基于算理理解的定律模型教學(xué)策略
——以人教版“乘法分配律”教學(xué)為例

□ 張 梁 裘 斐

運(yùn)算定律在計算以及解決實際問題中起著重要的作用，對小學(xué)生來說，正確運(yùn)用運(yùn)算定律不易，尤其是乘法分配律，學(xué)生極易出錯，是一個教學(xué)難點(diǎn)。通過分析發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生未能充分理解乘法分配律的算理，缺乏完整的建模過程，導(dǎo)致問題出現(xiàn)。以下是筆者對人教版四年級下冊“乘法分配律”一課的教學(xué)研究，重在以算理構(gòu)建運(yùn)算定律的模型。

一、教學(xué)過程及問題分析

【案例呈現(xiàn)】

1.情景導(dǎo)入。一共有25個小組，每組4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹。求一共有多少人參加植樹活動？

2.探究新知。學(xué)生列出等式（4+2）×25=4×25+2×25，再列舉類似的等式，歸納出乘法分配律的規(guī)律，并用字母表示。

3.鞏固練習(xí)。簡便計算練習(xí)：54×3+54×7；36×101。

雖然課堂上學(xué)生練習(xí)的正確率還算高，但課后測評作業(yè)情況不容樂觀，說明學(xué)生在乘法分配律的理解上還存在一定的缺陷。

【問題分析】

筆者對學(xué)生的課后測評情況加以統(tǒng)計并進(jìn)行了問題分析。

?

問題1：分配不全。第①題學(xué)生已經(jīng)關(guān)注到把101 拆分成“100+1”，但是沒有考慮算式的意義，“101×48”表示101 個48，而“100×48+1”卻表示100個48多1，誤把“1×48”寫成了“1”，忽略“一個幾”的乘法意義。

問題2：缺少相同乘數(shù)。第②題學(xué)生把兩個乘數(shù)同時進(jìn)行了拆分，將102拆分成“100+2”，88拆分成“80+8”。這樣的拆分缺少相同的乘數(shù)，顯然學(xué)生是在死板地套用乘法分配律的形式，對于乘法分配律模型的理解不夠。

問題3：混淆運(yùn)算定律。第③題錯誤率最高，學(xué)生將乘法結(jié)合律和乘法分配律混淆，無法辨析兩者的意義和形式，算理和算法脫節(jié)，解題受到表象的干擾。

筆者認(rèn)為，這樣的教學(xué)輕視了乘法分配律意義的理解，構(gòu)建乘法分配律模型的過程比較模糊，造成部分學(xué)生對于乘法分配律的理解滯留在表面，注重結(jié)構(gòu)記憶，缺乏系統(tǒng)化的認(rèn)識。

二、以算理構(gòu)建運(yùn)算定律模型的教學(xué)策略

（一）多類材料，抽象模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。”因此教師可以選取貼近學(xué)生生活經(jīng)驗的不同材料，借助熟悉的生活事例以及直觀圖得出等式，以幫助學(xué)生明確算理，感知乘法分配律模型。

人教版教材通過創(chuàng)設(shè)情境圖提出不同的問題，將乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律貫穿一線，這樣的編排有利于教學(xué)資源的整合，能培養(yǎng)學(xué)生有效選擇信息、解決問題的能力。但是筆者認(rèn)為，由于題目中的信息量較大，容易混淆，反而不利于聚焦研究的重點(diǎn)。因此筆者在教學(xué)時選擇了以下兩種學(xué)習(xí)材料。

1.生活材料

創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境作為教學(xué)切入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的需要，幫助學(xué)生搭建新舊知識溝通的橋梁，使“事理”上升到“數(shù)理”。

材料1借助生活情境，讓學(xué)生解釋算式：“10套衣服的錢就是6套衣服的錢加上4套衣服的錢?！辈⒖梢詫⒋死斫鉃椋?0 個 80 等于 6 個 80 加 4 個 80。由此學(xué)生初步抽象出乘法分配律模型。

2.直觀材料

中段學(xué)生的抽象思維能力還比較薄弱，往往說理的時候表達(dá)不清楚，教師可以借助直觀的幾何圖形，通過數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學(xué)生直觀而有效地抽象出乘法分配律模型。

材料2借助幾何圖形，讓學(xué)生直觀闡述算式的意義：“長加寬的和乘2等于長乘2加寬乘2?！庇商厥獾揭话?，從而歸納出有關(guān)周長公式的等式：周長=（長+寬）×2=長×2+寬×2 。教師隨即追問：（長+寬）×2=長×2+寬，可以嗎？學(xué)生結(jié)合圖作出解釋：不可以，因為等式左邊求的是周長，而右邊只算了兩條長和一條寬，不是周長。通過圖與算式的緊密聯(lián)系，學(xué)生能更好地理解并抽象出乘法分配律模型。

（二）循序漸進(jìn)，建立模型

葉圣陶先生曾說過：教是為了不教。學(xué)生要真正構(gòu)建乘法分配律模型，需要經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使具象思維轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笏季S。

1.自主探究，初建模型

自主探索與合作交流是《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的學(xué)習(xí)要求，學(xué)生通過自主探究，能完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，逐漸培養(yǎng)推理能力和建模能力。

【教學(xué)片段1】

師：你能模仿等式（6+4）×80=6×80+4×80 列出類似的等式嗎？

（學(xué)生獨(dú)立列式。匯報交流時教師選擇學(xué)生列舉的3個等式板書在黑板上）

師：觀察這4 個等式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？先觀察等號左邊有什么相同的地方，右邊呢？想一想，小組成員之間說說看。

生：左邊的算式都有括號。

生：左邊是先加后乘，右邊是先乘后加。

生：右邊的算式和左邊的算式末尾的數(shù)都是相同的。

生：左邊的算式都是括號里兩個數(shù)加起來乘一個數(shù)，右邊的算式是括號里的兩個數(shù)拿出來與這個數(shù)相乘。

……

師（概括總結(jié)）：乘法分配律就是兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加。

學(xué)生在模仿列舉等式的過程中，自然而然地完成了猜測與驗證，接著通過自主探索、辨析交流，找出規(guī)律，說出等式左右兩邊的相同點(diǎn)，從而初步建立乘法分配律的模型，同時提高了分析、歸納、推理的能力。

2.知識聯(lián)系，鞏固模型

數(shù)學(xué)知識之間存在一定的聯(lián)系，是一個完善的知識體系。筆者借助學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，讓學(xué)生經(jīng)歷列豎式計算的過程，將列豎式計算與乘法分配律運(yùn)算緊密結(jié)合，因此鞏固了模型。

【教學(xué)片段2】

師：請你在草稿紙上進(jìn)行豎式計算25×12。

師：在豎式計算過程中是否也運(yùn)用了乘法運(yùn)算定律？又是如何運(yùn)用的呢？

生：運(yùn)用了乘法分配律，把12 拆分成了10 和2，然后分別與25相乘，再把兩個積相加。就是2個25加上10個25，表示12個25。

師：所以，我們也可以得到等式25×（2+10）=25×2+25×10。（師板書)

學(xué)生通過經(jīng)歷完整的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算過程，說出了豎式計算中如何運(yùn)用乘法分配律：12拆分成2個10，分別與25相乘，也就是2個25加上10個25，表示12個25相加，由此鞏固了模型，同時也提升了學(xué)生遷移運(yùn)用知識的能力。

3.多種表征，理解模型

在抽象、初建、鞏固模型的基礎(chǔ)上，通過語言、文字、畫圖等方式表征模型，從具象到符號，促進(jìn)學(xué)生深層次地理解模型，從而有效構(gòu)建乘法分配律模型。

【教學(xué)片段3】

（1）讀一讀。

師：請大家讀一讀等式（6+4）×80=6×80+4×80，（75+25）×2=75×2+25×2。

生：6 與 4 的和乘 80 等于 6 乘 80 的積加 4 乘 80的積。

生：75與25的和乘2等于75乘2的積加25乘2的積。

（2）填一填。

教師出示如下式子，請學(xué)生填一填。

①（▲+■）×8=○×8+○×8

②（60+40）×★=60×○+40×○

（3）說一說。

教師出示如下式子，請學(xué)生說一說。

①（▲+■）×8=▲×8+■×8

②（60+40）×★=60×★+40×★

生：▲和■這兩個數(shù)加起來乘8等于這兩個數(shù)分別乘8，再加起來。

生： 100乘★等于60乘★加40乘★。

（4）寫一寫。

師：能用你喜歡的方式來表示這樣的等式嗎？

生：（△+☆）+□=△×□+☆×□。

生：(甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

……

師：你們真了不起，能夠用這么多不同的形式來表示乘法分配律！

師：你覺得哪種表示方法更簡便？

生：用字母表示更簡便。

學(xué)生通過讀一讀、填一填、說一說，感受這些等式都是“兩個數(shù)的和乘一個數(shù)等于兩個數(shù)分別乘一個數(shù)，再把兩個積相加”的形式，鞏固了乘法分配律的模型。最后教師讓學(xué)生用自己喜歡的方式寫一寫乘法分配律模型，抽象出簡潔的數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)學(xué)生的建模意識和符號意識，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。

（三）分層練習(xí)，應(yīng)用模型

通過辨析判斷，簡便計算，解決生活實際問題,讓學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律模型的基礎(chǔ)上，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

如教師可出示以下練習(xí)：

①判斷下列算式是否正確，正確的打“√”，錯誤的打“×”。

56×（19+28）=56×19+28 （）

32×（7×3）=32×7+32×3 （）

64×64+36×64=（64+36）×64 （ ）

②運(yùn)用簡便計算計算下列各題。

36×101 48×99 54×3+54×7

③解決問題。

運(yùn)動會上，老師給45 位學(xué)生每人發(fā)了一瓶水和一個小蛋糕，水每瓶2 元，小蛋糕每個8 元，老師一共花了多少錢？

（四）舉一反三，類比推理

學(xué)生熟練應(yīng)用模型后，教師可嘗試通過類比推理的方式進(jìn)行拓展，讓學(xué)生體驗到學(xué)以致用的樂趣。

（1）乘法對減法是否也有分配律呢？例如：（6-4）×80=6×80-4×80 等式成立嗎？學(xué)生通過驗證發(fā)現(xiàn)這一運(yùn)算律同樣適用于減法，并用算理解釋：2個80等于6個80減去4個80。

（2）括號里的加數(shù)多于兩個還成立嗎？例如：（6+4+2）×80=80×6+80×4+80×2，學(xué)生通過驗證發(fā)現(xiàn)這個等式也是成立的，同樣用算理解釋：12個80等于6個80加4個80加2個80。