數(shù)學建模在初中數(shù)學教學中的實踐應用

朱玉杰

摘? 要：數(shù)學建模應當是在單元視角下連續(xù)的、不斷完善的、由學生自主探索“識?！！饽！颇！钡臄?shù)學抽象過程. 學生是數(shù)學建模的主導者，而教師只是引導者. 在數(shù)學建模過程中，數(shù)學模型的形成、擴建和完善應盡量由學生自主或合作探究完成，而非教師強行灌輸. 文章選取滬教版《九年義務教育課本·數(shù)學》九年級第一學期“25.4 解直角三角形的應用”的部分教學環(huán)節(jié)來闡述數(shù)學建模的課堂生成過程，以及從單元教學、學習進程、學科德育三個視角闡述數(shù)學建模在日常教學中的作用.

關鍵詞：數(shù)學建模;單元視角;學習進程;學科德育

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識和數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學建模是應用數(shù)學知識解決實際問題的基本手段，其本質(zhì)是應用能力，即在解決生活實際問題時，用數(shù)學眼光去發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學表達去描述問題，用數(shù)學思維去解決問題. 數(shù)學建模建立了數(shù)學與生活、數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，它不僅有助于學生形成對知識體系完整的認識，而且有利于提高學生運用知識解決綜合問題的能力.

在日常教學過程中，一線教師往往忽視數(shù)學建模的實際應用與育人價值，亦或者過于關注數(shù)學模型的應用而忽略了數(shù)學模型的構(gòu)建過程及對數(shù)學模型的本質(zhì)理解，導致學生心中無“?！被蛑挥小澳！钡谋碚?，而不理解“模”的本質(zhì).

筆者曾在線分享過數(shù)學建模在滬教版《九年義務教育課本·數(shù)學》九年級第一學期“25.4 解直角三角形的應用”這一單元教學的實際應用與思考，現(xiàn)選取部分教學環(huán)節(jié)整理成文，與同行交流.

一、教學環(huán)節(jié)及分析

1. 復習回顧，模型初識

師：同學們，我們已經(jīng)學習了直角三角形的各元素之間的關系，哪位同學可以整理下它們之間的關系？

生1：（如圖1）邊邊關系：[a2+b2=c2]（勾股定理）;角角關系：[∠A+∠B=90°]（兩銳角互余）;邊角關系：[sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba]（銳角的三角比）.

師：至少知道直角三角形中的哪些元素，即可實現(xiàn)解直角三角形？

生2：已知一邊一角，或者兩邊.

師：今天我們將利用解直角三角形的知識解決一些生活實際問題.

……

【評析】銳角的三角比建立了直角三角形的邊角關系，是解直角三角形至關重要的一環(huán). 通過復習直角三角形各元素之間的關系，幫助學生完善直角三角形知識體系，通過分析解直角三角形的條件要求，初步構(gòu)建解直角三角形的數(shù)學模型. 從單元視角考慮，梳理解直角三角形的知識，是為構(gòu)建基礎模型解決生活應用問題而服務，起到承上啟下的作用.

2. 設置情境，模型擴建

（1）教學片斷1.

師：現(xiàn)需要測量學校旗桿的高度，目前可以使用的工具有：高度為1.5米的測角儀（可測旗桿頂端仰角或底端俯角），一卷皮尺，請各小組成員，繪制基本圖形，并設計測量方案.

生3：如圖2，將測角儀（AB）放置距旗桿（CD）一定距離處，利用皮尺測量距離[BC]為a米，利用測角儀測量旗桿頂端的仰角[α]即可. 則旗桿CD的高度為[1.5+atanα]米.

師：生3的方案中涉及了哪些數(shù)學知識？

生4：已知一角一邊求解直角三角形中的其他元素.

師：還有其他測量方案嗎？

生5：在生3方案的前提下，如圖3，再測量旗桿底端的俯角[β]即可. 則旗桿CD的高度為[atanα+atanβ]米.我們小組的設計，在將測角儀放置在適當高度的條件下也可以實施，且無需測量測角儀距地面的高度.

師：生5的方案中涉及了哪些數(shù)學知識？

生6：同樣是已知一角一邊求解直角三角形中的其他元素. 只不過這次涉及了兩個直角三角形.

師：在同樣的條件下，能測量出東方明珠廣播電視塔的高度嗎？小組討論，并給出理由.

生7：生3的方案和生5的方案理論上可行，但測角儀和東方明珠廣播電視塔的高度相差太大，可能在測量仰角和俯角時會有困難，仰角過大，俯角過小，誤差都會很大，且在測量過程中也會受到周邊建筑的遮擋影響.

師：很好！在將數(shù)學知識應用于解決生活實際問題時，需考慮實際環(huán)境的限制.

生8：可以對生5的方案進行改進，把測角儀的位置抬高，放在另一座高樓的樓頂去測量東方明珠廣播電視塔塔頂?shù)难鼋呛退椎母┙牵@樣既可以減少誤差，也可以盡量避免遮擋物的干擾.

師：分析得很好，以小組為單位，利用所學知識測量我校1號教學樓的高度，并形成測量報告.

【評析】通過活動的不斷推進，讓學生體會如何利用解直角三角形的知識解決生活中的測高問題，并引導學生注意在利用數(shù)學知識解決生活中的問題時，需考慮實際環(huán)境的限制，讓學生優(yōu)化方案，對測量過程進行改進，使改進后的方案更符合實際測量需要. 學生以主人翁的姿態(tài)參與到實際測高設計活動中，使學生感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，提高學生將數(shù)學問題實際化的能力. 同時，注重數(shù)學模型的擴建過程，由解單直角三角形向解具有一定聯(lián)系的雙直角三角形模型過渡.

（2）教學片斷2.

師：解直角三角形的知識還可以用于解決一些生活中的測距問題. 例如，在海岸線建造觀測站，可測得周圍海域的船只位于觀測站的方向角，通過解直角三角形的知識可測得船只距離海岸線的最短距離.

如圖4，在一條筆直的海岸線l上有相距20海里的A，B兩個觀測站，B觀測站在A觀測站的正東方向上，從A觀測站測得船C在北偏東60°的方向上，從B觀測站測得船C在北偏東30°方向上，此時船只正以每小時50海里的速度快速向海岸線靠近，問：這艘船最短需要多長時間可以到達海岸線？（[3]取1.7，結(jié)果保留一位小數(shù).）

師：小組合作，解決上述問題，并思考涉及了哪些基本圖形及數(shù)學知識？（解題過程略）

生9：涉及兩個直角三角形，且兩個直角三角形的一條直角邊共邊.

師：它和圖3中的雙直角三角形有何不同？

生10：圖3中雙直角三角形在共邊的異側(cè)，圖4中的雙直角三角形在共邊的同側(cè).

師：這兩種情況在解決問題的策略上有何相似之處？

生11：均是利用解直角三角形的知識，使三角形的邊角之間建立聯(lián)系，復雜問題可能還要引入未知數(shù)，借助方程思想解決.

師：很好！如圖5，這就是解直角三角形在實際生活應用問題中的兩種常見的模型.

師：小組合作，根據(jù)所學知識，仿照上述情況，設計一套檢測汽車行駛速度的方案，并形成方案報告.

【評析】不考慮生活情境，問題中涉及的基本圖形是由具有公共直角邊的兩個直角三角形拼接構(gòu)成，屬共邊同側(cè)雙直角三角形. 通過雙直角三角形的邊角關系，設未知數(shù)，利用方程思想建立等量關系，解出相應的距離. 而題目特殊角度的設置產(chǎn)生了特殊的位置關系，即[△ABC]是等腰三角形，學生也可以利用這點簡化計算的過程. 該問題的設計意圖在于讓學生體會解直角三角形及方向角在實際測距中的作用，使學生體會到數(shù)學知識的實用性和可操作性. 通過讓學生自主去對比兩種情況的區(qū)別與聯(lián)系，體驗數(shù)學模型的擴建過程.

3. 例題精選，模型拓展

例? 如圖6，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，長為13米，坡度為[1∶2.4，] 高為DE. 在斜坡底的點C處測得樓頂B的仰角為64°，在斜坡頂?shù)狞cD處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A，C，E在同一直線上，求斜坡的高DE與大樓AB的高度.（參考數(shù)據(jù)：[sin64°≈0.9，] [tan64°≈2.3.]）

【評析】不考慮生活情境，此題涉及的基本圖形是共邊同側(cè)雙直角三角形中的一種變式圖形，讓學生體會較復雜的雙直角三角形邊角間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住雙直角三角形的共邊（或共線邊），在兩直角三角形的各元素之間建立聯(lián)系，傳遞關鍵信息，利用方程思想建立等量關系，從而解決問題. 通過雙直角三角形的不斷變式，使學生對解雙直角三角形問題具有深刻的認識，通過對基礎圖形的認識，進一步完善數(shù)學建模，提高學生的解題能力和認知能力.

4. 資源整合，破模歸源

通過對基本模型的分析與整合，結(jié)合生活實例（圖7和圖8分別為將生活中的臺燈和投影儀融入數(shù)學問題中的圖形），讓學生感受模型的實際應用，探尋模型的本源，體會應用的本質(zhì)，即生活中常見的三類角（仰俯角、方向角、坡角），這些數(shù)學概念的引入是為了解決生活問題時表述的準確性，其本質(zhì)就是不同場景下的角. 對于應用而言，作為條件，提供直角三角形一個角的信息，搭配一邊，即可實現(xiàn)解直角三角形. 而對基礎模型的拓展與應用是多個直角三角形之間邊角信息關系的相互傳遞，把握關鍵信息，建立恰當?shù)牡攘筷P系，從而解決問題. 通過資源的整合，打破模型的束縛，揭示問題的本質(zhì).

二、總結(jié)反思

1. 從單元教學視角看數(shù)學建模

王尚志教授認為，教師要從課時中跳出來，進行單元教學設計與實施. 單元教學也并非對課時教學的否定，而是提出了更高的要求，它要求教師在課時教學過程中都要從單元的高度和整體性把握知識的前后聯(lián)系. 而數(shù)學建模過程亦是如此，在日常課時的教學過程中，幫助學生用全局的、聯(lián)系的眼光觀察生活問題，從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學模型，再通過類似生活問題的比較研究完善數(shù)學模型（圖9），找到數(shù)學知識的依附點，使它們不再零散、孤立. 數(shù)學建模是一個連續(xù)的，在單元視角下不斷完善的過程，而非一蹴而就. 本單元是從現(xiàn)實生活中抽象出直角三角形模型，通過構(gòu)造直角三角形，利用邊角關系解決生活中的問題（圖10）. 而銳角的三角比的定義、性質(zhì)和應用均是基于該目標下的建模過程. 以單元視角展開教學，可以使學生更深刻地領會模型思想.

2. 從學習進程視角看數(shù)學建模

教師應該整體設計、分步實施教學建?；顒优c數(shù)學探究活動，引導學生從類比、模仿到自主創(chuàng)新，從局部實施到整體構(gòu)想. 在數(shù)學建?；顒又?，學生是建模的主導者，而教師只是引導者. 在數(shù)學建模過程中，數(shù)學模型的形成、擴建和完善應盡量由學生通過自主或合作探究完成，而非教師強行灌輸，讓學生經(jīng)歷“識模—建?！饽！钡倪^程，對數(shù)學模型有自我認識和理解，并從中感悟模型背后問題的本質(zhì)，最終達到“破?！钡木辰纾侵皇亲R“?！钡男问?，不知“?！钡谋举|(zhì). 過于依賴模型，只會局限學生思維的發(fā)展和解題能力的提升. 數(shù)學模型獲得及提煉過程的價值遠遠超過運用它去機械性解題.

3. 從學科德育視角看數(shù)學建模

數(shù)學建模本質(zhì)上是一個問題解決的過程，而問題應來源于日常生活、現(xiàn)實世界等多方面，因此要重視數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系. 在學習評價中，不僅要關注學生會用數(shù)學模型解決簡單的實際問題，而且還要關注學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識和能力的提高，讓學生親身感受數(shù)學來源于生活、服務于生活的理念. 培養(yǎng)學生的數(shù)學價值觀，用數(shù)學眼光去發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學表達去描述問題，用數(shù)學思維去解決問題.

如何在教學中引導學生在單元視角下連續(xù)不斷地、自主地探索“識?！！饽！颇！边^程，讓學生感受到數(shù)學理性的魅力，培養(yǎng)學生的數(shù)學觀，需要教師不斷地探索、思考、改進.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 核心素養(yǎng)統(tǒng)領下的數(shù)學教育變革[J].數(shù)學通報，2017，56（4）：1-4.

[3]王尚志，胡鳳娟. 數(shù)學教育的育人價值[J]. 人民教育，2018（13 / 14）：40-44.

[4]張玲玲. 為表達世界而建模：《指數(shù)函數(shù)》三次備課思考[J]. 數(shù)學通報，2019，58（8）：52-54.

[5]周龍虎，劉師妤. 對模型教學以及探求建模的一些思考[J]. 數(shù)學通報，2017，56（9）：30-34，54.