談五子棋中的數(shù)學(xué)

朱旭東

摘? 要：拉普拉斯認(rèn)為：“在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬?！倍鞲袼箘t以為：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)問。”

隨著時間的流逝，數(shù)學(xué)逐漸融入了生活，成為了生活的一部分。“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！本拖裰袊膼垡蛩固谷A羅庚先生所說，五子棋盤上也隱藏著數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：五子棋盤;坐標(biāo);幾何

前言：

下棋是棋盤上的戰(zhàn)爭，下棋的過程中隱藏著一些數(shù)學(xué)的小心機(jī)。你要顧全大局，多方面思考，出其不意攻其不備。根據(jù)各棋子的坐標(biāo)，可以幫助我們分析對方棋路，并以此預(yù)判對方下一步棋。同時在下棋的過程中有所發(fā)現(xiàn)。

在以下探究中，我們將多方面思考，對一組殘局進(jìn)行研究。探究坐標(biāo)與棋盤之間的應(yīng)用，并解決一些關(guān)于棋盤的問題。

觀察棋盤：

如右圖，為一棋盤。棋盤由橫縱各15條等距離，垂直交叉的平行線構(gòu)成，在棋盤上，橫縱線交叉形成了225個交叉點(diǎn)為對弈時的落子點(diǎn)。其中直線被稱為陽線，而如右圖所示由交叉點(diǎn)構(gòu)成的與陽線成45°夾角的隱形斜線（如：l_cb，l_ad等）為陰線。

觀察棋盤，可發(fā)現(xiàn)在棋盤上有5個比較特殊的交叉點(diǎn)，這5個點(diǎn)稱為"星"。中間的星也稱天元。我們設(shè)它們?yōu)閍，b，c，d，e。

如圖，a的坐標(biāo)為（D，12），b坐標(biāo)為（L，12），c的坐標(biāo)為（D，4），d的坐標(biāo)為（L，4），e的坐標(biāo)為（H，8）。

在下棋時，黑方總是先著棋于天元e，占據(jù)棋盤中央的（H，8）相當(dāng)于包攬了l_ad與l_cb兩陰線五子連珠的機(jī)會。將五點(diǎn)相連，得一長方形（棋盤上一個小長方形長2.5cm，寬2.4cm）。

由圖可知，長方形長為：2.5×8=20（cm），長方形寬為：2.4×8=19.2（cm）

∵長方形的面積=長×寬??? ∴S_長方形=20×19.2=384（cm²）

即占據(jù)了星和天元后，以天元e為中心面積為384cm²的長方形內(nèi)五子連珠的機(jī)會均為己方所有。

殘局對弈：

這是一組經(jīng)典的五子棋殘局，可見黑棋主要在以（H，9）為中心集中在一片區(qū)域，而白棋則以堵為策，棋路渙散。那么問題來了。

若我方為黑方，對方為白方。問黑方如何落子，可盡快取得勝利？

如圖有四種選擇，①H，11）②（I，11）③（F，8）④（E，7）

①觀察棋局，可發(fā)現(xiàn)若下①，黑子立時可完成沖四，如圖一。此時為了不使黑子集滿五子立即獲得勝利。白子必然落子于（H，12），截取所有后路，阻止其沖五。

此時黑方在②著棋沖四，無論白棋在（G，11）堵截還是在（L，11），黑棋只要在兩者中一方著子便能獲勝。

按其他位置著子，需要下超于2顆棋子。對比之下第一步下①可以更快獲得勝利。

拓展提升：

1、在一個平面上，如何用6個圍棋子擺出4行，每行3個的圖形？

若是要擺出4行，且每行3個，那么一共需要3×4=12個，而一共只能使用6子進(jìn)行擺放，也就是說1個棋子需要當(dāng)作2個來用，即一子多用。那么就有多種可能，例如，下圖所示的兩種方案。

2、除去對稱或旋轉(zhuǎn)可以得到的位置，一個棋子在五子棋上有多少種擺法？

比如圖中的1號和2號和29號和50號這四個棋子只能算作一種擺法。

我們可以看到這樣算的話，五子棋盤有15行，15列。整副棋只需看棋盤的1/2×1/2×1/2=1/8即可，我們以右下角的一半為例來看。（如圖二）

即41-49之間的空間39-48及其之間的空間，37-47及其之間的空間，35-46及其之間的空間，33-45及其之間的空間，31-44及其之間的空間，29、43以及最中間天元的位置，那么共有1+2+3+4+5+6+7+8=36種排法。

所以本題的答案是36。

真題實(shí)踐：

在7×8的長方形棋盤的每個小方格的中心點(diǎn)各放一枚棋子。如果兩枚棋子所在的小方格共邊或共頂點(diǎn)，那么，稱這兩枚棋子“相連”?，F(xiàn)從這56枚棋子中取出一些，使得棋盤上剩下的棋子沒有5枚在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連。問最少取出多少枚棋子才可能滿足要求？并說明理由。

第一步證明若任取10個棋子，則余下的棋子必有一個五子連珠，即五個棋子在一條直線上依次相連。利用反證法，假設(shè)可取出10個棋子，使余下的棋子沒有五子連珠。如圖1，在每一行的前五格中必須各取出一個棋子，后三列的前五格中也必須各取出一個棋子，這樣，10個被取出的棋子不會分布在右下角的陰影部分。同理，由對稱性，也不會分布在其它角上的陰影部分。

第1、2行必在每行各取出一個，且只能分布在（1，4）、（1，5）、（2，4）、（2，5）這些方格。同理，（6，4）、（6，5）、（7，4）、（7，5）所在區(qū)域內(nèi)至少要取出2個棋子。

在第1、2、3列，每列至少要取出一個棋子，分布在（3，1）、（3，2）、（3，3）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）所在區(qū)域。同理，（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，6）、（4，7）、（4，8）、（5，6）、（5，7）、（5，8）所在區(qū)域內(nèi)至少要取出3個棋子。

這樣，在這些區(qū)域內(nèi)至少已取出10個棋子。因此，在中心陰影區(qū)域內(nèi)不能取出棋子。由于紅色方格的這四個棋子至多被取出2個，從而，從斜方向看必有五子連珠。由此產(chǎn)生矛盾。

第二步構(gòu)造一種取法，共取出11個棋子，余下的棋子沒有五子連珠。如圖2，只要取出綠色方格的棋子，則余下的棋子不可能五子連珠。

在7×8的方格中按1、2、3、4、5的順序依次填入將其編號，可以發(fā)現(xiàn)，在該表格中任意一組五子連珠的編號都是1、2、3、4、5各出現(xiàn)一個。其中，56個方格里1出現(xiàn)12次，2、3、4、5均出現(xiàn)了11次。因此，將所有的標(biāo)號為2的方格中的棋子取出即可（取所有標(biāo)號為3、4、5亦可）。

結(jié)論：最少要取出11個棋子，才可能滿足要求。

總結(jié)與反思：

（1）反思：在解題的過程中需要在日常下棋過程中觀察所積累的經(jīng)驗(yàn)以及對生活不斷的發(fā)現(xiàn)，下棋時也需要運(yùn)用一定的思維能力與空間想象。在生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)可以讓一切變得簡單。數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)，在棋牌藝術(shù)上累計(jì)使用，使對弈時，倆者之間更有挑戰(zhàn)。

（2）總結(jié)：本文在五子棋中尋找數(shù)學(xué)并通過真題進(jìn)行實(shí)踐，完成對坐標(biāo)思維，列舉方法的鞏固與應(yīng)用。事實(shí)上，不止五子棋，其他棋牌中也隱藏著很多數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)家本質(zhì)上是個著迷者，不迷就沒有數(shù)學(xué)，就無法發(fā)現(xiàn)生活中關(guān)于數(shù)學(xué)的種種細(xì)節(jié)。人們總說細(xì)節(jié)決定一切，數(shù)學(xué)家就充分證明了這一點(diǎn)。