三角函數(shù)求最值問題

張永亮+田鳳娟

摘 要： 關(guān)于求最大值和最小值的問題涉及的知識面都很廣，靈活性也很大，所以求解會遇到一定的困難.本文從具體實例出發(fā)，分析并介紹利用三角函數(shù)的有界性將問題轉(zhuǎn)換，利用變量替換、等價化歸、圖形結(jié)合等幾種比較典型的解題方法，將原始的變量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，巧妙求解多種最值問題.

關(guān)鍵詞： 三角函數(shù) 最值 幾何

最值問題遍及函數(shù)、立體幾何、解析幾何等各領(lǐng)域中，在生產(chǎn)實踐中也有廣泛應(yīng)用，并且這類問題綜合性強(qiáng)、靈活性大.這類問題的解決涉及化歸、轉(zhuǎn)換、類比等重要的數(shù)學(xué)思想，采取的數(shù)學(xué)方法包括變量替換、問題轉(zhuǎn)換、等價化歸、圖形結(jié)合等常用方法.掌握這類問題的求解策略，不僅能加強(qiáng)知識的縱橫聯(lián)系，鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能，還能提高數(shù)學(xué)思維能力和運算能力.下面針對利用三角函數(shù)求最值問題，進(jìn)行分類討論.

1.有關(guān)向量問題的最值

例1.給定兩個長度為1的平面向量■和■，它們的夾角為120°，如下圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若OC=x■+y■，OC=x■+y■，其中x，y屬于R，則x+y的最大值是多少？

分析：當(dāng)點C在圓弧上運動時，x，y都是變化的，如何刻畫這個變化呢？引入一個輔助角是解決問題的關(guān)鍵，同時選取■，■作為基底，易找到■，■的分解關(guān)系.

解：設(shè)∠AOC=θ將■在■，■方向上分解，如圖1：

圖1

因為■=x■+y■，■=1，

所以在三角形OCE中，OE=x，CE=y.

由正弦定理得

■=■=■

故x+y=■[sin（120°-θ）+sinθ]=■（■sinθ+■cosθ）=2sin（θ+30°）≤2.

遇到旋轉(zhuǎn)角的問題時常引入輔助角解決問題，這樣的優(yōu)點：一是可以將所求的問題轉(zhuǎn)化的三角函數(shù)問題解決，這是我們所熟知的；二是未知數(shù)只有一個，也便于問題的求解.

2.有關(guān)三角形問題的最值

例2.若AB=2，AC=■BC，則三角形ABC的面積最大值是多少？

分析：如圖2，三角形ABC的面積大小取決于邊BC，可設(shè)BC為一個參變量，但要注意變量的取值范圍，利用三角函數(shù)的三角形面積公式，即可求出面積.

圖2

解：設(shè)BC=a，則AC=■，△ABC的面積為S，由三角形兩邊之和大于第三邊有

a+■a>2，即a+2>■a，故有2■-2

由射影定理得

AB=ACcosA+BCcosB

即■acosA+acosB=2

得2a■cos■A=4-4acosB+a■cos■B

又由正弦定理得

■=■

得2sin■A=sin■B

從而2cos■=cos■B+1，a■（cos■B+1）=4-4acosB+a■cos■B

解得cosB=■，sinB=■=■=■

S=■AB×BC×sinB=■■

當(dāng)a■=12，即a=2■時，滿足邊的范圍，因此S有最大值2■.

三角形面積的最值的求解利用常規(guī)求法很難做到，我們常利用三角函數(shù)的有界性，這樣在做題目時便有法可循，能降低難度.

3.有關(guān)曲線問題的最值

例3.求經(jīng)過A（1，1），且以y軸為準(zhǔn)線、離心率為■的橢圓的長軸的取值范圍是多少？

分析：如圖3，要求長軸的取值范圍，引入曲線的參數(shù)方程，將長軸2a用cosθ表示出來利用cosθ的范圍在[-1，1]之間，便可求出2a的取值范圍.

圖3

解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

x=x■+acosθy=y■+bsinθ，其中a>b>0

由e=■，知c=■a

橢圓的中心橫坐標(biāo)為x■=■=■a

由橢圓過定點A知1=■a+cosθ

則2a=■，所以當(dāng)cosθ=-1時，2a取最大值4，

當(dāng)cosθ=1時，2a取最小值■，所以■<2a<4.

曲線最值問題，利用幾何性質(zhì)去解，會很困難，甚至解不出，引入?yún)?shù)方程，三角函數(shù)的有界性可以很好地幫我們解決此類問題，這樣做一是使問題突然變得簡單易解，二是參數(shù)減少到一個，便于分析.

4.有關(guān)數(shù)列問題的最值

例4.a是1+2b與1-2b的等比中項，則■的最大值是多少？

分析：由a是1+2b與1-2b的等比中項可得

a■=（1-2b）×（1+2b）=1-4b■

即a■+（2b）■=1，聯(lián)系三角形的恒等式cos■θ+sin■θ=1類比換之就可使題目得到簡化.

解：令a=cosθ，2b=sinθ，θ∈R，滿足a■+（2b）■=1

所以■=■≤■=■=■

因為θ∈R，所以|sin2θ|∈[0，1]

所以■∈0，■，則■的最大值為■，當(dāng)θ∈■+kπ（k∈z）時取到最大值.

在數(shù)列中，有時我們也可以引入三角函數(shù)，達(dá)到事半功倍的效果，此題最大的亮點在于能夠找到a■+（2b）■=1滿足三角函數(shù)的一個恒等式cos■θ+sin■θ=1，從而為引入三角函數(shù)明確了方向，任何最值問題，只要與三角函數(shù)聯(lián)系上了，就變得明朗起來，將■用三角替換便得到解決.

5.在實際生活中的應(yīng)用

例5.某市現(xiàn)有從市中心O通往正東方向和北偏西方向30°方向的兩條主要公路，為了解決市交通擁擠的問題，市政府決定修建一條環(huán)城公路，分別在正東方向和北偏西30°方向的兩條主要公路上，選取A，B間為直線段，要求路段AB與市中心O的距離為10km，且使A，B間的距離最短，請你確定A，B兩點的最佳位置.

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型如圖4，已知∠？藿=120°，A，B為∠？藿上的動點，OD⊥AB，|OD|=10，求|AB|的最小值.

圖4

分析：轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系

解：設(shè)∠AOD=■-θ，則∠BOD=■+θ，-■<θ<■

|AB|=|BD|+|AD|=10tan■-θ

令tan■θ=t，t∈0，■

則|AB|=20■×■

再令1-3t=m，m∈[0，1]

則|AB|=20■=■■-1

當(dāng)m=1時，即θ=0時，|AB|的最小值為20■km，此時|OA|=

|OB|=20km.

通過以上五個不同方面的例題的分析和歸納總結(jié)，可以看出利用三角函數(shù)的特點和性質(zhì)靈活運用于數(shù)學(xué)問題中的妙處及重要作用.它的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛.常見的如在函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線、三角形中等方面求解最值問題，都能夠用到三角函數(shù)，只要我們仔細(xì)挖掘所給信息與三角函數(shù)的性質(zhì)和特點之間的聯(lián)系，將信息巧妙變通，把所給量與三角函數(shù)聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化成關(guān)于三角函數(shù)的求解，明確的指定角范圍，得到關(guān)于三角函數(shù)的等式，建立關(guān)系，運用三角函數(shù)的有界性，根據(jù)所給題目的要求，靈活取值，代入等式中，便可求出所要的最值.

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