遞推型數(shù)列的幾種求極限方法

仝兆佳

摘 要： 本文列出了遞推型數(shù)列求極限的幾種方法，并給出了相應(yīng)的例子。

關(guān)鍵詞： 遞推型數(shù)列;極限;單調(diào)性;有界性

【中圖分類號】O171???? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A???? 【DOI】10.12215/j.issn.1674-3733.2020.39.200

數(shù)列極限是微積分的第一節(jié)課，也是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ).求數(shù)列的極限，在各類的考試，如研究生入學(xué)考試，數(shù)學(xué)競賽中等都是一個較為重要的考點，也是高等數(shù)學(xué)中的困難問題之一.本文將列舉幾種遞推型數(shù)列極限的求解方法.

設(shè)數(shù)列xn由遞推關(guān)系式xn+1=f（xn）給出，將函數(shù)f（x）稱為該數(shù)列的遞推函數(shù).

1 利用單調(diào)有界定理

定理1：單調(diào)有界數(shù)列必收斂.

利用單調(diào)有界定理對數(shù)列極限的求解，主要分為以下三步：第一步，證明數(shù)列的單調(diào)性;第二步證明數(shù)列的有界性;第三步，求遞推函數(shù)f（x）的不動點，并根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，舍去不合條件的解，找到數(shù)列的極限.以上三個步驟中，數(shù)列單調(diào)性的證明是一個難點.主要方法有：

（1）判斷 xn+1-xn的正負(fù); （2） 若xn為正項數(shù)列，判斷xn+1xn是否大于1;

（3） 利用常用的不等式及數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的單調(diào)性;

（4）若遞推函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）0，則x1SymbolcB@x2時，數(shù)列xn單調(diào)增加;x1x2時，數(shù)列xn單調(diào)減少;

以上四種確定函數(shù)單調(diào)性的方法中，前三種在使用時都可以直接得出正確結(jié)論.第（4）種在證明過程中應(yīng)注意，如果函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間不是一個連續(xù)的區(qū)間，不一定能夠直接得出函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)對數(shù)列的取值情況加以討論.舉例說明如下：

例1.設(shè)數(shù)列xn滿足（2-xn）xn+1=1，證明limn→SymboleB@xn=1.

解：由已知xn+1=12-xn，故遞推函數(shù)f（x）=12-x，f'（x）=1（2-x）2，故f（x）的單調(diào)增加區(qū)間為（-SymboleB@，2）和（2，+SymboleB@）.

若對任意的n∈N+，xn∈（-SymboleB@，2），則數(shù)列xn有界，且有x2-x1=12-x1-x1=（x1-1）22-x10，即x2x1，由f（x）單調(diào)增加知，f（x2）>f（x1），即x3x2，依次下去，知xn為單調(diào)增加數(shù)列.由定理1可知，數(shù)列xn收斂.

若存在m∈N+，xm>2，則必有xm+1=12-xm<0，從而xm+2=12-xm+1<12<1，依次下去，可得xm+n<1<2，對任意的n∈N+，n2.故數(shù)列{xm+n}n2滿足所有項均小于2，且有遞推關(guān)系式xm+n+1=12-xm+n，因此由第二段討論過程可知，數(shù)列{xm+n}n2收斂，故數(shù)列xn收斂.

設(shè)limn→SymboleB@xn=A，則A（2-A）=1，解得A=1，故limn→SymboleB@xn=1.

2 壓縮影像原理.

定理2 若數(shù)列xn由遞推公式xn+1=f（xn）給出，其中f為一可微函數(shù)，且存在r∈R，使得對任意的x∈R，恒有 f′（x）SymbolcB@r<1，則數(shù)列xn收斂.

例2.設(shè)數(shù)列xn滿足x0=1，xn=bxn-1+c（n1），其中b，c為固定常數(shù)，且滿足b<1，證明該數(shù)列收斂，并求limn→SymboleB@xn.

解：由已知，遞推函數(shù)為f（x）=bx+c，則f'（x）=b<1，由定理2可知，該數(shù)列收斂.假設(shè)limn→SymboleB@xn=A，則A=bA+c，A=c1-b.

3 先猜測假設(shè)，再證明極限.

假設(shè)極限為A，則由遞推公式xn+1=f（xn）可知A=f（A），計算出A可能的取值，猜測出數(shù)列xn的極限，然后證明數(shù)列xn的極限.

例3.設(shè)數(shù)列xn滿足x1=1，xn+1=xn+axn+1，其中a為一固定常數(shù)，且滿足0

解：假設(shè)limn→SymboleB@xn=A，由保號性，必有A0.遞推式兩邊同時取極限，則A=A+aA+1，解得A= a.下證limn→SymboleB@xn= a.

xn- a=xn-1+axn-1+1- a

=xn-1+a-xn-1 a- axn-1+1

=（ a-1）（xn-1- a）xn-1+1<（ a-1）（xn-1- a）

<（ a-1）2（xn-2- a）

<（ a-1）n-1x1- a=（ a-1）n

又因為0

4 根據(jù)遞推關(guān)系式構(gòu)造新的數(shù)列.

主要方法是對已有的關(guān)系式做變形，根據(jù)關(guān)系式構(gòu)造新的數(shù)列，使得新數(shù)列的收斂性及極限容易計算，從而可以求出原數(shù)列的極限.

例：設(shè)數(shù)列xn滿足x1=1，xn+1= rx2n+2，其中r為給定常數(shù)，r<1，求limn→SymboleB@xn.

解：由xn+1= rx2n+2可知，x2n+1=rx2n+2.令yn=x2n，則yn+1=ryn+2.此為例2中討論的數(shù)列類型.由例2的結(jié)論可知，limn→SymboleB@yn=21-r.又yn=x2n，且xn0，則limn→SymboleB@xn= 21-r.

一個難題的解決，方法往往不是唯一的，更不是單一的，因此要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，熟練掌握基本的、常規(guī)的解決方法，在遇到難題的時候有思路可想.遞推型數(shù)列的極限遞推型數(shù)列的極限是一個難點，主要原因在于遞推關(guān)系式的變化是復(fù)雜的.本文列出幾種求解的基本方法，運用時應(yīng)該與其他求極限的方法相結(jié)合，開闊思路，從而解決問題.

參考文獻(xiàn)

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