圓柱究竟有多少條高*
——略談小學階段幾何概念的理解與教學

□ 林育云 章勤瓊

空間觀念是《義務教育數學課程標準（2011 年版）》中的核心概念之一，雖然小學數學教材并沒有給出空間觀念的明確定義，但發(fā)展學生空間觀念的學習內容卻貫穿“圖形與幾何”學習的全過程。[1]空間觀念的發(fā)展需要依托對重要幾何概念的理解，然而，對一些幾何概念，教師可能存在不一樣的理解。

一個教師QQ 群曾經討論過這樣的問題：圓柱有多少條高？之所以提出這個問題，是因為在教學用書上有這樣一句話：連接圓柱兩個底面中心的線段就是圓柱的高。這句話從字面上理解是說圓柱的高只有一條，就是連接兩個底面中心的線段。然而，在日常教學中，我們經常說：圓柱有無數條高。這里的一條和無數條是否矛盾？那圓柱究竟有多少條高？在教學中又需要注意什么？這需要我們對相關概念進行梳理，進而對教學作進一步的思考。

一、圓柱高的概念的雙重意義

現(xiàn)代數學對圓柱高的定義是“兩個底面間的距離是圓柱的高”[2]。圓柱的兩個底面是平行的，《數學辭海》中對“兩平行平面間的距離”的解釋是“刻畫兩平行平面相關位置的一個數量”[3]。人教版和蘇教版教材對圓柱高的定義都是：圓柱兩個底面之間的距離叫作圓柱的高?？梢钥闯?，這里的高表示的是長度。北師大版的教材雖沒有對圓柱高進行定義,但教材動態(tài)呈現(xiàn)由面到體旋轉得到圓柱的過程，并在對圓柱各部分名稱（底面、側面、高）的教學當中，定義O'O這條線段為圓柱的高，相關配套教學用書中的解釋為：連接圓柱兩個底面中心的線段就是圓柱的高。這里的高表示的是一條與底面垂直的線段。圓柱的高指的是長度還是線段？更進一步地進行分析，表示長度的“度量值”應該是唯一的，而我們卻經常說圓柱的高有無數條，這些應該如何理解？

在小學階段“圖形的認識”中，常常需要畫出一些圖形的高，這時的“高”指的是一條垂直線段，它是一個圖形；而在計算面積時也會用到高，這時的“高”指的是一條線段的長度，是一個數量。因此，“高”有兩種不同的含義：表示一個圖形（符合特定條件的一條線段）或者指一個數量（該線段的長度）[4]。可見，在討論幾何圖形的高的時候，是有兩個不同層面的意義——高線和高度。高線是一條線段，高度則是高線的度量值[5]。因此我們可以這樣理解，圓柱的高有無數條，是從高線的意義上來講的，所有與底面垂直且在兩底面之間的線段都可以看作圓柱的高；圓柱的高只有一個，是從高度的意義上來說的，圓柱的所有高線的長度度量值都是一樣的。這也說明高既有“形”的意義，也有“量”的意義。在數學中，有些概念的確有多重意義。例如，在不同的背景中，“圓”既可以表示“圓周”，也可以表示“圓面”；三角形、長方形、平行四邊形等平面圖形既可以指這些圖形由邊組成的外圍，也可以包括內部；等號既可以表示計算結果，又能表示左右兩邊相等的關系；而分數，則至少有“部分與整體的關系”“商”“度量”“比”和“運算子”這樣五種不同的意義[6]。

當我們厘清圓柱的高有“高線”和“高度”兩種不同意義后，并不意味著一定要從文字上跟學生講解兩者的不同。理解一個概念，意味著要理解它的準確定義、直觀內容，以及為何需要這個概念、在什么背景下它會發(fā)揮作用[7]。而且，根據上下文，一般都可以判定其中所說的“高”指的是哪一種意義[8]。因此，我們更需要讓學生真正理解圓柱的高的概念本質以及不同的意義，而非單純從文字上判定圓柱的高的定義是否準確，或者回答“圓柱究竟有多少條高”這樣的問題。從這個角度去理解圓柱的高并思考相應的教學，才能站在更高的高度引領學生學習，用更廣的視野主動溝通知識間的聯(lián)系，設計多維的、有層次的學習活動幫助學生認識和理解幾何概念，發(fā)展學生的空間觀念。

二、如何幫助學生更好地理解圓柱的高

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出，空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。[9]學生的空間觀念可以包括以下幾個方面：一是轉化，二是表達，三是分析，四是想象[10]。要發(fā)展空間觀念，首先需要深入地理解一些重要的幾何概念。

在幾何概念的學習中，需要“淡化形式，注重實質”[11]。以“圓柱的高”為例，因為圓柱的高具有“高線”和“高度”的雙重意義，因此，在教學中需要設計多層次的活動，幫助學生建立豐富的圖形表象，從而更好地理解概念本質。

第一，通過觀察認識圓柱的高。教師可以讓學生先觀察圓柱形物體，指出圓柱的高。因為圓柱的母線是在圓柱的外部，學生比較容易找出；可以利用牙簽和牙簽盒這種比較直觀的物體讓學生來認識圓柱的高不止一條；還可以通過切割的方法，把圓柱沿著與底面垂直的方向任意切割，讓學生感受到圓柱的高也存在于它的內部，并且有無數條。這是認識“形”的意義上的“高線”，有無數條。

第二，通過度量認識圓柱的高。教師可以引導學生用不同的方法對圓柱的高進行測量，如直接測量圓柱的母線，用平移法來測量圓柱的高，從不同的位置進行測量，從水平方向對高進行測量。學生在測量的過程中明晰，雖然圓柱的高有無數條，但它們的長度都是一樣的，都是兩個底面之間的距離。這是認識“量”的意義上的“高度”，高度只有一個。

第三，通過運動認識圓柱的高。對于圖形的認識，不僅可以從靜態(tài)的角度去認識它，還可以從動態(tài)的角度去豐富對它的認識。[12]教師可以借助生活中的“旋轉門”等素材，讓學生感受“面動成體”；用貼有長方形小紙片的小棒快速地旋轉一周，得到圓柱，實現(xiàn)二維圖形到三維物體的轉化，并在長方形中尋找圓柱的高。通過這樣的操作、聯(lián)系和想象，能更好地幫助學生理解高的概念，同時發(fā)展空間觀念。

需要指出的是，教師在教學中還需要通過相應的變式讓學生更好地認識圓柱的高，比如改變圓柱放置的位置——豎著放、橫著放、斜著放，讓學生指出它的高，由此意識到不管圓柱擺放的位置如何變化，它的高依然是兩個底面之間的垂直線段，而高度則始終是兩個底面之間的距離；還可以讓學生了解在生活中圓柱的高還有其他名稱，如硬幣的高可以叫厚，煙花筒的高可以叫長，桶的高可以叫深，雖然叫法不同，但指的都是圓柱的高。像這樣通過多種變式，學生能更好地挖掘概念的特征與內涵，多角度、多維度地認識、理解圓柱的高的本質。

三、幾何概念教學的兩點建議

理解圖形概念的本質是第二學段圖形認識的重要教學目標[13]。圓柱的高是構成圓柱的一個要素，同時從“形”和“量”的角度對圓柱進行刻畫。教師可以提供豐富的素材，通過設計多層次的學習活動，從外部到內部，從實物到想象，從觀察到表達，讓學生在觀察、操作、想象等活動中深刻地理解圓柱高的內涵。除了采用豐富的教學內容和手段之外，教師在進行幾何概念的教學時還要重視以下兩個方面。

第一，注重活動經驗的積累。首先，需要積累操作活動經驗，在教學過程中教師要設計豐富的活動，提供充足的時間讓學生動手操作。如從不同的角度測量高以加深對高的認識，用長方形、直角三角形快速旋轉一周來體驗圓柱或圓錐的形成過程。其次，需要積累想象經驗，譬如，拿一張長方形紙，分別用它的長、寬以及長方形的對稱軸進行旋轉，讓學生想象它們旋轉后的圖形，并思考所形成的不同圓柱的表面積和體積與長方形的哪些邊有關。再次，需要積累表達經驗，教師可以為學生提供多種形式的表達圖形的機會，并強調語言的表達。在學習的過程中，通過語言的表達，學生更深入地理解幾何概念，進一步發(fā)展空間觀念。

第二，注重知識和方法的遷移。幾何概念的學習，是建立在已學知識的基礎上的。因此，教師要特別重視幾何概念學習過程中知識的前后聯(lián)系。首先是知識的遷移，學生對高的學習并不陌生，可以將圓柱的高與之前學習的三角形、平行四邊形、梯形等平面圖形的高建立聯(lián)系，讓學生在比較中發(fā)現(xiàn)所有圖形的高都是對距離的描述，是決定圖形大小的要素，但三角形的高描述的是點與線之間的距離，平行四邊形、梯形的高描述的是線與線之間的距離，圓柱的高描述的則是面與面之間的距離。其次是方法的遷移，對高的研究是從三角形開始的，從高的概念、度量值、畫法、測量以及它的長度對三角形大小的影響等方面進行研究，這樣的研究方法同樣可以遷移到對其他圖形高的學習上，包括立體圖形的高。而且，對于幾何圖形中不同要素的學習，也可以從形狀、位置關系、圖形的變換、度量值等方面進行研究。除此之外，像平行四邊形的面積是用轉化的方法進行研究的，研究其他平面圖形的面積、立體圖形的表面積以及體積的時候也可以用同樣的方法。

通過知識和方法的遷移，學生逐步認識到，在“圖形與幾何”的學習中，雖然有些知識從表面上看不一樣，但其本質是相同的，而在方法上也可以進行遷移，從而有意識地形成知識結構網絡，更好地理解幾何概念，掌握幾何學習的方法。