這一列，作用是便于對比聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律;其三，研究內(nèi)部釘子數(shù)為1的圖形，是在最原始的圖形（內(nèi)部釘子數(shù)為0）上拉動得到新圖形的，可以幫助學(xué)生深刻體會形與形、數(shù)與形之間的聯(lián)系。

三、抽象認(rèn)知階段：引導(dǎo)符號表達(dá)，建立規(guī)律模型

抽象認(rèn)知階段是指，學(xué)生不僅能夠有效提取和利用所給信息，并且能對所學(xué)知識進(jìn)行拓展、遷移和應(yīng)用。這一階段，要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生使用符號表達(dá)來建立規(guī)律的認(rèn)知模型。

《釘子板上的多邊形》一課，教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)符號得出一般規(guī)律并解釋所得結(jié)論的一般性，從而建立規(guī)律模型。具體教學(xué)過程如下：

師如果多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)是2，你能猜一猜規(guī)律是什么嗎？

生內(nèi)部釘子數(shù)是1時，S=n÷2×1，下一個就應(yīng)該是S=n÷2×2。

生內(nèi)部釘子數(shù)是0時，S=n÷2-1 ，內(nèi)部釘子數(shù)是1時，S=n÷2，所以我覺得應(yīng)該是S=n÷2+1。

師公式應(yīng)該是一般化的結(jié)論，請同學(xué)們驗(yàn)證一下我們的猜想。

（學(xué)生驗(yàn)證猜想。）

生我發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是S=n÷2+1，我圍了內(nèi)部釘子數(shù)是2的圖形并計(jì)算了它的面積。

生我也覺得S=n÷2×2不對，這里“÷2”和“×2”抵消了，就是S=n，驗(yàn)證后顯然不對。

師那么，內(nèi)部釘子數(shù)還可能是3、4……你能猜一猜規(guī)律又是什么嗎？

生老師，我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律了，就是S=n÷2+內(nèi)部釘子數(shù)-1。

師這是他的發(fā)現(xiàn)，到底對不對呢？我們不妨分小組去驗(yàn)證一下。

（學(xué)生分小組驗(yàn)證，匯報得到表3。）

師如果用a表示內(nèi)部釘子數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)S=n÷2+（a-1）。為什么表中第2行發(fā)現(xiàn)的規(guī)律卻沒有后面的小尾巴？

生當(dāng)a=1時，a-1=0，抵消了，所以沒有小尾巴，和我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不矛盾。

生一種是特殊情況，一種是一般情況。所以S=n÷2+（a-1）是正確的。

師（出示圖4）這是南京紫金山的地圖，你能嘗試用今天發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算紫金山的實(shí)際面積嗎？

（學(xué)生計(jì)算。）

在建立一般化數(shù)學(xué)模型的過程中，并不限制學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)的表達(dá)形式，文字和字母表達(dá)都可以。通過特例發(fā)現(xiàn)規(guī)律時，學(xué)生用符號表示出猜想，并嘗試驗(yàn)證，在嘗試和調(diào)節(jié)中確定結(jié)論。最后，在測算紫金山面積的應(yīng)用中，進(jìn)一步發(fā)展符號表達(dá)能力和抽象能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉秀鳳.小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)評價實(shí)證研究——基于SOLO分類理論[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（9）.

[2] 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（第二版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.