三角函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)錯(cuò)誤分析及其應(yīng)對(duì)策略

董朝霞

【摘要】三角函數(shù)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，常見(jiàn)的有填空題、選擇題、應(yīng)用題等多種題型，是關(guān)注度極高的一項(xiàng)數(shù)學(xué)內(nèi)容.相較于其他數(shù)學(xué)知識(shí)而言，三角函數(shù)涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，學(xué)習(xí)起來(lái)有一定難度，因而在三角函數(shù)問(wèn)題中出現(xiàn)了很多錯(cuò)誤.本文將對(duì)三角函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，同時(shí)舉例進(jìn)行探究，通過(guò)分析錯(cuò)誤原因，從中總結(jié)出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)策略，以解決三角函數(shù)學(xué)習(xí)中所遇到的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);常見(jiàn)錯(cuò)誤;應(yīng)對(duì)策略

三角函數(shù)是除指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)之外的另一種具體函數(shù)，它能夠有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且在實(shí)際生活中也有較高的利用價(jià)值.就目前中學(xué)生的三角函數(shù)學(xué)習(xí)情況而言，可能由于三角函數(shù)所包含的知識(shí)點(diǎn)比較復(fù)雜，靈活性較強(qiáng)，又多以與其他題型相結(jié)合的形式出現(xiàn)在題目中，導(dǎo)致三角函數(shù)的學(xué)習(xí)難度較大，學(xué)生對(duì)字母、符號(hào)的理解及基本概念的掌握程度不夠，數(shù)學(xué)成績(jī)不理想.為了解決學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)過(guò)程中所遇到的困難，提高學(xué)習(xí)效率，對(duì)三角函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行分析并提出應(yīng)對(duì)策略是極為必要的.

一、三角函數(shù)常見(jiàn)的幾種錯(cuò)誤類(lèi)型

我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤，大致來(lái)說(shuō)這些錯(cuò)誤可歸納為邏輯性、知識(shí)性、策略性等幾種類(lèi)型的錯(cuò)誤，具體如下.

1.邏輯性錯(cuò)誤

邏輯性錯(cuò)誤是由于學(xué)生自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)存在局限性從而在解題時(shí)出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤，其本質(zhì)是因?qū)W生存在知識(shí)上的缺陷而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，造成錯(cuò)誤的知識(shí)盲點(diǎn)在于邏輯思維上的錯(cuò)誤而不是數(shù)學(xué)本身.

于是在解題的過(guò)程中就容易出現(xiàn)偷換概念、分類(lèi)不當(dāng)、不等價(jià)變換、循環(huán)論證等幾種常見(jiàn)的邏輯性錯(cuò)誤.如循環(huán)論證中對(duì)于論據(jù)的真實(shí)性有賴于論題的真實(shí)性，只有論據(jù)真實(shí)才能論證出論題的真假，論據(jù)、論證、論題是數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)成的三要素.又如不等價(jià)變換也屬于邏輯性錯(cuò)誤中的一種，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是違反了同一律原則，這樣在解題時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)對(duì)命題的不等價(jià)變換，直接導(dǎo)致解集擴(kuò)大或縮小.

2.知識(shí)性錯(cuò)誤

知識(shí)性錯(cuò)誤是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科中的有關(guān)概念未能正確理解，出現(xiàn)概念、性質(zhì)的混淆不清而產(chǎn)生的錯(cuò)誤.數(shù)學(xué)學(xué)科具有知識(shí)連貫性和邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，而三角函數(shù)所涉及的概念、公式、定理等，學(xué)生如果理解不足，解題時(shí)就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因多與相關(guān)的基本知識(shí)未能很好掌握有關(guān)，如對(duì)基本概念理解不足，或者只看函數(shù)圖像，或者只以公式為思考依據(jù)，均會(huì)直接影響解題的正確性，造成解題錯(cuò)誤.公式、定理的推導(dǎo)過(guò)程往往有幾種不同的方法，通常教材上的方法最簡(jiǎn)單直觀，而例題和練習(xí)題的解題方法和結(jié)論往往是論證新問(wèn)題的依據(jù)，教師要留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生用不同的解題方法去探究，有助于學(xué)生更深入地理解概念，更靈活地應(yīng)用公式、定理，使學(xué)生對(duì)教材中的概念、公式等有系統(tǒng)而深刻的認(rèn)識(shí).

3.策略性錯(cuò)誤

策略性錯(cuò)誤主要是指學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)對(duì)解題方向存在偏差，以致解題思路不對(duì)，在思考的過(guò)程中出現(xiàn)思路受阻而難以解題的現(xiàn)象，當(dāng)然也存在這樣一種可能，由于解題的思路太過(guò)曲折，學(xué)生最終就算完成解題且答案正確，但卻耗費(fèi)了大量時(shí)間和精力，從而影響解題的效率.通常我們?cè)诮忸}時(shí)習(xí)慣從問(wèn)題的正面去思考，而沒(méi)有產(chǎn)生從反面去思考的意識(shí)，而有些數(shù)學(xué)問(wèn)題從正面思考和解決往往存在較大的難度，會(huì)使問(wèn)題變得更加復(fù)雜，這樣不僅耗時(shí)費(fèi)力還易造成解題的錯(cuò)誤.因此教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)在解題的過(guò)程中轉(zhuǎn)換思維，當(dāng)面臨正面思考解題存在難度的情形時(shí)，應(yīng)用逆向思維，靈活巧妙地運(yùn)用自身所學(xué)的數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)從問(wèn)題的反面去思考、解決問(wèn)題.此外，審題過(guò)程中過(guò)于主觀臆斷也是造成策略性錯(cuò)誤的因素之一，主觀臆斷主要是我們心理上產(chǎn)生了誤區(qū)而引起的，例如在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，即使我們對(duì)數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)以及解題答題的技巧完全掌握，但心理上的誤區(qū)往往容易導(dǎo)致我們的主觀臆斷，從而影響解題的正確性，同時(shí)這種影響對(duì)我們自身而言也是致命性的，因此要想消除主觀臆斷，不犯這種策略上的錯(cuò)誤，就必須克服這種心理上的誤區(qū).

二、三角函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的幾種錯(cuò)誤分析

1.忽視題目中的已知條件

在三角函數(shù)解題過(guò)程中，比較常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題是通過(guò)已知的函數(shù)值解出其他角或邊的值，這種情況下往往會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有認(rèn)真審題，或者對(duì)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)印象模糊，而忽略題目中已經(jīng)給出的重要條件，不能抓住要點(diǎn)，將所求的值縮小到一定范圍，極大地增加了解題難度.

2.對(duì)定義域理解不準(zhǔn)確

定義域是指函數(shù)f（x）中x的取值范圍，是函數(shù)最重要的因素之一，特別是在三角函數(shù)中，定義域的作用至關(guān)重要，解答函數(shù)問(wèn)題首先要保證定義域的準(zhǔn)確，定義域的錯(cuò)誤極有可能導(dǎo)致三角函數(shù)問(wèn)題的解答錯(cuò)誤.在解決三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，存在很多對(duì)定義域的含義理解有誤的現(xiàn)象，忽略定義域，對(duì)取值范圍不明確，致使答題錯(cuò)誤.

3.對(duì)三角函數(shù)平移基本概念理解不足

在三角函數(shù)的分析過(guò)程中，平移問(wèn)題是極為典型的一類(lèi)考點(diǎn)，在考題中占有一定的比重，而就目前三角函數(shù)教學(xué)的實(shí)際情況來(lái)看，有很多學(xué)生對(duì)三角函數(shù)平移基本概念的理解和掌握還存在不足，比如平移的方向和函數(shù)式的轉(zhuǎn)換，在解題過(guò)程中要么只看函數(shù)圖像，要么只以公式為依據(jù)，致使解題錯(cuò)誤頻發(fā).比如正弦型函數(shù)的平移變換過(guò)程中平移的量學(xué)生經(jīng)常出錯(cuò)，解決方法是需要將函數(shù)變?yōu)閥=Asin（ωx+φ），平移的量為φω個(gè)單位，方向根據(jù)φω的符號(hào)，結(jié)合“左加右減”來(lái)判斷是向左平移還是向右平移.

4.解題易受函數(shù)圖像變換的影響

三角函數(shù)所涉及的知識(shí)點(diǎn)范圍較廣，在解題過(guò)程中應(yīng)用的難度相對(duì)較大，圖像和函數(shù)公式相結(jié)合的方式減輕了解題的難度，但是在這個(gè)過(guò)程中也存在一個(gè)問(wèn)題，就是三角函數(shù)圖像變換是多樣的，比如包含有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換等，如果對(duì)函數(shù)圖像的特性及其所隱含的條件掌握不足，就會(huì)因圖像變化而忽略原本的解題條件，被圖像誤導(dǎo)而造成解題錯(cuò)誤.

三、三角函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)錯(cuò)誤的應(yīng)對(duì)策略

1.認(rèn)真審題，充分利用已知條件

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)需要我們?cè)诮忸}的過(guò)程中，對(duì)于忽視題目中已知條件的問(wèn)題，要從認(rèn)真審題著手，多讀題目，找出已知條件，對(duì)題目中的已知或隱含條件仔細(xì)分析，認(rèn)真推理，題目中所存在的每一個(gè)條件都蘊(yùn)含一定的信息，往往可推理出隱含條件，甚至是幾條隱含條件.隱含條件有些隱含在公式和概念中，有些隱含在公式變形中，有些隱含在角的取值范圍中，有些則隱含在一元二次方程的判別式中.當(dāng)隱含條件推理出來(lái)后，就變成了已知條件.這樣隱含條件就派上了用場(chǎng)，將已知條件和隱含條件結(jié)合起來(lái)進(jìn)行解題，對(duì)解題具有引導(dǎo)作用和極大幫助，不可輕視.

例如：已知三角形一個(gè)角為60°，面積為103 cm2，周長(zhǎng)為20 cm，求三角形的各邊長(zhǎng).可設(shè)C=60°，三角形的三邊分別為a，b，c，a+b+c=20，則面積S=12absin C=103，解出ab=40，由余弦定理可知，cos C=a2+b2-c22ab=（a+b）2-2ab-c22ab=12，將ab=40代入得（a+b）2=c2+120，又因?yàn)閍+b+c=20，（a+b）2=（20-c）2=c2+120，解方程得c=7，故a+b=20-c=13，由a+b=13與ab=40可得a=5，b=8或a=8，b=5.即三角形的各邊長(zhǎng)分別為5 cm，7 cm，8 cm.

2.強(qiáng)化定義域概念，把握三角函數(shù)自身特性

三角函數(shù)的核心之一是定義域，其性質(zhì)大多依賴于函數(shù)的定義域，因此離開(kāi)三角函數(shù)定義域這一先決條件，來(lái)談?wù)撊呛瘮?shù)的性質(zhì)如圖像、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性均是毫無(wú)意義的.這就要求我們加強(qiáng)對(duì)函數(shù)定義域概念的理解和掌握，準(zhǔn)確把握三角函數(shù)自身的特性.解決對(duì)三角函數(shù)定義域認(rèn)識(shí)不足的問(wèn)題，要從以下方面進(jìn)行強(qiáng)化：注意三角函數(shù)的隱含條件，函數(shù)為整數(shù)形式和指數(shù)函數(shù)時(shí)，可取一切實(shí)數(shù);若為分?jǐn)?shù)形式，則分母不得為零;以二次根式為主的偶次根式，被開(kāi)方式不可為負(fù)數(shù);對(duì)數(shù)形式的函數(shù)要求真數(shù)大于零，在求三角函數(shù)的定義域時(shí)，還要考慮其在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào).比如求函數(shù)y=1-cos x2sin x-1+lg（2cos x+2）的定義域時(shí)，首先應(yīng)考慮根號(hào)內(nèi)的數(shù)非負(fù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必為正數(shù)，故1-cos x2sin x-1≥0，2sin x-1≠0，2cos x+2>0，又因?yàn)?-cos x≥0，推出2sin x-1>0，所以sin x>12，cos x>-22，綜合上面兩步可得出x屬于2kπ+π6，2kπ+3π4，k∈Z.

3.深化三角函數(shù)平移規(guī)律，學(xué)會(huì)公式轉(zhuǎn)換

三角函數(shù)圖像平移變換問(wèn)題，學(xué)生很容易出錯(cuò)，可以采取兩種方案來(lái)平移，一是“先左右再周期”，二是“先周期再左右”，掌握了這一技巧，解決三角函數(shù)這類(lèi)的題型就不會(huì)有什么問(wèn)題.三角函數(shù)的平移解題策略要把握以下幾點(diǎn)：首先看平移要求，需要將哪個(gè)函數(shù)平移到哪個(gè)函數(shù)，然后看函數(shù)形式和移動(dòng)方向，移動(dòng)的方向我們一般會(huì)記為“正向左，負(fù)向右”，最后就是看移動(dòng)單位.做好這幾點(diǎn)，就能夠避免一些常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤.在解決一個(gè)函數(shù)平移到另一個(gè)函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，始終以y=Asin（ωx+φ）的形式為依據(jù)，若題目中的函數(shù)不是這個(gè)形式，則要將其轉(zhuǎn)換為這種形式.比如將y=sin x變化為y=sin（1.5π-2x）的問(wèn)題，y=sin（1.5π-2x）=sin-2x-3π4=-sin 2x-3π4，先把y=sin x以x軸為對(duì)稱軸進(jìn)行對(duì)稱變化，再沿x軸正方向平移3π4個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12即可.

4.掌握三角函數(shù)中圖像的應(yīng)用

要想做好三角函數(shù)圖像的應(yīng)用題，就要熟練掌握函數(shù)圖像與性質(zhì)，三角函數(shù)的研究離不開(kāi)圖像，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)觀察函數(shù)圖像可以掌握三角函數(shù)的性質(zhì).作三角函數(shù)圖像時(shí)，先要確定其定義域，若是具有周期性特征的函數(shù)，首先應(yīng)求出其周期，再作圖像，此時(shí)僅需作出一個(gè)周期的圖像就可憑借其周期性而作出整個(gè)函數(shù)的圖像.在作三角函數(shù)的圖像時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用三角函數(shù)圖像得到其性質(zhì)，并親自動(dòng)手操作，師生合作，共同完成，體會(huì)圖像與函數(shù)性質(zhì)的相互襯托作用，教師適時(shí)滲透如何由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)圖像，得到一般函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的圖像，同時(shí)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)仔細(xì)觀察函數(shù)圖像，說(shuō)出函數(shù)圖像的幾個(gè)重要性質(zhì)，加深體會(huì)關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)作三角函數(shù)圖像所起的作用.只有對(duì)函數(shù)圖像有了正確的認(rèn)識(shí)和充分的了解，才能更進(jìn)一步探究y=Asin（ωx+φ）+k和y=Acos（ωx+φ）+k;對(duì)三角函數(shù)的圖像有了深層次的了解，才能更好地應(yīng)對(duì)各種不同函數(shù)圖像表現(xiàn)形式，始終準(zhǔn)確地掌握解題要領(lǐng).比如研究y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質(zhì)，可設(shè)X=ωx+φ，X取0，π2，π，3π2，2π，求取相應(yīng)的x值和y值后就可以描點(diǎn)作圖，解x值時(shí)，從五點(diǎn)作圖的第一點(diǎn)入手，函數(shù)的變換形式多為先平移后伸縮，也有先伸縮后平移的，對(duì)于函數(shù)圖像的變形，要明確每一點(diǎn)變化都與函數(shù)中的x密切相關(guān).把函數(shù)形式轉(zhuǎn)換為y=Asin（ωx+φ）后，再依據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)性求解，同時(shí)還要關(guān)注A和ω的符號(hào)問(wèn)題及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的規(guī)律.

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文主要分析了三角函數(shù)常見(jiàn)的幾種錯(cuò)誤類(lèi)型：解三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)存在的對(duì)三角函數(shù)平移基本概念及定義域的理解不足、易受函數(shù)圖像變形的影響、忽視題目中已知條件等錯(cuò)誤，而以上總結(jié)的錯(cuò)誤均是我們?cè)趯W(xué)習(xí)和解題時(shí)易犯的一些常見(jiàn)錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤具有典型性和代表性，因此分析這些錯(cuò)誤形成的原因，并針對(duì)這些錯(cuò)誤提出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)策略，具有借鑒意義.在進(jìn)行三角函數(shù)的學(xué)習(xí)時(shí)，我們應(yīng)始終保持科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，運(yùn)用清晰的解題思路，通過(guò)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚贸稣_的結(jié)論.希望為三角函數(shù)的學(xué)習(xí)提供一些參考.

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