高等數(shù)學(xué)中一類冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的重要方法

呂海翠 宋佳 王艷麗

【摘要】在考研數(shù)學(xué)中求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)是一個(gè)重要考點(diǎn)，也是教材中“無(wú)窮級(jí)數(shù)”的核心內(nèi)容，可以用它來(lái)求收斂的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.而求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法與技巧是多種多樣的，教材針對(duì)這一問(wèn)題只講了一個(gè)例題，因而學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題感到困難，為此本文總結(jié)了一類基礎(chǔ)有效的求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法，幫助教師進(jìn)行更好的教學(xué).

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);冪級(jí)數(shù)的和函數(shù);方法

【中圖分類號(hào)】G642【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【基金項(xiàng)目】咸陽(yáng)市科技局項(xiàng)目（2019k02-19）

培養(yǎng)出優(yōu)秀的學(xué)生是一個(gè)學(xué)校發(fā)展的根本.老師應(yīng)該傳道受業(yè)解惑，負(fù)責(zé)把學(xué)生領(lǐng)進(jìn)門，負(fù)責(zé)引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)學(xué)得有體系且融會(huì)貫通.教學(xué)是一個(gè)良心活也是一個(gè)技術(shù)活，要求老師負(fù)責(zé)敬業(yè)，知識(shí)過(guò)硬，解題靈活多變，會(huì)站在學(xué)生角度考慮問(wèn)題.只有這樣教師才會(huì)更有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生因材施教，真正做到在教學(xué)過(guò)程中啟蒙學(xué)生的探索精神，授之以漁.本文就求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)分類型進(jìn)行學(xué)習(xí)，其中題目均為經(jīng)典題目，且在教學(xué)實(shí)踐中也進(jìn)行了應(yīng)用，收到了較好的效果.

一、高等數(shù)學(xué)特點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)有兩冊(cè)，學(xué)時(shí)需兩個(gè)學(xué)期，知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，且部分定義、定理、性質(zhì)抽象，結(jié)論用時(shí)變形多，雖多但系統(tǒng)性強(qiáng).兩冊(cè)高等數(shù)學(xué)其研究對(duì)象主要是函數(shù)，研究的是微積分.上冊(cè)是一元函數(shù)的，下冊(cè)是多元函數(shù)的，下冊(cè)承載了上冊(cè).

二、求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的教學(xué)分析及設(shè)計(jì)

1.求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的步驟

在求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)時(shí)，先求收斂域，這里面就綜合了判定常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的所有知識(shí);然后可能會(huì)用到求導(dǎo)、積分、變量代換、拼湊、分解等知識(shí)，方法技巧多變.因此它是一個(gè)難度較大，技巧性較高的有趣數(shù)學(xué)問(wèn)題，值得學(xué)生去探索.學(xué)生要多觀察、細(xì)體會(huì)、勤總結(jié)，最終牢固掌握這類題.

2.經(jīng)典舉例

（1）類型∑△x△-1

例1求冪級(jí)數(shù)∑∞n=1nxn-1的和函數(shù).

解因?yàn)閘imn→∞an+1an=limn→∞n+1n=1，所以收斂半徑R=1.

當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=1（-1）n-1n，是發(fā)散的;當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=1n，是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)椋?1，1）.

設(shè)s（x）=∑∞n=1nxn-1，x∈（-1，1）.

于是兩端積分得∫x0s（t）dt=∑∞n=1∫x0ntn-1dt=∑∞n=1xn=x1-x，x∈（-1，1）.

兩端求導(dǎo)得s（x）=x1-x′=1（1-x）2，x∈（-1，1）.

例2求冪級(jí)數(shù)∑∞n=1（n+2）xn+3的和函數(shù).

解因?yàn)閘imn→∞an+1an=limn→∞n+3n+2=1，

所以收斂半徑R=1.

當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=1（n+2）（-1）n+3，是發(fā)散的;當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=1（n+2），是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)椋?，1）.

設(shè)s（x）=∑∞n=1（n+2）xn+3（-1

則s（x）=∑∞n=1（n+2）xn+3=x2∑∞n=1（n+2）xn+1，

記s1（x）=∑∞n=1（n+2）xn+1（-1

于是兩端積分，得

∫x0s1（t）dt=∫x0∑∞n=1（n+2）tn+1dt

=∑∞n=1∫x0（n+2）tn+1dt

=∑∞n=1xn+2=x31-x（-1

兩端求導(dǎo)，得

s1（x）=x31-x′=3x2-2x3（1-x）2（-1

故原級(jí)數(shù)的和函數(shù)為

s（x）=x2s1（x）=3x4-2x5（1-x）2（-1

例3求冪級(jí)數(shù)∑∞n=1n2xn的和函數(shù).

解因?yàn)閘imn→∞an+1an=limn→∞（n+1）2n2=1，所以收斂半徑R=1.

當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=1n2（-1）n，是發(fā)散的;當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=1n2，是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)椋?1，1）.

設(shè)s（x）=∑∞n=1n2xn（-1

則s（x）=x∑∞n=1n2xn-1=x∑∞n=1（nxn）′=x∑∞n=1nxn′，

記s1（x）=∑∞n=1nxn（-1

又s1（x）=x∑∞n=1nxn-1=x∑∞n=1（xn）′=x∑∞n=1xn′=xx1-x′=x（1-x）2

.

故s（x）=xs1′（x）=x（1+x）（1-x）3（-1

總結(jié)：∑△x△-1，其中△為n的多項(xiàng)式，如2n，2n-1，4n+1等，起始下標(biāo)可以為n=0或n=1，即∑∞n=0△x△-1或∑∞n=1△x△-1，求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)都可以采用此方法.例2，例3是變形后也是這一類，學(xué)生做完題目后仔細(xì)觀察區(qū)別及聯(lián)系，只有善于總結(jié)才能靈活應(yīng)用.

（2）類型∑x△△

例4求冪級(jí)數(shù)∑∞n=1xnn的和函數(shù).

解因?yàn)閘imn→∞an+1an=limn→∞nn+1=1，

所以收斂半徑R=1.

當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=1（-1）nn，是收斂的;當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=11n，是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)閇-1，1）.

設(shè)s（x）=∑∞n=1xnn，x∈[-1，1）.

于是逐項(xiàng)求導(dǎo)得s′（x）=∑∞n=1xn-1=11-x，x∈[-1，1），

兩端積分得∫x0s′（t）dt=∫x011-tdt，x∈[-1，1），

即s（x）-s（0）=-ln（1-x），x∈[-1，1），

又s（0）=0，所以s（x）=-ln（1-x），x∈[-1，1）.

例5求冪級(jí)數(shù)∑∞n=1x3n+13n+1的和函數(shù).

解limn→∞x3n+43n+4x3n+13n+1=limn→∞3n+13n+4|x3|=|x3|=|x|3.

當(dāng)|x|3<1，即|x|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)|x|3>1，即|x|>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.所以收斂半徑R=1.

當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=1（-1）3n+13n+1=∑∞n=1（-1）2n·（-1）n+13n+1=∑∞n=1（-1）n+13n+1，是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù);當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=113n+1，是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)閇-1，1）.

設(shè)s（x）=∑∞n=1x3n+13n+1（-1≤x<1），

則s′（x）=∑∞n=1x3n+13n+1′=∑∞n=1x3n=x31-x3（-1≤x<1）.

對(duì)上式從0到x積分，得∫x0s′（t）dt=∫x0t31-t3dt，（-1≤x<1），

即s（x）-s（0）=∫x0t31-t3dt，

從而可知s（x）=-x-13ln（1-x）+16ln（1+x+x2）+

33arctan233x+33-3π18（-1≤x<1）.

例6求冪級(jí)數(shù)∑∞n=0（2x+1）nn+1的和函數(shù).

解令t=2x+1，題設(shè)級(jí)數(shù)變?yōu)椤啤辬=0tnn+1.

因?yàn)閘imn→∞an+1an=limn→∞n+1n+2=1，所以收斂半徑R=1.

當(dāng)t=-1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=0（-1）nn+1，是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù);當(dāng)t=1時(shí)，級(jí)數(shù)成為∑∞n=01n+1，是發(fā)散的.因此-1≤t<1，

從而∑∞n=0（2x+1）nn+1的收斂域?yàn)閇-1，0），設(shè)s（x）=∑∞n=0（2x+1）nn+1（-1≤x<0）.

記s1（t）=∑∞n=0tnn+1，于是ts1（t）=∑∞n=0tn+1n+1.

上式兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)，得

[ts1（t）]′=∑∞n=0tn+1n+1′=∑∞n=0tn=11-t（-1≤t<1）.

再對(duì)上式從0到t積分，得

ts1（t）=∫t011-hdh=-ln（1-t）（-1≤t<1）.

當(dāng)t≠0時(shí)，有s1（t）=-1tln（1-t）.而s1（0）=1，

所以s1（t）=-1tln（1-t），t∈[-1，0]∪（0，1），

1，t=0.

故s（x）=-12x+1ln（-2x），x∈-1，-12∪-12，0，

1，x=-12.

總結(jié)：∑x△△，其中△為n的多項(xiàng)式，如n+1，2n-1，4n+1等，求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)都可以采用此方法.如例6是變形后也是這一類.

上面選擇的六個(gè)例題很具有代表性，不僅能體現(xiàn)怎么求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，還綜合考查了積分的求法（如換元積分法、有理函數(shù)的積分都用到了）以及冪級(jí)數(shù)怎樣求收斂域的所有類型.

【參考文獻(xiàn)】

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[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解（下冊(cè)）[M].北京：人民郵電出版社，2017.