利用圖形等式提高低段學生對數(shù)量關系的理解能力

□ 魏 瓊 湯 驥

學生在解決數(shù)學問題時，需要完成一系列思維活動。有部分學生的解題思維不是建立在對題目數(shù)量關系進行綜合分析的基礎上，而是孤立地以題目中的一些表面的、個別的外部因素為依據(jù)。這一現(xiàn)象在小學低段學生中尤其突出。

【事件回顧】

在一次二年級除法教學的課堂練習中，筆者出示了這樣一道題：每條船可以坐10 個人，現(xiàn)在有2條船，可以坐多少人呢？結果有9 名學生這樣解答：10÷2＝5（人）。筆者與做錯的學生進行了交流。兩名學生的回答很有代表性。

生1：有“每”字就可能是乘法，但口訣里沒有10×2，我們沒學過。

生2：我發(fā)現(xiàn)，問題中有“可以”兩個字就要用除法來做。

從交流中我們不難發(fā)現(xiàn)，除了受思維定式的影響外，部分學生解決應用問題有兩大“法寶”：（1）看關鍵字?？吹健耙还病本褪羌臃?，看到“還?！本褪菧p法，看到“每份”就是乘法。（2）看數(shù)的特征。比如出現(xiàn)23和4，那一定是用加減法來做的；出現(xiàn)24和4，那大致是用除法來做的。至于這道題為什么要用除法來做，量與量之間到底存在哪些關系，這些本質的問題并不在學生的考慮范疇內。

【原因分析】

追根溯源，我們不難發(fā)現(xiàn)，學生在解決問題之起初，憑借的是生活經(jīng)驗，使得他們在解決求總數(shù)、求剩余的應用問題時形成了“一共—加法”“還剩—減法”的簡單聯(lián)系。這些聯(lián)系在日后的練習中得到不斷的強化和印證，逐漸成為學生解題的“法寶”，一旦題目的表達和數(shù)量關系發(fā)生變化，表面的信息不能簡單地加以利用，錯誤就不可避免地發(fā)生了。正是因為學生具有按經(jīng)驗解題的習慣，加上他們的思維具有具象性，所以他們不能用概括化的語言分析題目中的數(shù)量關系，在解決問題時往往會受到量的變化的困擾。

另外從教材的編排來看，數(shù)與代數(shù)的應用問題往往是結合計算教學進行的。計算教學時一般通過實際問題引入，在學生掌握計算方法以后，再進行應用問題解決。這樣分散編排的模式使得解決問題雖大量存在，但由于過分強調的現(xiàn)實情境，造成各類應用問題之間缺少一種內在的聯(lián)系，學生難以理解和把握數(shù)量關系之間的內在聯(lián)系。

【對策思考】

解決應用問題，其基本要素就是情境+數(shù)量關系。傳統(tǒng)的應用問題教學往往是從大量的同類題目練習中，逐步脫去情境“外衣”，提煉出數(shù)量關系。低段學生由于缺乏一定的概括能力和理解能力，并不太容易接受。也正因為如此，《課程標準》中直到第二學段才提出在具體情境中了解常見的數(shù)量關系。那么這些數(shù)量關系在教學問題解決時就不需要了嗎？教師是否可以用一種學生能接受的方式來梳理問題的數(shù)量關系呢？

筆者認為可以用圖形等式表示數(shù)量關系的方式來提高學生對數(shù)量關系的理解能力。其實施步驟如下。

一、以形代數(shù)，架設具體思維到抽象思維的橋梁

用圖形表示數(shù)，可以說是代數(shù)思維的雛形，對于以具體思維為主導的二年級學生來說有一定困難。如何在低段進行代數(shù)思想的滲透呢？教師需要尋找合適的載體和切入口進行滲透和訓練，化難為易，有步驟地讓學生完成由實物到圖形、由數(shù)到圖形的轉化。

事實上，仔細研讀教材就會發(fā)現(xiàn)，二年級教材提供了許多合適的載體。比如教材在線段圖形成的處理上就循序漸進地展現(xiàn)了由實物到線段圖的轉變過程。教師在教學時可以抓住這些素材，有目標、系統(tǒng)地對學生進行訓練，讓學生體會物與形的變化過程。

在此過程中，教師還可以借助練習進行數(shù)到形的轉化。比如可以將這樣的練習“在（ ）里填數(shù)：6×（ ）＝42”改為“6×△＝42，想想△等于幾，這個式子可以表示什么意思”，讓學生知道圖形可以代表未知數(shù)。再如在學生對乘法有了進一步的理解之后，教師可以設計如下練習（如圖1），讓學生想一想，如果這樣一直表示下去，能表示完嗎？如果用圖形來表示數(shù)，螃蟹的腿可以怎么來表示？

圖1

有了前面的基礎，學生很快就能說出可以用4×△，4×☆等來表示螃蟹腿的條數(shù)，充分體會到用形代數(shù)的優(yōu)勢。通過引導還可以讓學生意識到，不管符號的形象如何改變，只要它所代表的關系結構不變，它的本質意義就不會改變。久而久之學生對圖形產(chǎn)生熟悉感，對由圖形表示的數(shù)感到習以為常，對圖形參與運算逐步認同，對式可以表示量也慢慢熟悉了。

二、圖形推算，積累“式”的感性經(jīng)驗

從算術思維到代數(shù)思維是學生認知結構的一次質的飛躍，因此在實施時會受到學生所擁有的知識背景及思維定式的影響。像在上述類似“6×△＝42”的練習中，我們發(fā)現(xiàn)學生往往會根據(jù)“因數(shù)=積÷另一個因數(shù)”來思考，也就是說，雖然學生接受圖形可以表示數(shù)，但其思考過程仍然是由已知來推導未知，在他們的意識中，未知量是不可以參與運算、不可以用于表達關系的。針對這一問題，教師可以在學生對圖形參與運算逐步認同的基礎上，安排一些簡單的圖形推算，讓圖形參與運算，學生由此積累關于代數(shù)的感性知識，逐步達成對代數(shù)語言的初步理解和基本應用。比如在下面的練習中（如圖2），教師可以補充圖形題，讓學生體會到，只要意義相同，未知量可以和已知量一樣進行列式，含有未知量的式子可以表示一種關系、一種量。

圖2

三、轉換情境，感受數(shù)量關系的本質

在學生對圖形算式有了充分積累的基礎上，教師可以通過圖形等式，把最基礎的數(shù)量關系展現(xiàn)在學生面前，讓學生來編應用題。如根據(jù)21+△=40，讓學生想想這里的每一個量可能表示什么，引導學生為這些關系套上情境“外衣”，在大量的情境中感受數(shù)量關系，理解不管情境如何變化，其數(shù)量關系的本質都是一樣的。

在學生對數(shù)量關系有了本質的了解后，教師可以改變同一關系的未知量，引導學生對這些問題進行變化和歸類。比如上面的21+△=40，可以讓21，40 成為圖形代替的未知量，讓學生在編題組的過程中，體會這三個題可以用同一種關系進行思考，并利用“圖形推算”體會某種數(shù)量關系是可逆可換的，逐步形成所涉及的幾類一步計算應用問題的模型建構。

如果學生基礎較好，教師還可以進行稍復雜的關系整理，比如結合下面例題（如圖3），引導學生用“△”表示還要烤的次數(shù)，表達為：36+9×△＝90，并出示對比題組，分別將36，9，90 等設置為未知量，讓學生感受到雖然未知量不同，但當用圖形來表示它們之間的關系時，其實并沒有發(fā)生變化。通過教學，幫助學生逐步形成用圖形表示數(shù)來分析和解決問題的意識。

圖3

四、抓住主干，建立兩步計算應用題模型

為了讓學生更好地理解和解決問題，教師可嘗試用圖形等式來引導學生理解兩步計算應用題的解題主干和順序。

二年級的兩步計算應用題數(shù)量關系大致可以分為兩大類：一類是按前后順序進行的，比如說乘車問題，學生只要根據(jù)事情發(fā)展的前后順序進行列式計算就可以，問題不大；另一類是有主次之分的，如乘加、乘減等類型，由于變化相對復雜，學生在理解時就容易出現(xiàn)偏差。這類應用題也是教師重點指導的對象。

在教學二年級乘加兩步計算應用題時，教師可以采用以式換數(shù)、以式換形等多種形式，從題目主干出發(fā)，讓學生體會到式也是數(shù)，可以參與運算，建立兩步計算應用題的模型。比如將形如24+6=30的算式作為問題主干，讓學生通過變換情境體會不同情境下相同的數(shù)量關系，將此算式變換為4×6+6=30，24+24÷4=30，讓學生將自己編寫的情境也作相應的改變。學生體會到在這里，24和4×6其實是等價的。基礎不錯的學生還可以進一步改變未知量，出現(xiàn)形如24+△=30 的問題主干進行變化。像這樣，不斷引導學生把式與數(shù)、式與量聯(lián)系起來，對于提升學生的問題分析能力大有幫助。

我們完全相信，當學生對用圖形等式表示數(shù)量關系能運用自如之后，圖形等式將作為一個重要的工具，幫助學生關注問題的本質，正確地表達數(shù)量關系，從而擁有更高層次的數(shù)學解題能力。