“問題 + 表格”化思維，破解教學(xué)關(guān)鍵問題

鄭海山

摘? 要：在知識教學(xué)與素養(yǎng)培養(yǎng)的過程中，需要核心問題作為載體嵌入其中，對學(xué)生的學(xué)習(xí)思維起到激發(fā)、指導(dǎo)和構(gòu)建的作用. 表格化的教學(xué)處理可以讓知識要素更加集中，呈現(xiàn)更加直觀，更能顯示知識之間的聯(lián)系和區(qū)別，易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)系. 利用“問題 + 表格”化思維設(shè)計(jì)落實(shí)知識與素養(yǎng)的教學(xué)過程，能有效破解教學(xué)中的關(guān)鍵性問題，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，切實(shí)提升教師素養(yǎng)和學(xué)生的思維水平與學(xué)習(xí)習(xí)慣.

關(guān)鍵詞：問題 + 表格;數(shù)學(xué)思維;初中數(shù)學(xué)

在教學(xué)實(shí)踐中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)，觀察、比較、分析與綜合、歸納等都是重要的思維活動，列表可以把被感知的問題從背景中分離出來，增強(qiáng)對比感，以問題為載體，對問題進(jìn)一步進(jìn)行分析與綜合，找到問題的一般規(guī)律，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有很大幫助. 基于表格的優(yōu)勢，教師通常在應(yīng)用題、概率分析上應(yīng)用“問題 + 表格”化思維較多，其實(shí)還有很多的地方是可以運(yùn)用這種思維來破解教學(xué)的關(guān)鍵性問題，因?yàn)閿?shù)學(xué)中存在很多要辨別或確定兩者及兩者以上之間異同點(diǎn)，以及它們之間的關(guān)系的知識體系. 幾何教類比、代數(shù)教歸納，在教學(xué)活動中要幫助學(xué)生學(xué)會建構(gòu)知識體系.

數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)鍵問題是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而必須解決的、不可回避或逾越的最基本、最緊要的教學(xué)問題.“問題 + 表格”化思維是指在落實(shí)知識與素養(yǎng)的過程中，以表格的形式呈現(xiàn)，把問題作為載體嵌入到整個環(huán)節(jié)中，運(yùn)用先行學(xué)習(xí)理論、建構(gòu)主義等對某個片斷進(jìn)行過程性問題的設(shè)計(jì)，有目的地讓學(xué)生自主獲取知識，教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)合理地引導(dǎo)、解析和歸納，使數(shù)學(xué)知識更好地內(nèi)化到學(xué)生自身的知識構(gòu)建上，使知識的建立更科學(xué)、有效，使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平得以發(fā)展.

一、“問題 + 表格”化思維，破解概念群表征混亂

描述性概念文本呈現(xiàn)的內(nèi)容非常豐富和詳實(shí)，但較為抽象，很容易變成填鴨式教學(xué)，不利于學(xué)生掌握核心學(xué)習(xí)能力. 從數(shù)到式的各類平方根表示及其之間的關(guān)系和結(jié)果的特征較為雜亂，需要理順之間的來龍去脈，以幫助學(xué)生把相關(guān)知識合理安放在自己的知識體系中，這是教學(xué)關(guān)鍵問題. 在實(shí)踐中，采取讓學(xué)生閱讀文本，以問題為核心、表格為載體，巧妙破解概念群的教學(xué)方式，不僅可以讓學(xué)生深刻了解知識的構(gòu)建，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的類比與歸納能力，取得較好的教學(xué)效益.

案例1：平方根概念群設(shè)計(jì).

浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級上冊“3.1 平方根”的教學(xué)中，在完成平方根概念的教學(xué)后，要探究平方根的相關(guān)概念和表示方法，學(xué)生易出現(xiàn)把平方根、正平方根等符號弄混的現(xiàn)象. 同時，教材把算術(shù)平方根的內(nèi)容安排在例題之后，不利于學(xué)生比較相似概念的定義和符號表示的異同點(diǎn). 于是設(shè)計(jì)“問題 + 表格”化思維單如表1所示，以凸顯各概念及表示法的特征，突破教學(xué)難點(diǎn)和易錯點(diǎn).

通過“可開方數(shù)—不可開方數(shù)—含字母的被開方式”的核心問題設(shè)計(jì)，逐層體現(xiàn)平方根、正平方根、負(fù)平方根、算術(shù)平方根的異同點(diǎn)，充分利用表格的層次性、有序性和對比性，強(qiáng)化各類表示法的特征，同時利用從特殊到一般的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)a進(jìn)行討論，促使學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)易錯點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)知識的有意義建構(gòu).

二、“問題 + 表格”化思維，破解發(fā)現(xiàn)過程無序

概念的引出與性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)是教學(xué)中的關(guān)鍵問題，采取類比教學(xué)是較為合適的教學(xué)方法，運(yùn)用學(xué)過的知識方法去研究未知的知識體系，符合先行組織者理論，即運(yùn)用遷移的方式進(jìn)行學(xué)習(xí). 但類比對象和問題設(shè)計(jì)若不夠精確，勢必會影響教學(xué)的效益. 采用“問題 + 表格”化思維的形式類比教學(xué)，不僅要考慮類比對象，還要考慮探究的指向，整體設(shè)計(jì)追求最佳的遷移方式，使之能踐行先行組織者理論.

案例2：菱形相關(guān)知識的發(fā)現(xiàn)過程設(shè)計(jì).

在教材八年級下冊“5.2 菱形”的教學(xué)中，菱形概念的引出與性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程是教學(xué)的關(guān)鍵. 如表2，通過有序類比矩形概念和平行四邊形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程和研究方向，能不斷強(qiáng)化研究四邊形的一般視角和方法，減少因無序而產(chǎn)生的假思維，增強(qiáng)類比發(fā)現(xiàn)教學(xué)的效益.

上述設(shè)計(jì)中，概念教學(xué)采用水平遷移，運(yùn)用處于同一抽象和概括水平的經(jīng)驗(yàn)之間的相互影響，較好地實(shí)現(xiàn)了從矩形概念到菱形概念的學(xué)習(xí). 在性質(zhì)要素和內(nèi)容的發(fā)現(xiàn)教學(xué)中，采用垂直遷移中的自下而上遷移，即下位的較低層次的經(jīng)驗(yàn)影響上位的較高層次的經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí). 因此，設(shè)定的類比對象為平行四邊形，運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)的研究方法探尋菱形的研究視角和性質(zhì)的特殊性，從而讓學(xué)生有可類比的對象與方法，自主建構(gòu)知識水到渠成.

三、“問題 + 表格”化思維，破解定理教學(xué)的表象

定理表象是定理顯現(xiàn)出來的外在形態(tài)，但定理不僅有這些部分，還有定理之間的關(guān)系和聯(lián)系，定理之間的關(guān)系和聯(lián)系要經(jīng)過研究和類比才能夠找出來，進(jìn)而呈現(xiàn)出定理的內(nèi)容和本質(zhì). 通過設(shè)計(jì)“問題 + 表格”化思維的形式能有意識地凸顯定理之間的關(guān)系和聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷定理的發(fā)生、發(fā)展過程，透過現(xiàn)象看本質(zhì).

案例3：分式法則的設(shè)計(jì).

在教材七年級下冊“5.1 分式”的教學(xué)中，在完成分式概念的教學(xué)后，通常以“分式[ba]分母中的字母a能取任何實(shí)數(shù)嗎？為什么？分式[2x-3x+2]中的字母呢？”為探索問題，引導(dǎo)學(xué)生歸納并得出分式規(guī)則——分式中字母的取值不能使分母為0. 當(dāng)分母的值為0時，分式就沒有意義. 然后通過教材例1幫助學(xué)生掌握規(guī)則及相關(guān)解法. 筆者認(rèn)為，上述過程不太適合全體學(xué)生發(fā)現(xiàn)分式規(guī)則，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)分式的值為0的特征，對后續(xù)學(xué)習(xí)例1不能實(shí)現(xiàn)最大化的鋪墊，也不利于知識內(nèi)涵與外延的生成. 要解決以上教學(xué)關(guān)鍵問題，可以采用如表3所示的“問題 + 表格”的形式，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中獲得本環(huán)節(jié)的核心知識與素養(yǎng).

采用“自主構(gòu)建、逐步完善”的形式，讓學(xué)生自主去發(fā)現(xiàn)分式的意義等知識內(nèi)涵，問題指向明確、問題層次分明、問題開放適度，容易激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，達(dá)成教學(xué)目標(biāo). 學(xué)生由[a=0]發(fā)現(xiàn)[2a]的值無意義，由[a=-2]發(fā)現(xiàn)[aa+2]的值無意義，推測當(dāng)分式中分母的值為0時，分式?jīng)]有意義. 由[a=0]發(fā)現(xiàn)[aa+2]的值為0，推測當(dāng)分式中分子的值為[0，] 且分母不為0時，分式的值為0. 學(xué)生在傾聽、質(zhì)疑、推廣的過程中得到同化和順應(yīng)，突破思維瓶頸. 繼續(xù)設(shè)問：當(dāng)分式有意義的條件下，分式的值是否隨著分式中字母的取值變化而變化？從上表中是否能找到方程[aa+2=12]的解？引發(fā)數(shù)學(xué)思考，在有意義的教學(xué)過程中，逐漸滲透一一對應(yīng)、方程等思想，逐步養(yǎng)成并突破思維的廣度，使學(xué)生在整個過程中掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

四、“問題 + 表格”化思維，破解理解的片面性

列表法在分析實(shí)際應(yīng)用題中的效果尤佳，具有簡潔、集中、量與量之間關(guān)系明確的特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)的有效載體. 設(shè)計(jì)優(yōu)秀的“問題 + 表格”化思維單，有利于學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，以及發(fā)現(xiàn)、形成知識. 教師一般采用列方程解應(yīng)用題的一般步驟分析題目中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，學(xué)生則根據(jù)教師的啟發(fā)、引導(dǎo)，解決相關(guān)問題. 但是在獨(dú)自解決類似問題時，學(xué)生卻往往不知如何入手，學(xué)困生更是如此，要如何破解？

案例4：破解應(yīng)用題理解的設(shè)計(jì).

教材八年級下冊“2.3 一元二次方程的應(yīng)用”中例1“某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每盆的盈利與每盆株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系. 每盆植入3株時，平均單株盈利3元;以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元. 要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？”需要明確教學(xué)的關(guān)鍵問題是了解學(xué)生對文字應(yīng)用題的提取方法，并抓住問題的實(shí)質(zhì). 此題的實(shí)質(zhì)是其中含有兩個關(guān)系，即整體的等量關(guān)系，以及數(shù)量與單株盈利之間的依存關(guān)系. 列表可以直觀顯現(xiàn)題中的數(shù)量關(guān)系，有助于探索隱藏的規(guī)律性關(guān)系. 為此，在明確學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維障礙的條件下設(shè)計(jì)表4.

從大處入手，以表格的形式讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中顯現(xiàn)的等量關(guān)系：數(shù)量 × 平均單株盈利 = 盈利，從而建立審題的一般方法并樹立解題信心. 通過一組從特殊到一般化的表格數(shù)據(jù)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解每盆增加株數(shù)與平均單株盈利之間的規(guī)律性關(guān)系，最終解決數(shù)量與平均單株盈利的表達(dá)式. 再通過改變規(guī)律性關(guān)系，再次探索數(shù)量和平均單株盈利的表達(dá)式，提高解題效率，形成通解、通法. 并增設(shè)直接設(shè)每盆植a株的問題，讓學(xué)生按照上述方法繼續(xù)探索數(shù)量與平均單株盈利的表達(dá)式，從而深入理解此類應(yīng)用題的一般方法和規(guī)律，揭示了問題的本質(zhì)，達(dá)到觸類旁通的目的.

五、“問題 + 表格”化思維，破解知識升華的單一性

知識小結(jié)的方式方法多樣，其目的是加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系，以體現(xiàn)所學(xué)知識的系統(tǒng)性，進(jìn)而對所學(xué)知識起到承上啟下的作用. 無論采取怎樣的教學(xué)方法，都應(yīng)該考慮知識之間的聯(lián)系和區(qū)別，多角度思考新知的構(gòu)成渠道，采用“問題 + 表格”化思維能點(diǎn)睛知識的聯(lián)系與區(qū)別，再次觸發(fā)學(xué)生揭開知識的廬山真面目.

案例5：知識小結(jié)整理的設(shè)計(jì).

在教材八年級下冊“5.2 菱形”的教學(xué)中，當(dāng)完成菱形概念、性質(zhì)定理和應(yīng)用的教學(xué)后，需要對整個知識體系進(jìn)行梳理. 教師往往采取縱向總結(jié)，即總結(jié)菱形相關(guān)的知識點(diǎn)、注意點(diǎn)和思想點(diǎn)，而忽略知識整理的橫向總結(jié)，即菱形與矩形的異同點(diǎn). 我們唯有把處于同一抽象和概括水平的經(jīng)驗(yàn)之間的相互影響及時展示給學(xué)生，才能促進(jìn)其對菱形和矩形知識更加深入的理解. 此時的教學(xué)關(guān)鍵問題是如何在短時間內(nèi)有效展現(xiàn)出思辨的核心，讓學(xué)生的思維直指知識的節(jié)點(diǎn)和聯(lián)結(jié)處，為此設(shè)計(jì)表5.

把菱形和矩形的性質(zhì)分不同視角的內(nèi)容要素展示給學(xué)生，讓學(xué)生建立構(gòu)成性質(zhì)的各個要素特征，通過對比及重新組合，形成矩形與菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)這一相同點(diǎn)，同時建立對不同點(diǎn)的初步印象. 問題（2）是幫助學(xué)生重新建立新的聯(lián)系，菱形與矩形的特殊性在于定義決定了其邊和角的特殊化，同時化歸為等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)分別決定著菱形與矩形對角線的特殊性，即等腰三角形的三線合一與直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，進(jìn)一步闡述四邊形問題可以化歸為三角形問題得到解決，打通四邊形與三角形之間知識的壁壘，建立新的聯(lián)系. 問題（3）是進(jìn)一步讓學(xué)生從菱形和矩形的角度研究正方形，也可以思考從等腰直角三角形的角度解釋存在正方形的可能性，不同的組合要素或有不同的結(jié)論，使思辨性教學(xué)走向更深層次.

用“問題 + 表格”化思維破解教學(xué)的關(guān)鍵問題，其目的是讓教師在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)上，更加關(guān)注教學(xué)中的關(guān)鍵問題，以“學(xué)”為中心，設(shè)計(jì)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的必備能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地.

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