分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

王峰

【摘要】數(shù)學(xué)作為高中階段的一門主要必修課程，在思維鍛煉和未來研究過程中具有至關(guān)重要的作用.在日常的學(xué)習(xí)過程中，教師會運用多種類型的數(shù)學(xué)思想潛移默化地影響著學(xué)生的思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.分類討論思想就是高中數(shù)學(xué)思想中的一種.本文主要討論分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);分類討論思想;有效運用

自21世紀以來，我國關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決思想的研究逐漸興起，由于起步較晚，雖然經(jīng)過一段時間的實踐研究，取得了一些成果，但是總體發(fā)展速度相對緩慢.分類討論思想作為其中比較重要的一種思想，關(guān)于它的研究到目前為止也沒有形成相應(yīng)的系統(tǒng).在高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生應(yīng)用分類討論思想來解決有關(guān)問題是失分的常項.因此，筆者在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗和對分類討論思想的理解，從三個方面來闡述分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運用.

一、分類討論思想的含義

從高中數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)特點來講，解題的過程中會經(jīng)常運用到分類討論思想.我們知道，高中數(shù)學(xué)中的某些題目常常不止一個正確答案，那么在解答此類題目時，就不能使用常規(guī)的解題模式，而是需要在題目相關(guān)條件的規(guī)定下進行子區(qū)域的劃分，然后再對這些子區(qū)域進行求解.這一解題過程運用到的思想就是分類討論思想.

分類討論思想在實際的應(yīng)用過程中，一般堅持由大到小、將整體劃分為部分再將部分進行組合的原則.在數(shù)學(xué)范疇中，分類討論思想分類的依據(jù)是先將不同的知識點進行劃分，然后再分析它們之間的相同點，從而進行歸類，這樣有助于幫助學(xué)生更好地找到數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系.

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的合理運用

（一）從教材出發(fā)梳理分類討論內(nèi)容

學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題目的過程中運用分類討論思想屬于高層次的策略.從高中數(shù)學(xué)知識體系來分析，分類討論思想以一條主線的形式貫穿在整個高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中.高中數(shù)學(xué)教材中的分類討論思想的呈現(xiàn)比較隱蔽，需要教師仔細研讀教材，理清知識的編排脈絡(luò)，高屋建瓴，深入挖掘，從而有計劃地滲透給學(xué)生.

例如，在“平面向量”這一章中，運用分類討論思想具有突出的指導(dǎo)作用，可以讓各個知識點的脈絡(luò)更加清晰，而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也能夠化難為易.例如，向量的表示方法有幾何法、字母法、坐標法等，兩個向量之間的關(guān)系有共線和不共線，其中，共線又有方向相同和方向相反之分.在學(xué)習(xí)向量的運算過程中，據(jù)筆者的觀察，學(xué)生在集合運算上并沒有太大的問題，而在坐標運算中很多學(xué)生算出來的結(jié)果經(jīng)常是實數(shù)，在數(shù)量積的運算中，又有不少學(xué)生將結(jié)果算成了向量.因此，教師要運用分類討論思想為學(xué)生講解向量運算的相關(guān)知識.例如，向量的運算包括線性運算和數(shù)量積運算，其中，線性運算又包括加法運算、減法運算和數(shù)乘運算，它們的計算結(jié)果都是向量;數(shù)量積運算的結(jié)果為實數(shù)（可正可負）.相信有了這樣的思路，學(xué)生在進行向量的運算時，出錯率會大大下降.

再如，函數(shù)部分的教學(xué)也蘊含著分類討論思想，主要體現(xiàn)為以下方面：一是對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)（a）取值范圍的分類討論.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，且互為反函數(shù)，當?shù)讛?shù)a>1時，它們均為增函數(shù);當?shù)讛?shù)0

（二）在課堂教學(xué)設(shè)計中巧妙滲透

筆者曾對所帶班級學(xué)生進行了訪談?wù){(diào)查，了解到他們在分析某一問題時常常一開始沒有頭緒，不知道該從哪里入手去分類討論，即找不到分類的依據(jù).這與教師在平時的教學(xué)設(shè)計中沒有注意滲透分類討論思想不無關(guān)系.課堂教學(xué)前的準備工作就是教師圍繞三維目標和核心素養(yǎng)進行教學(xué)設(shè)計.為了讓課堂教學(xué)更加精彩，教學(xué)效果更加明顯，教師在進行整堂課的教學(xué)設(shè)計過程中應(yīng)該有意識地運用分類討論思想，以加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識和技能的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

具體來說，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計過程中要合理地體現(xiàn)分類討論思想，這需要教師要格外注重以下三個方面.首先，教師應(yīng)該主動提升自身的修養(yǎng).在運用分類討論思想之前，教師應(yīng)該自主學(xué)習(xí)并深入研究一些現(xiàn)有的關(guān)于數(shù)學(xué)思想的論著，掌握其有效的運用方法，做到上課前“胸中有丘壑”.其次，教師在制訂教學(xué)目標時應(yīng)該有意識地滲透分類討論思想，而不是一味地重視知識的傳授和技能的訓(xùn)練，要讓學(xué)生親歷知識的形成過程，體會其中的分類討論思想.最后，上課前，教師要認真研讀教材，挖掘知識中的隱性數(shù)學(xué)思想，并恰當?shù)伢w現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中.

例如，在教學(xué)“兩條直線的平行與垂直”時，課前幾分鐘，筆者先讓學(xué)生思考之前學(xué)過的幾種直線方程的類型，并分析每種類型存在的不足.接著給出一般式直線方程：Ax+By+c=0，要求學(xué)生說出其斜率和截距，由此鞏固學(xué)生頭腦中關(guān)于直線方程的認知系統(tǒng)，并巧妙引入新課，要求學(xué)生獨立思考：當直線方程為斜截式時，如何判定兩條直線的位置關(guān)系？在筆者的思路點撥下，學(xué)生們分別從l1∥l2k1=k2和l1⊥l2k1·k2=-1兩種情況進行分析.隨后，筆者與學(xué)生一同探究一般式直線方程的位置關(guān)系：已知兩條直線A1x+B1y+C1=0，

A2x+B2y+C2=0，方程組的解與方程所表示的兩條直線有什么關(guān)系？

為避免學(xué)生漏掉其中可能存在的關(guān)系，筆者借助多媒體為他們演示了兩條直線三種位置關(guān)系（相交、平行、重合）的動態(tài)關(guān)系，加強了學(xué)生的形象思維，使他們不會漏掉兩條直線重合的特殊情況，從而得出結(jié)論：

解方程組唯一解無窮多解無解l1l2相交，l1l2重合，

l1l2平行.

（三）在習(xí)題的歸類與練習(xí)中滲透

有些數(shù)學(xué)運算的實施需要具備一定的條件，教師可以運用分類討論思想幫助學(xué)生突破這些限制性條件，如集合中子集的求法，偶次方根的化簡，指數(shù)、對數(shù)問題中底數(shù)的討論，等等.

例如，寫出集合{a，b}的所有子集.考慮到高一學(xué)生首次接觸集合概念，本身沒有分類意識，教師可以借此機會滲透分類討論思想.針對此題，分類的標準可以確定為子集中的元素個數(shù).分類如下：含有0個元素（不含元素）：;含有1個元素：{a}，;（3）含有2個元素：{a，b}.因此，{a，b}的所有子集為，{a}，，{a，b}.

還有一些題目因不確定相對位置而需要進行分類討論.例如，寫出終邊在直線y=x上的角的集合S.由于角的終邊是一條射線，因此不能一概而論，必須將其分為兩類進行討論：與45°終邊相同的角和與225°終邊相同的角.之后再讓學(xué)生思考這兩類集合是否可以合并，并運用一切合并的技巧.那么，在指導(dǎo)學(xué)生解題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生寫出：與45°終邊相同的角的集合{α|α=45°+k·360°，k∈Z}，與225°終邊相同的角的集合{α|α=225°+k·360°，k∈Z}，由此，所求集合S={α|α=45°+k·360°，k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}={α|α=45°+k·180°，k∈Z}

再如，判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.（1）判斷函數(shù)f（x）=x2，x∈（k，2）的奇偶性.教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從定義域是否關(guān)于原點對稱進行思考，并將k分為k=-2和k≠-2這兩類進行討論.當k=-2時，定義域關(guān)于原點對稱，可知f（x）為偶函數(shù).當k<2且k≠-2時，定義域不關(guān)于原點對稱，f（x）是非奇非偶函數(shù).（2）求函數(shù)f（x）=x2+1在區(qū)間[-2，a]上的最小值.由于區(qū)間和對稱軸位置不同，函數(shù)單調(diào)性不同，對應(yīng)的函數(shù)最值也不同，需要對a的取值范圍進行分類討論.當-2

三、高中生在學(xué)習(xí)過程中掌握分類討論思想的建議

（一）自覺克服畏難心理

從高一數(shù)學(xué)課程開始，學(xué)生就需要對集合、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的習(xí)題進行分類討論，這對剛升入高中的學(xué)生來說，勢必增加一些學(xué)習(xí)難度.如果教師從一開始就沒有注意到學(xué)生的這種畏難心理，那么久而久之，學(xué)生的問題就會越積越多，當以后解決更加復(fù)雜的分類問題時，學(xué)生很可能會“談分色變”，逐漸對數(shù)學(xué)課喪失信心.因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該幫助學(xué)生克服心理障礙，減少他們對分類討論的畏懼感，讓他們能夠通過正確的方法去改變.同時，學(xué)生在課下應(yīng)勤加練習(xí)，由量變引發(fā)質(zhì)變，這樣定能產(chǎn)生好的效果，并能在之后解決分類討論問題時得心應(yīng)手.

（二）優(yōu)化解題思路，回避或簡化分類討論

盡管分類討論思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常使用到的一種方法，也是高考常考的熱點，在平時的課堂教學(xué)中，教師通常會讓學(xué)生通過各個擊破的方式去解決問題.然而從整體來看，將所有的情況想到并進行討論，必然是煩瑣且復(fù)雜的.如果學(xué)生能夠在審題過程中深入挖掘題目中的隱藏條件，掌握回避或簡化分類討論的方法，那么就會節(jié)省很大一部分解題時間，還能優(yōu)化分類討論的策略，提升解題效率.例如，求經(jīng)過-32，52與3，2兩點的橢圓標準方程時，一般的解法就是要分焦點在x，y軸兩類進行討論，但是如果設(shè)橢圓方程為Ax2+By2=1（A>0，B>0，A≠B）就能避免分類討論.再如，研究f（x）=x+ax（a>0）的單調(diào)性時，不需要將x>0和x<0時的函數(shù)單調(diào)性都進行詳細討論，可以先討論x>0時的情況，而x<0時的情況可根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱區(qū)間上單調(diào)性一致這一特點得出結(jié)論.

四、結(jié)束語

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用范圍非常廣泛，如在集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、排列組合以及解析幾何中均能使用.但是由于知識的性質(zhì)和學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)教師還需要在方法上進行優(yōu)化，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生自己學(xué)會運用分類討論思想解決具體的數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)問題的邏輯嚴密性.

【參考文獻】

[1]虎志忠.淺析分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].課程教育研究，2019（16）：225-226.

[2]劉芬.在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想探索與實踐[J].中國現(xiàn)代教育裝備，2018（20）：35-37.

[3]彭恩.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的研究與應(yīng)用[D].信陽：信陽師范學(xué)院，2017.

[4]郭敏.蘇教版高中必修教材中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2014.