基于核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)概念探究

【摘要】在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是教學(xué)任務(wù)之一.數(shù)學(xué)概念是揭示事物的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系、空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式.教師如果把缺乏數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)特征的揭示過程作為載體的思維探究活動(dòng)來設(shè)計(jì)教學(xué)，將喪失“使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過程”的機(jī)會(huì)，浪費(fèi)了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的好素材.探究過程中沒有實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考，將使培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力、發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力等核心素養(yǎng)落空.本文從反函數(shù)、相同函數(shù)的概念，以及運(yùn)算性質(zhì)、公式的推廣等方面對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)再認(rèn)識(shí)，就是從概念的定義出發(fā)，由表及里，去偽存真，掌握概念的本質(zhì)屬性，這是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件，也是建議改動(dòng)形式函數(shù)定義的一個(gè)原因.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)概念;概念修改

【基金項(xiàng)目】本文系甘肅省白銀市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題（課題批號(hào)BY[2019]G299號(hào)）研究成果.

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在課程“基本理念”中提出了“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培養(yǎng)科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的課程理念[1].數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)主要由數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面組成，這些核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是教學(xué)任務(wù)之一.數(shù)學(xué)概念是揭示事物的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系、空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式.數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程.數(shù)學(xué)具有高度抽象的特點(diǎn)，要求我們能從具體事物中區(qū)分、抽取研究對(duì)象的本質(zhì)特征，即抽象概括，通過抽象概括的過程，認(rèn)識(shí)和理解研究對(duì)象.數(shù)學(xué)概念的獲得離不開數(shù)學(xué)抽象的過程，而數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之首，因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就成為培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).

二、問題所在

回顧自己數(shù)學(xué)概念的教學(xué)和聽取幾位老師對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)評(píng)論，總覺得有些地方著力不夠.比如現(xiàn)實(shí)中，教師從一個(gè)特例揭示概念，學(xué)生通過單純的記憶掌握概念，這樣的情形還是普遍存在的，其結(jié)果往往是學(xué)生記住了概念的外在表述形式，但沒有深入理解概念的內(nèi)在含義.這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生完全不了解知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，也很難形成學(xué)習(xí)方法上的建構(gòu)，更難以提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).再如，在教學(xué)中既缺乏以數(shù)學(xué)概念的抽象過程為載體的學(xué)生認(rèn)知過程分析，時(shí)有照本宣科的灌輸現(xiàn)象，又缺乏數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的揭示過程為載體的思維探究活動(dòng)設(shè)計(jì)，而對(duì)概念的機(jī)械性記憶和性質(zhì)的程式化訓(xùn)練樂此不疲.可見概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán).數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異關(guān)鍵是對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異.因此，抓好概念教學(xué)可提高大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高可以為學(xué)生的各項(xiàng)能力和素質(zhì)的培養(yǎng)提供有利條件和必要保障[2].

例1 下列函數(shù)（1）y=3log43√x;（2）y=logπx;（3）y=2log2x;（4）y=log5x;（5）y=log3（x+1）中，對(duì)數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.

A. 2B.3C.4D. 5

分析 一般地，我們把形如y=logax（a>0且a≠1）的函數(shù)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)（logarithmic function），其中x為自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）.

注意 ①底數(shù)：a是大于0且不等于1的常數(shù);②真數(shù)：自變量是x，且大于0;③系數(shù)：對(duì)數(shù)符號(hào)前面的系數(shù)是1.

解析 對(duì)數(shù)函數(shù)定義與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，需要注意辨別.如y=log3x3，y=log5（5x） 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)樗鼈儾环蟳=logax對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).

例1答案選A似乎正確.因?yàn)橹挥校?）（4）符合對(duì)數(shù)函數(shù)的形式定義，殊不知（1）（3）也為對(duì)數(shù)函數(shù)，應(yīng)該選C.

由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaMn=nlogaM?? （n∈R），

它們都是對(duì)數(shù)函數(shù)，但y=log2x2y=log2|x|卻不是對(duì)數(shù)函數(shù).

另外，求（1）（3）兩個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，得到的都是指數(shù)函數(shù)y=ax的形式.由于指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax，也說明這兩個(gè)函數(shù)都能化成對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，故其為對(duì)數(shù)函數(shù).

例2 下列函數(shù)（1）y=log2x;（2） y=log2x+2;（3）y=8log2（x+1）;

（4）y=logx6? （x>0且x≠1）;（5）y=log6x中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的是.

答案 （1）（5）.

解析 就像y=3/x3與y=x2，y=x2與y=x是同一函數(shù)一樣，y=log2x 與y=log4x的定義域相同，值域相同，圖像也完全一樣，所以y=log2x就是對(duì)數(shù)函數(shù)y=log4x.

再如例3：

例3 如果函數(shù)f（x）=（m2+2m-2）x1m2-1+2n-3是冪函數(shù)，求實(shí)數(shù)m，n的值.

解析 一般地，我們把形如y=xa的函數(shù)叫作冪函數(shù)（power function），其中x為自變量，a為常數(shù).

注意：y=xa中，xa前面的系數(shù)是1，后面沒有其他項(xiàng).

解 由題意，得m2+2m-2=1，m2-1≠0，2n-3=0，解得m=-3，n=32.

例4 已知函數(shù)y=（a2-a-5）ax是指數(shù)函數(shù)，則a=，指數(shù)函數(shù)的解析式為.

解析 一般地，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫作指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

注意 ①ax的系數(shù)是1;② 自變量x在指數(shù)位置;③底數(shù)是a>0且a≠1的常數(shù).

解 依題意，令a2-a-5=1，解得a=3或a=-2.

又a>0且a≠1，所以a=3，

所以指數(shù)函數(shù)的解析式為y=3x.

三、問題解決

只要我們把課本中的形式定義“一般地，我們把形如……的函數(shù)叫作……”改為“一般地，我們把能夠化為……的函數(shù)叫作……”，雖然冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念修改前后變化不大，但能使上述問題迎刃而解.例如，把“一般地，我們把形如y=xa的函數(shù)叫作冪函數(shù)，其中x為自變量，a為常數(shù)”改為“一般地，我們把能夠化為y=xa的函數(shù)叫作冪函數(shù)，其中x為自變量，a為常數(shù)”，把指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)也都改成這樣的描述，則以下習(xí)題師生做起來不會(huì)再含糊不清.

教師將核心素養(yǎng)目標(biāo)滲透到教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過科學(xué)合理的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展、自我超越、自我升華，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，發(fā)展學(xué)生的理性思維能力，使學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中得到自主的發(fā)展.教師對(duì)概念的講解要從實(shí)際情景出發(fā)，精心設(shè)計(jì)體驗(yàn)過程，要及時(shí)有效地解決教學(xué)過程中產(chǎn)生的問題，采用不同的教學(xué)方法，讓學(xué)生通過觀察、分析、揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).為學(xué)習(xí)新知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，要讓學(xué)生真正理解概念，讓學(xué)生從死記硬背和“標(biāo)準(zhǔn)”解題步驟中解放出來.這就決定了教師需要站在更高層面，對(duì)數(shù)學(xué)概念有更深層次的理解，分析每個(gè)例題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì).數(shù)學(xué)概念的生成正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性[4].

概念教學(xué)不可缺少思維，思維教學(xué)必須回到概念.概念的形成要從具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性，這一過程是一種帶有較多發(fā)現(xiàn)性的學(xué)習(xí)方式，所以在上課過程中必須積極指導(dǎo)，才能提高教學(xué)效果.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)之一，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“細(xì)胞”，是建立數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，正確理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)理論的前提.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)必須通過一定的練習(xí)來分清易于混淆的界限，也可以通過研究討論其他的一些概念，如本文從反函數(shù)、相同函數(shù)的概念，以及運(yùn)算性質(zhì)、公式的推廣等方面對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)再認(rèn)識(shí)，就是從概念的定義出發(fā)，由表及里，去偽存真，掌握概念的本質(zhì)屬性，這是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件.以上是本人對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)概念教學(xué)時(shí)的一些簡(jiǎn)單思考與認(rèn)識(shí)，提出共商榷.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]楊艷榮.以“核心素養(yǎng)”為培育目標(biāo)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J].雜文月刊（教育世界），2016（11）：129.

[3]王虎程.抓住概念核心，直擊概念本質(zhì)：例談冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（22）：111.

[4]岑國(guó)勇.一堂數(shù)學(xué)概念課的反思[J].貴州教育，2008（6）.